60 DOWODÓW :)

Zadanie 1. Wykaż, że liczba
jest liczbą naturalną.

Zadanie 2. Wykaż, że jeśli
, to

Zadanie 3. Wykaż, że jeśli dla dowolnych liczb dodatnich x, y prawdziwy jest warunek
, to
.

Zadanie 4. Wykaż, że jeśli suma reszt z dzielenia każdej z liczb a, b, c przez 3 jest podzielna przez 3, to suma liczb a, b, c również jest również podzielna przez 3.

Zadanie 5. Różnica pewnej liczby i jej odwrotności jest równa 10. Wykaż, że suma kwadratu tej liczby i odwrotności jej kwadratu jest równa 102.

Zadanie 6. Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej prawdziwa jest nierówność
.

Zadanie 7. Wykaż, że dla
liczba
jest równa 4.

Zadanie 8. Wykaż, że średnia arytmetyczna dwóch dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej.

Zadanie 9. Wykaż, że dla dowolnych
zachodzi
.

Zadanie 10. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzi nierówność

Zadanie 11. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzi nierówność

Zadanie 12. Udowodnij, że jeżeli m>-1 oraz
, to

Zadanie 13. Udowodnij, że jeśli a+b=1, to

Zadanie 14. Wykaż, ze jeśli a<0, to

Zadanie 15. Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność

Zadanie 16. Wykaż, że suma każdych trzech kolejnych potęg liczby 2 jest podzielna przez 7.

Zadanie 17. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej k liczba
jest podzielna przez 36.

Zadanie 18. Wykaż, że jeżeli
, to

Zadanie 19. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej a prawdziwa jest nierówność

Zadanie 20. Wykaż, że nie istnieje para liczb spełniająca układ równań

Zadanie 21. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b i c zachodzi

.

Zadanie 22. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b:
.

Zadanie 23. Wykaż, że jeżeli
i
, to
.

Zadanie 24. Wykaż, że jeśli x i y są liczbami różnymi od zera i
, to
lub

Zadanie 25. Udowodnij, że jeśli k i n są liczbami naturalnymi oraz
, to

Zadanie 26. Wykaż, że prawdziwa jest nierówność
.

Zadanie 27. Udowodnij, że jeśli x, y, z są liczbami rzeczywistymi takimi, że x+y+z=1, to
.

Zadanie 28. Wykaż, że jeżeli a>0, b>0 oraz
, to
lub

Zadanie 29. Wykaż, że nierówność
jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste a i b.

Zadanie 30. Wykaż, że jeżeli
, to
.

Zadanie 31. Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9.

Zadanie 32. Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczbą podzielną przez 4.

Zadanie 33. Wykaż, że jeśli
, to

Zadanie 34. Wykaż, że wśród rozwiązań równania
istnieje takie, które jest liczbą niewymierną.

Zadanie 35. Wykaż, że dla każdych dodatnich liczb rzeczywistych a, b, c, d prawdziwa jest nierówność

Zadanie 36. Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność
.

Zadanie 37. Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej a zachodzi nierówność

Zadanie 38. Wykaż, że suma dowolnej liczby dodatniej i jej odwrotności jest nie mniejsza od 2.

Zadanie 39. Wykaż, że jeśli a i b są liczbami tego samego znaku, to

Zadanie 40. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba
jest podzielna przez 6.

Zadanie 41. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba
jest podzielna przez 30.

Zadanie 42. Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 3, to
jest liczbą podzielną przez 24.

Zadanie 43. Wykaż, że kwadrat każdej liczby naturalnej n jest podzielny przez 9 lub reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez 3 wynosi 1.

Zadanie 44. Wykaż, że suma sześcianów dwóch różnych liczb dodatnich jest większa od iloczynu ich sumy i ich iloczynu.

Zadanie 45. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c prawdziwa jest nierówność

Zadanie 46. Wykaż, że jeśli
, to

Zadanie 47. Wykaż, że jeśli
i
, to
.

Zadanie 48. Cyfry setek i jedności liczby trzycyfrowej n są liczbami nieparzystymi. Zapisując cyfry liczby n w odwrotnej kolejności, otrzymamy liczbę trzycyfrową k. Uzasadnij, że liczba n-k jest podzielna przez 198.

Zadanie 49. Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb a i b wyrażenie
ma stałą wartość.

Zadanie 50. Uzasadnij, że dla każdej liczby
wyrażenie
ma stałą wartość.

Zadanie 51. Udowodnij, że jeżeli liczby a i b są dodatnie to
.

Zadanie 52. Wykaż, że jeżeli
, to
.

Zadanie 53. Wykaż, że
jest liczbą niewymierną.

Zadanie 54. Wykaż, że jeśli
jest liczbą niewymierną, to liczba
też jest liczbą niewymierną.

Zadanie 55. Udowodnij, że suma pięciu kolejnych liczb całkowitych jest liczbą podzielną przez 5.

Zadanie 56. Udowodnij, że różnica kwadratów liczb, które nie dzielą się przez 3 jest podzielna przez 3.

Zadanie 57.Udowodnij, że jeżeli jedna z liczb przy dzieleniu przez 9 daje resztę 5, a druga przy dzieleniu przez 9 resztę 4, to ich iloczyn przy dzieleniu przez 9 daje resztę taką, jaką daje iloczyn reszt przy dzieleniu przez 9.

Zadanie 58. Udowodnij , że iloczyn pięciu kolejnych liczb całkowitych jest liczbą podzielną przez 5

Zadanie 59. Udowodnij, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą.

Zadanie 60. Udowodnij, że suma trzech kolejnych naturalnych potęg liczby 2 jest podzielna przez 7.

P o w o d z e n i a w d o w o d z e n i u :)

---