Pochodna – co to jest i po jakiego ch*ja nam to potrzebne??
Pochodna funkcji służy do badania zmienności funkcji, czyli kiedy rośnie, maleje, jest stała, oraz sprawdzenia czy istnieją ekstrema funkcji (maksimum i minimum).
Co to jest pochodna nie będę pisał, bo nam to potrzebne jak k*rwie majtki.
Aby obliczyć pochodną dowolnej funkcji złożonej trzeba znać pochodne cząstkowe: Funkcja
Pochodna
c
0
x
1
n
x
n 1
−
nx
ax+b
a
ax2+bx+c
ax + b
a
a
1
−
= a × x
−
x
2
x
sin x
cos x
cos x
− sin x
tgx
1
2
cos x
ctgx
1
−
2
sin x
x
e
x
e
x
x
x x (1 + ln x)
ln x
1
x
log x
1
a
x ln a
x
1
2 x
n x
1
n
n
n x 1
−
I tę tabelkę musimy znać na pamięć
Do obliczenia pochodnych musimy jeszcze znać podstawowe wzory (gdzie f, g, h to funkcje): Funkcja
Pochodna
f ± g
f ′ ± g ′
c × f
c × f ′
f × g
f ′ × g + f × g′
f × g × h
f ′ × g × h + f × g′ × h + f × g × h′
f
f ′ × g − f × g′
g
2
g
f ( g )
f (
′ g)× g′
Przykłady:
1) Funkcja f ( x) = (3 x − ) 1 ( x + 2). Pierwszy nawias to funkcja f, drugi to g.
Korzystamy z trzeciego wzoru z drugiej tabeli.
f (
′ x) = (
′
′
3 x − )
1 ( x + 2) + (3 x − ) 1 ( x + 2) = (
3 x + 2) + (3 x − ) 1 ×1 = 3 x + 6 + 3 x −1 = 6 x + 5
Można oczywiście przed przystąpieniem do liczenia pochodnej wymnożyć te dwa nawiasy, ale chciałem pokazać jak korzystać ze wzorów.
2) Funkcja f ( x) = ln( x ), ln to f, pierwiastek to g Korzystamy z ostatniego wzoru z drugiej tabeli.
f (
′ x)
1
1
1
1
1
=
×
=
=
=
x
2
2
x
2 × 2
4
2 2