wi zenia
5.014
u ∈ v v ∈ u
(b) u = {∅, {∅}} v = {{{∅, {∅}}}}
W
k
a»dym
z
p
oni»szy
h
przypadk
ó
w
ustal,
zy
,
,
i
;
u ⊆ v v ⊆ u
(c) u = {∅, {{∅}}} v = {∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}}
i
.
i
;
(a) u = {∅} v = {∅, {∅, {∅}}}
(d) u = {{∅}, {{∅}}} v = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
i
;
i
;
(b) u = {∅, {∅}} v = {{{∅, {∅}}}}
(e) u = (∅, ∅, {∅}) v = ({∅, ∅}, ∅) i
.
i
;
(c) u = {∅, {{∅}}} v = {∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}}
T
S
T S
i
;
5.052
x
y
(x,y)
(x,y)
(x,y)
Nie
h
i
b
d¡
zbiorami.
Obli z
,
,
,
(d) u = {{∅}, {{∅}}} v = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
S T
T T
S S
i
;
(x,y)
(x,y)
(x,y)
,
i
.
(e) u = {∅, (∅, ∅)} v = {∅, {∅}}
i
.
5.064
5.024
u ∈ v v ∈ u
Ile
zmienn
y
h
w
oln
y
h
za
wiera
j¡
p
oni»sze
form
uªy
teoriomno-
W
k
a»dym
z
p
oni»szy
h
przypadk
ó
w
ustal,
zy
,
,
u ⊆ v v ⊆ u
go± io
w
e?
A
ile
zwi¡zan
y
h?
i
.
(a) ∀
(a) u = P(∅) v = S(∅)
x ((∃x (x ∈ v)) ⇒ (∃y (y ∈ w))); i
;
(b) (∀
(b) u = P(S((∅, ∅))) v = P(P({∅})) x (x ∈ u ⇔ x ∈ v)) ⇔ u = v; i
;
(c) (∃
(c) u = S(P({∅})) v = S(S(∅)) x x ∈ u) ⇒ ∃v (v ∈ u ∧ ∀x (x ∈ v ⇒ ¬(x ∈ u))); i
;
(d) ∀
(d) u = S(S((∅,∅, ∅))) v = P(P(S(∅))) x (x ∈ u ⇒ ∃v (v ∈ u ∧ ∀z (z ∈ v ⇔ z ∈ x ∨ z = x))); i
;
(e) (∀
(e) u = (S(S(∅)),∅) v = (S(S(∅)),P(∅)) x∈u x 6= ∅) ∧ (∀x∈u ∀z∈u (x 6= z ⇒ ∀y∈x y /
∈ z)).
i
.
5.074
5.034
Dla
k
a»dego
z
p
oni»szy
h
st
wierdze«
zna
jd¹
ró
wno
w
a»n¡
m
u
W
yzna z
sum,
przekró
j,
sum
przekro
ju
i
przekró
j
sum
y
dla
form
uª
teoriomnogo± io
w
¡.
nastpuj¡ y
h
zbioró
w:
(a) {{∅}, {{∅}}}
(a)
u
k
a»dy
elemen
t
zbioru
jest
zbiorem
pust
ym
lub
jedno
elemen
to-
;
(b) {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
wym;
;
(c) {∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}}
(b)
u
v
suma
zbioru
jest
zbiorem,
którego
jedyn
ymi
elemen
tami
s¡
i
;
(d) {{∅}, (∅, ∅)}
{v};
;
(e) {{(∅, ∅)}, (∅, ∅)}
(c)
u
je»eli
zbiór
nie
jest
pust
y
,
to
jego
suma
jest
ró
wna
jego
przekro-
.
jo
wi;
5.044
u ∩ v u ∪ v u \ v
W
k
a»dym
z
p
oni»szy
h
przypadk
ó
w
obli z
,
,
,
(d)
u
do
zbioru
nie
nale»y
zbiór
pust
y
ani
»aden
zbiór
jedno
elemen-
u ÷ v P(u) P(v)
,
i
.
to
wy;
(a) u = {∅} v = {∅, {∅, {∅}}}
(e)
u
i
;
elemen
t
y
ro
dzin
y
s¡
niepuste
i
parami
rozª¡ zne.
5
5
.
Aksjomat
y
teorii
mnogo± i
O
Zadania
5.012
5.072
Dla
k
a»dej
z
p
oni»szy
h
form
uª
zna
jd¹
form
uª
ró
wno
w
a»n¡,
nie
W
yk
a»,
»e
nie
istnieje
zbiór
wszystki
h
zbioró
w
jedno
elemen
to-
∅
k
orzysta
j¡ ¡
ze
znaku
ani
»adn
y
h
inn
y
h
staªy
h.
wy
h.
Czy
istnieje
zbiór
wszystki
h
zbioró
w
dwuelemen
to
wy
h?
(a) x = {{∅}}
5
;
.082
x
{x} ∈ x
W
yk
a»,
»e
nie
istnieje
taki
zbiór
,
»e
.
Czy
istnieje
taki
(b) x ∈ {∅, {∅}}.
x
(x,x) ∈ x
zbiór
,
»e
?
5.022
5.092
u
Dla
k
a»dego
z
p
oni»szy
h
napisó
w
zna
jd¹
ró
wno
w
a»n¡
m
u
for-
Nie
h
b
dzie
niepust
ym
zbiorem.
Ustal,
które
z
p
oni»szy
h
m
uª
teoriomnogo± io
w
¡.
implik
a ji
s¡
pra
wdziw
e:
(a) u = S u
(a)
u = S u
∅ ∈ u
;
je»eli
,
to
;
(b) u ⊆ P(u)
(b)
∅ ∈ u
u = S u
;
je»eli
,
to
;
(c) S P(u) = {∅}
(c)
S u = T u
u = {v}
v
.
je»eli
,
to
dla
p
ewnego
.
5.032
u
5.102
x
Nie
h
b
dzie
zbiorem,
który
sp
eªnia
aksjomat
niesk
o« zono± i.
Ustal,
zy
istnieje
taki
niepust
y
zbiór
,
»e
(a) S u = ∅
Ustal,
które
z
p
oni»szy
h
st
wierdze«
s¡
pra
wdziw
e:
;
(b) u ∩ S u 6= ∅
(a) S T x = T S x;
;
(c) u ⊆ S u
(b) S S(x) = S x;
.
(c) P(x) speªnia aksjomat niesko« zono± i.
5.042
u
Ustal,
zy
istnieje
taki
niepust
y
zbiór
,
»e
5.112
u v
(a) u ⊆ P(u)
Nie
h
i
b
d¡
zbiorami.
Ustal,
które
z
p
oni»szy
h
implik
a ji
;
(b) P(u) ⊆ u
s¡
pra
wdziw
e:
;
(c) u ∩ P(u) 6= ∅
(a)
u ⊆ v
S(u) ⊆ S(v)
je»eli
,
to
;
.
(b)
S(u) ⊆ S(v)
u ⊆ v
je»eli
,
to
;
5.052
u
(c)
u 6= v
S(u) 6= S(v)
Ustal,
zy
istnieje
taki
niepust
y
zbiór
,
»e
je»eli
,
to
.
(a) P(u) = S(u);
5.122
u v
Nie
h
i
b
d¡
zbiorami.
Ustal,
które
z
p
oni»szy
h
implik
a ji
(b) S u = S(u);
s¡
pra
wdziw
e:
(c) T u = S(u).
(a)
u ⊆ v
P(u) ⊆ P(v)
je»eli
,
to
;
5.062
x
y
x ∈ y
y ∈ x
(b)
P(u) ⊆ P(v)
u ⊆ v
W
yk
a»,
»e
nie
istniej¡
takie
zbiory
i
,
»e
i
.
Czy
je»eli
,
to
;
x y z
x ∈ y y ∈ z z ∈ x
(c)
u 6= v
P(u) 6= P(v)
istniej¡
takie
zbiory
,
i
,
»e
,
i
?
je»eli
,
to
.
5
5
.
Aksjomat
y
teorii
mnogo± i
P
Zadania
(2)
5.132
[x, y] df
= {{x},{∅, y}}
[x,y] = [z, t]
5.153
Nie
h
.
W
yk
a»,
»e
wtedy
i
t
ylk
o
W
yk
a»,
»e
aksjomat
y
pary
i
istnienia
wynik
a
j¡
z
p
ozostaªy
h
x = z y = t
wtedy
,
gdy
i
.
aksjomató
w.
5.143
u
u ⊆ u × u
W
yzna z
wszystkie
takie
zbiory
,
»e
.
5
5
.
Aksjomat
y
teorii
mnogo± i
Q