Zadania
4.012
4.062
Sk
onstruuj do
w
o
dy
dla
nastpuj¡ y
h
tautologii: Ustal,
o
b
dzie
t
wierdzeniem ra
h
unku
zda«,
je»eli
za
ho
w
am
y
(a) q ⇒ (p ⇒ p)
{({ϕ,ϕ ⇒ ψ}, aksjomat y
,
a
reguª
o
dryw
ania
zast¡
pim
y
reguª¡
p
osta i
;
(b) ¬p ⇒ ¬p
{ψ, ¬ψ}): ϕ, ψ
}
to
do
w
olne
form
uªy
.
.
4.022
ϕ1 = (p ⇒ p) ϕ1
4.072
Nie
h
.
Sk
onstruuj do
w
ó
d
dla
tautologii oraz
Ustal,
zy
za
ho
wuj¡
reguª
o
dryw
ania
jak
o
jedyn¡
reguª
do-
tautologii dan
y
h
wzorem:
w
o
dzenia
mo»na
zmieni¢
ukªad
aksjomató w
ra
h
unku
zda«
w
taki
sp
o-
(a) ϕn+1 = (p ⇒ ϕn) n > 1
sób,
»e
ho
ia»
jedno
t
wierdzenie nie
b
dzie
aksjomatem, a
t
wierdzeniami dla
;
(b) ϕn+1 = ((p ⇒ p) ⇔ ϕn) n > 1
b
d¡:
dla
.
4.032
n
n
(a) tylko i wyª¡ znie kontrtautologie; Ustal,
dla
jaki
h
istnieje tautologia dªugo± i
nie
b
d¡ a
(b) tylko i wyª¡ znie formuªy speªnialne; aksjomatem ra
h
unku
zda«.
(c)
4.042
ϕ
wszystkie form
uªy
.
1
ϕ2
ϕn
Nie
h
,
,
.
.
.
,
b
dzie
do
w
o
dem
w
ra
h
unku
zda«.
W
y-
4
k
a»,
»e:
.083
P
o
da
j
na
jkrótszy mo»liwy
do
w
ó
d
pra
w
a
wyª¡ zonego
±ro
dk
a,
(a)
i
j ≤ i
ϕi
p ∨ ¬p
tj.
tautologii
.
dla
k
a»dego
istnieje takie
,
»e
jest
p
o
dform
uª¡
aksjomatu ϕj;
4
(b)
ϕ
.094
n
Ustal,
zy
istnieje tak
a
li zba
,
»e
k
a»da
tautologia ma
do
w
ó
d
1
ϕ2
ϕn
na
jdªu»sza z
form
uª
,
,
.
.
.
,
jest
aksjomatem.
n
dªugo± i
nie
wikszej ni»
.
4.052
ϕ1 ϕ2
ϕn
Nie
h
,
,
.
.
.
,
b
dzie
na
jkrótszym mo»liwym do
w
o
dem
ϕn
ϕ1 ϕ2
ϕn
k
4.104
tautologii
.
W
yk
a»,
»e
je»eli
w
i¡
gu
,
,
.
.
.
,
wystpuje P
W
yk
a»,
»e
form
uªa
ra
h
unku
zda«
jest
tautologi¡
wtedy
i
t
ylk
o
ϕ
k
i
ϕi
ϕi
n ≤
d(ϕi )
aksjomató w
1 ,
2 , . . . , k , to
j=1
j .
wtedy
,
gdy
jest
t
wierdzeniem ra
h
unku
zda«.
4
4
.
Sformalizo w
ane
teorie
matemat
y zne
G