15.06.2002

r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 1

Niech A i B A i B

Pr( B | )

A , Pr( B |

A ) , Pr( A) Pr( B) p .

Oblicz p 1/ 2 i 1/ 3 .

2

(A) p

5

1

(B) p

3

1

(C) p

2

1

(D) p

5

1

(E) p

6

1

15.06.2002

r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 2

r 25 kul, z których m 15 r m 10 czarnych.

Losujemy bez zwracania najpierw n 6 kul, w urnie,

1

losujemy bez zwracania n 8 kul. Niech 2

S

1

S

2

Oblicz )

Cov( S , S

.

1

2

(A) 48

Cov( S , S ) .

0

1

2

(B) 32

Cov( S , S ) .

0

1

2

m( r m)

(C) Cov( S , S ) n n

48

.

0

1

2

1

2

2

r ( r )

1

(D) 75

Cov( S , S ) .

0

1

2

(E) 1

Cov( S , S )

1

2

2

15.06.2002

r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 3

! X ,..., X ,...

1

n

"#

R 0 i R max( X ,...., X ) dla n 0 .

0

n

1

n

Zmienne losowe N i M X ,..., X ,...

1

n

obie te zm $ E( N ) i E( M ) .

Oblicz Pr( R R ) .

N M

N

(A) Pr( R

)

1

N M RN

e

(B) Pr( R

R

N M

)

N

1

(C) Pr( R

R

N M

)

N

(D) Pr( R

)

1

N M RN

e

(E) "

Wskazówka: ! % N M 0 & X ,..., X ,..., X

1

N

N M

$ N M 0 mamy

R R .

M N

N

3

15.06.2002

r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 4

! X ,..., X ,...

1

n

" E( X )

,

2

Var( X )

. Niech N

i

i

X ,..., X ,... , "

1

n

wzorem:

n 1

2

Pr( N n) n 1

( ) , dla n ,

1 ,....

2

.

n

Niech S

X .

n

i

i1

SN

Oblicz Var

.

N

SN

(A) Var

( 2

2

)

N

SN

(B)

2

Var

N

SN 2

(C) Var

N

SN

2

(D) Var

N 1

SN

(E)

2

2

Var

N

4

15.06.2002

r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 5

! W , W ,..., W ,...

1

2

n

zmienna W ' ( w 0

1

1

f ( w )

exp( w );

1

1

warunkowo, dla danych W , W ,..., W , zmienna W ' (

1

2

n

n 1

w

n

0

1

exp( wn ) gdy w

c

1

n

;

f ( w

n | w ,...., w )

1

1

n

exp( wn ) gdy w c

1

n

;.

Niech c ln 2 , 1 , 2 .

Podaj lim E( W ) .

n

n

(A) 5

lim E( W )

n

3/

n

(B) 5

lim E( W )

n

4 /

n

(C)

1

/ 5

lim E( W )

n

e

n

(D)

1

/ 5

lim E( W )

n

2

n

(E) 4

lim E( W )

n

3/

n

5

15.06.2002

r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 6

! X ,..., X i Y ,..., Y

1

n

1

m

normalnego )

N (, 2

. Niech

n

1

X

X )

i

n i1

m

1

Y

Y

i

m i1

Oblicz Pr( | X | | Y | ) n 100 i m 385 % **+&

.

.

(A) Pr( | X | | Y | ) 74

.

0

(B) Pr( | X | | Y | ) 94

.

0

(C) Pr( | X | | Y | ) 66

.

0

(D) Pr( | X | | Y | ) 80

.

0

(E) Pr( | X | | Y | ) 70

.

0

6

15.06.2002

r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 7

Niech W , W ,..., W w 0

1

2

n

wzorem:

f ( )

w

exp( ).

w

# W do

i

,

Z , Z ,..., Z , gdzie 1

2

n

Z W .

i

i

(symbol a k a k ).

Oblicz estymator ˆ nieznanego parametru oparty na obserwacjach Z , Z ,..., Z .

1

2

n

n

ˆ

S

(A) ln

1 , gdzie S Z

n

i

i1

n

n

(B) ˆ

, gdzie S Z

S

i

i1

n

n

(C) ˆ , gdzie S Z

S

i

i1

n

n

(D) ˆ

1

, gdzie S Z

S

i

i1

n

ˆ

n

(E) ln1 , gdzie S Z

S

i

i1

7

15.06.2002

r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 8

Próbka X , X ,..., X N

2

,

1

2

14

2

. Na podstawie tej próbki zbudowano w standardowy

- 1 0.995 dla :

X S t 14 , X S t 14 .

14

14

Niech X

15

X , X ,..., X .

1

2

14

. " X , na

15

- (

p Pr X S t 14 X X S t 14

14

15

14

% **+&

(A) p 99

.

0

(B) 95

p .

0

(C) 60

p .

0

(D) p 40

.

0

(E) 85

p .

0

8

15.06.2002

r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 9

Obserwuj ( X , Y ) ! X

N( )

1

, i Y N ( 1

, / )

3 (

X

Y

wariancje, a nie odchylenia standardowe).

/ H : ( , )

przeciwko alternatywie

X

Y

( )

0

,

0

0

H : ( , )

0.1.

X

Y

)

1

,

1

(

1

Wyznacz moc tego testu.

(A) moc 0.83

(B)

moc 0.48

(C)

moc 0.97

(D)

moc 0.91

(E) moc 0.76

9

15.06.2002

r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 10

! , zmienne losowe X ,..., X ,....

1

n

"(

Pr( X

, Pr( X

.

i 0 | ) 1

i 1 | )

Zmienna losowa [

]

1

,

0

1 dla

0 ;

1

( )

0 w przeciwnym przypadku.

Niech

N min n : X

.

n

1

Oblicz )

Pr( N n 1 | N n dla n

,

1

,

0

,...

2

n

(A) Pr( N n 1 | N n)

n 2

1

(B) Pr( N n 1 | N n)

n 1

1

(C) Pr( N n 1 | N n)

n 2

1

(D) Pr( N n 1 | N n)

2

1

(E) Pr( N n 1 | N n)

(

2 n )

1

10

15.06.2002

r.

___________________________________________________________________________

Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2002 r.

Arkusz odpowiedzi*

, .................. K L U C Z O D W I E D Z I ..............................

Pesel ...........................................

Zadanie nr

. 0 Punktacja

1 A

2 C

3 D

4 B

5 B

6 E

7 E

8 C

9 E

10 C

* Arkuszu odpowiedzi.

W

11