15.06.2002
r
.
___________________________________________________________________________
1
Zadanie 1
Niech A i B
A i B
)
|
Pr(
A
B
,
)
|
Pr(
A
B
,
p
B
A
)
Pr(
)
Pr(
.
Oblicz p
2
/
1
i
3
/
1
.
(A)
5
2
p
(B)
3
1
p
(C)
2
1
p
(D)
5
1
p
(E)
6
1
p
15.06.2002
r
.
___________________________________________________________________________
2
Zadanie 2
25
r
kul, z których
15
m
10
m
r
czarnych.
Losujemy bez zwracania najpierw
6
1
n
kul,
w urnie,
losujemy bez zwracania
8
2
n
kul. Niech
1
S
2
S
Oblicz )
,
(
2
1
S
S
Cov
.
(A) 48
.
0
)
,
(
2
1
S
S
Cov
(B) 32
.
0
)
,
(
2
1
S
S
Cov
(C)
48
.
0
)
1
(
)
(
)
,
(
2
2
1
2
1
r
r
m
r
m
n
n
S
S
Cov
(D) 75
.
0
)
,
(
2
1
S
S
Cov
(E) 1
)
,
(
2
1
S
S
Cov
15.06.2002
r
.
___________________________________________________________________________
3
Zadanie 3
!
,...
,...,
1
n
X
X
"#
0
0
R
i
)
,....,
max(
1
n
n
X
X
R
dla
0
n
.
Zmienne losowe
N
i M
,...
,...,
1
n
X
X
obie te zm
$
)
(N
E
i
)
(M
E
.
Oblicz
)
Pr(
N
M
N
R
R
.
(A)
e
R
R
N
M
N
1
)
Pr(
(B)
1
)
Pr(
N
M
N
R
R
(C)
)
Pr(
N
M
N
R
R
(D)
e
R
R
N
M
N
1
)
Pr(
(E)
"
Wskazówka:
! %
0
M
N
&
M
N
N
X
X
X
,...,
,...,
1
$
0
M
N
mamy
N
N
M
R
R
.
15.06.2002
r
.
___________________________________________________________________________
4
Zadanie 4
!
,...
,...,
1
n
X
X
"
)
(
i
X
E
,
2
)
(
i
X
Var
. Niech
N
,...
,...,
1
n
X
X
,
"
wzorem:
2
1
)
1
(
)
Pr(
n
n
n
N
, dla
,....
2
,
1
n
.
Niech
n
i
i
n
X
S
1
.
Oblicz
N
S
Var
N
.
(A)
)
(
2
2
N
S
Var
N
(B)
2
N
S
Var
N
(C)
2
N
S
Var
N
(D)
1
2
N
S
Var
N
(E)
2
2
N
S
Var
N
15.06.2002
r
.
___________________________________________________________________________
5
Zadanie 5
!
,...
,...,
,
2
1
n
W
W
W
zmienna
1
W
' (
0
1
w
);
exp(
)
(
1
1
w
w
f
warunkowo, dla danych
n
W
W
W
,...,
,
2
1
, zmienna
1
n
W
' (
0
1
n
w
;.
)
exp(
;
)
exp(
)
,....,
|
(
1
1
1
1
c
w
gdy
w
c
w
gdy
w
w
w
w
f
n
n
n
n
n
n
Niech
2
ln
c
,
1
,
2
.
Podaj
)
(
lim
n
n
W
E
.
(A) 5
/
3
)
(
lim
n
n
W
E
(B) 5
/
4
)
(
lim
n
n
W
E
(C)
5
/
1
)
(
lim
e
W
E
n
n
(D)
5
/
1
2
)
(
lim
n
n
W
E
(E) 4
/
3
)
(
lim
n
n
W
E
15.06.2002
r
.
___________________________________________________________________________
6
Zadanie 6
!
n
X
X ,...,
1
i
m
Y
Y ,...,
1
normalnego )
,
(
2
N
. Niech
n
i
i
X
n
X
1
1
)
m
i
i
Y
m
Y
1
1
Oblicz
)
|
|
|
|
Pr(
Y
X
100
n
i
385
m
% **+&
.
.
(A)
74
.
0
)
|
|
|
|
Pr(
Y
X
(B)
94
.
0
)
|
|
|
|
Pr(
Y
X
(C)
66
.
0
)
|
|
|
|
Pr(
Y
X
(D)
80
.
0
)
|
|
|
|
Pr(
Y
X
(E)
70
.
0
)
|
|
|
|
Pr(
Y
X
15.06.2002
r
.
___________________________________________________________________________
7
Zadanie 7
Niech
n
W
W
W
,...,
,
2
1
0
w
wzorem:
).
exp(
)
(
w
w
f
#
i
W
do
,
n
Z
Z
Z
,...,
,
2
1
, gdzie
i
i
W
Z
.
(symbol
a
k
k
a
).
Oblicz estymator
ˆ nieznanego parametru
oparty na
obserwacjach
n
Z
Z
Z
,...,
,
2
1
.
(A)
1
ln
ˆ
n
S
, gdzie
n
i
i
Z
S
1
(B)
S
n
ˆ
, gdzie
n
i
i
Z
S
1
(C)
S
n
ˆ
, gdzie
n
i
i
Z
S
1
(D)
1
ˆ
S
n
, gdzie
n
i
i
Z
S
1
(E)
S
n
1
ln
ˆ
, gdzie
n
i
i
Z
S
1
15.06.2002
r
.
___________________________________________________________________________
8
Zadanie 8
Próbka
14
2
1
,...,
,
X
X
X
2
,
N
2
. Na podstawie tej próbki zbudowano w standardowy
-
995
.
0
1
dla
:
14
,
14
14
14
t
S
X
t
S
X
.
Niech
15
X
14
2
1
,...,
,
X
X
X
.
.
"
15
X , na
-
(
14
14
Pr
14
15
14
t
S
X
X
t
S
X
p
%
**+&
(A)
99
.
0
p
(B) 95
.
0
p
(C) 60
.
0
p
(D)
40
.
0
p
(E) 85
.
0
p
15.06.2002
r
.
___________________________________________________________________________
9
Zadanie 9
Obserwuj
)
,
(
Y
X
! X
)
1
,
(
X
N
i Y
)
3
/
1
,
(
Y
N
(
wariancje, a nie odchylenia standardowe).
/
)
0
,
0
(
)
,
(
:
0
Y
X
H
przeciwko alternatywie
)
1
,
1
(
)
,
(
:
1
Y
X
H
1
.
0
.
Wyznacz moc tego testu.
(A) moc
83
.
0
(B)
moc
48
.
0
(C)
moc
97
.
0
(D)
moc
91
.
0
(E) moc
76
.
0
15.06.2002
r
.
___________________________________________________________________________
10
Zadanie 10
!
, zmienne losowe
,....
,...,
1
n
X
X
"(
)
|
1
Pr(
i
X
,
1
)
|
0
Pr(
i
X
.
Zmienna losowa
]
1
,
0
[
.
0
;
1
0
1
)
(
przypadku
przeciwnym
w
dla
Niech
1
:
min
n
X
n
N
.
Oblicz )
|
1
Pr(
n
N
n
N
dla
,...
2
,
1
,
0
n
(A)
2
)
|
1
Pr(
n
n
n
N
n
N
(B)
1
1
)
|
1
Pr(
n
n
N
n
N
(C)
2
1
)
|
1
Pr(
n
n
N
n
N
(D)
2
1
)
|
1
Pr(
n
N
n
N
(E)
)
1
(
2
1
)
|
1
Pr(
n
n
N
n
N
15.06.2002
r
.
___________________________________________________________________________
11
Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2002 r.
Arkusz odpowiedzi
*
,
.................. K L U C Z O D W I E D Z I ..............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
. 0 Punktacja
1 A
2 C
3 D
4 B
5 B
6 E
7 E
8 C
9 E
10 C
*
Arkuszu odpowiedzi.
W