Całka nieoznaczona - Wprowadzenie DEFINICJA

Niech f będzie funkcją określoną na przedziale I, o wartościach w zbiorze liczb rzeczywi-stych. Funkcję F określoną na tym samym przedziale nazwiemy pierwotną funkcji f , jeśli F ′( x) = f ( x) dla każdego x ∈ I.

PRZYKŁADY

x 2

f ( x) = x F ( x) = 2

x 4

f ( x) = x 3

F ( x) = 4

x 4

f ( x) = x 3

F ( x) =

+ 12

4

Uwaga. Funkcje F 1 i F 2 są pierwotnymi tej samej funkcji f na przedziale I wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stała C ∈

taka, że F 2( x) = F 1( x) + C dla każdego x ∈ I (t.j. gdy F 1

R

i F 2 różnią się o stałą).

Każdą z funkcji pierwotnych danej funkcji f nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f i Z

Z

oznaczamy przez

f ( x) d x (w skrócie f ).

Mamy więc

Z

x 2

x d x =

+ C

2

Z

x 4

x 3 d x =

+ C

4

itd.

Istnienie całek. Zachodzi następujące TWIERDZENIE

Jeśli f jest ciągła w I to f ma funkcję pierwotną.

Jeśli f nie jest ciągła, to pierwotnej może nie mieć. Przykład: f ( x) = sgn x.