nym i oznaczamy symbolem

∞

X

an.

n=1

n

Sumę skończoną S

X

n =

ak nazywamy n - tą sumą częściową szeregu k=1

liczbowego.

Nanotechnologia -

- sem.II -

mgr Małgorzata Suchecka - 3

Składniki a 1 , a 2 , a 3 , . . . , an, . . . nazywamy wyrazami szeregu nieskończonego.

Składnik an - ogólnym wyrazem szeregu lub n - tym wyrazem szeregu.

Przykład

Obliczyć n-te sumy częściowe podanych szeregów:

∞ 7 n + 3 n

∞

1

∞

n

a) X

b) X

c) X ln

n=1

10 n

n=1 n ( n + 1)

n=1

n + 1

Definicja( zbieżności szeregu liczbowego) Szereg liczbowy nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych jest zbieżny do granicy właściwej, tzn. lim Sn = S, natomiast rozbieżnym w n→+ ∞

przypadku przeciwnym, tzn. kiedy granica ta jest niewłaściwa lub nie istnieje. Granicę S nazywamy sumą szeregu nieskończonego lub krótko sumą szeregu.

Nanotechnologia -

- sem.II -

mgr Małgorzata Suchecka - 4

Przykład

Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych szeregów liczbowych. W przypadku szeregów zbieżnych podać ich sumy:

∞ 

1

1



∞

∞

1

a) X

X

X



−



b)

( − 1) n

c)





n=1 n + 2

n + 1

n=1

n=1 n 2 + 5 n + 6

∞

1

∞



π 

d) X √

√

e) X sin (2 n − 1) 

n=1

n +

n + 1

n=1

2

Uwaga

Pomijając pewną liczbę początkowych wyrazów szeregu zbieżnego (lub rozbieżnego), otrzymujemy szereg zbieżny (lub rozbieżny).

Wniosek

∞

Badanie zbieżności szeregu X an można zastąpić badaniem zbieżności n=1

∞

szeregu X an. Szeregi te mogą mieć inne sumy.

n= k

Nanotechnologia -

- sem.II -

mgr Małgorzata Suchecka - 5

Definicja( równości szeregów liczbowego)

∞

∞

X

a

X

n ≡

bn ⇔ ∀n∈Nan = bn

n=1

n=1

Uwaga

Równość szeregów zbieżnych jest równoznaczna z równością ich sum.

Odwrotna zależność nie zachodzi.

Definicja

Dla k będącego dowolną liczbą rzeczywistą, zachodzi równość

∞

∞

k · X a

X

n =

k · an.

n=1

n=1

Nanotechnologia -

- sem.II -

mgr Małgorzata Suchecka - 6

Definicja

∞

∞

∞

Szereg X ( a

X

X

n + bn) nazywamy sumą szeregów

an i

bn.

n=1

n=1

n=1

Uwaga

∞

∞

Ze zbieżności szeregów X a

X

n i

bn wynika zbieżność ich sumy. Zależ-

n=1

n=1

ność odwrotna nie jest prawdziwa.

Twierdzenie

∞

∞

Jeżeli szeregi X a

X

n i

bn są zbieżne oraz ich sumy wynoszą odpo-

n=1

n=1

wiednio A i B, to

∞

X

( an + bn) = A + B

n=1

oraz

∞

X

k · an = k · A,

n=1

gdzie k jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Nanotechnologia -

- sem.II -

mgr Małgorzata Suchecka - 7

Twierdzenie ( warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego)

∞

Jeżeli szereg nieskończony X an jest zbieżny, to lim an = 0.

n=1

n→+ ∞

Wniosek

∞

Jeżeli

lim a

X

n 6= 0, to szereg

an jest rozbieżny.

n→+ ∞

n=1

Przykład

Sprawdzić, czy dla podanych szeregów spełniony jest warunek konieczny zbieżności szeregów:

∞

7 n

∞

√

√





!

∞

1

a) X

b) X n

n 2 + 1 −

n 2 − 1 c)

X

cos sin 





n=1 10 n ( n 2 − 7 n + 5) n=1

n=1

n

∞

∞

√

∞ sin ( n + 1)

d)

n

X

2( − 1) nn

e) X

e−n + 1

f ) X

n=1

n=1

n=1

n

Nanotechnologia -

- sem.II -

mgr Małgorzata Suchecka - 8

Definicja( szeregu harmonicznego)

Szeregiem harmonicznym nazywamy szereg postaci

∞ 1

1

1

1

X

= 1 +

+

+

+ . . . .

n=1 n

2

3

4

Szereg harmoniczny jest szeregiem rozbieżnym.

Definicja ( szeregu Dirichleta)

Szeregiem Dirichleta (lub uogólnionym szeregiem harmonicznym al-

∞

1

bo szeregiem harmonicznym rzędu α) nazywamy szereg postaci X

,

n=1 nα

gdzie α oznacza dowolną liczbę rzeczywistą.

Twierdzenie

∞

1

Szereg Dirichleta postaci

X

jest:

n=1 nα

a) rozbieżny dla

α ¬ 1 .

b) zbieżny dla

α > 1

Nanotechnologia -

- sem.II -

mgr Małgorzata Suchecka - 9

Szeregi o wyrazach nieujemnych

Twierdzenie

Jeżeli ciag sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ogra-niczony z góry, to ten szereg jest zbieżny.

Twierdzenie ( kryterium porównawcze typ I)

∞

∞

Jeżeli wyrazy szeregów

X

a

X

n oraz

bn są nieujemne, a ponadto

n=1

n=1

istnieje taka liczba naturalna N , że dla każdego n > N jest spełniona nierówność an ¬ bn, to

∞

1) ze zbieżności szeregu X bn

n=1 ∞

wynika zbieżność szeregu X an

n=1

∞

2) z rozbieżności szeregu X an

n=1 ∞

wynika rozbieżność szregu X bn

n=1

Nanotechnologia -

- sem.II -

mgr Małgorzata Suchecka - 10

Uwaga

Przy zastosowaniu tego kryterium często posługujemy się szeregiem Dirichleta i szeregiem geometrycznym oraz korzystamy (z wyprowadzonych za pomocą granic lub znanych) nierówności: 1

3

• x < sin x < x

2

2

1

3

• x < tg x < x

2

2

• sin x < x < tg x

• ln x < ln ( x + 1) < x

• 0 ¬ | sin x| ¬ |x|

• 1 < ln x

• 0 < tg x < 2 x

• 0 < arctg x < π 2

Nanotechnologia -

- sem.II -

mgr Małgorzata Suchecka - 11

Przykład

Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność podanych szeregów:

∞

2 n 3

∞

1

∞ ln n

a) X

b) X

√

c)

X

√

n=1 n 5 + 3

n=1 n

n + 2

n=1

n 5

√

√

∞

1

1

∞

n + 2 −

n + 1

∞ 2 n 2 − 3

d) X

cos

e) X

f ) X

n=1 n 2

n

n=1

n

n=1 7 n 5 − 3

Twierdzenie ( kryterium porównawcze typ II)

∞

∞

Jeżeli wyrazy szeregów

X

a

X

n oraz

bn są dodatnie oraz istnieje

n=1

n=1

an

granica k =

lim

skończona i większa od zera, to badane szeregi

n→+ ∞ bn

sa jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.

Nanotechnologia -

- sem.II -

mgr Małgorzata Suchecka - 12

Twierdzenie ( kryterium d’Alemberta) a

Jeżeli istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) g =

lim

n+1 , to

n→+ ∞ an

∞

szereg

X

an o wyrazach dodatnich jest zbieżny, gdy g < 1, natomiast n=1

rozbieżny, gdy g > 1. W przypadku, gdy granica ta jest równa 1, to kryterium d’Alemberta nie rozstrzyga zbieżności badanego szeregu.

Uwaga

Kryterium to stosujemy głównie, gdy występują silnie ! .

Przykład

Korzystając z kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność podanych szeregów liczbowych.

∞ 3 n+2

∞ 2 nn!

∞ (2 n)!5 n

a) X

b) X

c) X

n=1 5 n!

n=1 nn

n=1

n 2 n

Nanotechnologia -

- sem.II -

mgr Małgorzata Suchecka - 13

Twierdzenie ( kryterium Cauchy’ego)

√

Jeżeli istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) g =

lim

n

an,

n→+ ∞

∞

to szereg

X

an o wyrazach dodatnich jest zbieżny, gdy g < 1, nato-n=1