Logika – osoba podejrzana, stale prześlado-
A zatem w przyk³adzie z obroñc¹ i prokuratorem
wana przez wyższych dygnitarzy, posłów, po- obroñca twierdzi ni mniej, ni wiêcej tylko tyle: Oskar¿ony zrobi³ to i nie mia³ wspólnika.
ważne instytucje i dziennikarzy.
Do tego mo¿e doprowadziæ nieznajomoœæ praw logiki!!
K. Bartosiewicz
* * *
Staro¿ytny sofizmat. Wielki sofista Protagoras umówi³Podobno s¹ tacy kibice, którzy sport w telewizji ogl¹- siê z jednym ze swoich uczniów, ¿e ten zap³aci mu za daj¹ tylko po to, ¿eby poœmiaæ siê ze sprawozdaw-naukê retoryki dopiero wtedy, gdy wygra swój pierw-
ców. Muszê przyznaæ, ¿e - szczególnie po olimpia-
szy proces s¹dowy. M³odzieniec zakoñczy³ naukê, ale
dzie - rozumiem tych ludzi. Z³oty medal za rozœmiesza-
nie kwapi³ siê z rozpoczêciem kariery prawniczej. Po
nie widzów powinien zostaæ przyznany sprawozdawcy
kilku latach nauczyciel pozwa³ go do s¹du o zwrot pie-
kolarskiemu. Niewiele brakowa³o mu do klasyki tego
niêdzy. Rozumowa³ tak: jeœli uczeñ wygra proces, to
gatunku: I teraz, proszê pañstwa, wszystko w rêkach
zgodnie z umow¹ bêdzie musia³ zap³aciæ. Jeœli przegra,
konia... No i Deyna lew¹ nog¹ wpisa³ siê na listê strzel-
to bêdzie musia³ zap³aciæ zgodnie z wyrokiem s¹du.
ców... Kamery patrz¹ pod ró¿nymi k¹tami, ale nie udaje
Tak czy owak, dostanê swoje pieni¹dze.
im siê zajrzeæ do wnêtrza zawodniczek... Jedenastka
Ale uczeñ odrzek³: Jeœli proces wygram, to w
Anglików bêdzie musia³a graæ w dziesi¹tkê...
myœl orzeczenia s¹du nie bêdê ci musia³ nic zap³aciæ.
CZY NALEŻY BYĆ LOGICZNYM
A je¿eli przegram, to nie bêdê musia³ p³aciæ na mocy
naszej umowy. Tak czy owak nie dostaniesz ode mnie
I PO CO? Michał Szurek ani obola.
Nie oczekujmy zbyt wiele. Precyzja jêzyka jest
* * *
nieznoœna, a sprawozdawca reaguje emocjonalnie -Precyzyjne myœlenie i wnioskowanie by³o za-
choæ powinien zachowaæ ch³odny dystans. Gorzej jest,
wsze atrybutem matematyki. „Nie ma królewskich dróg
gdy logika zawodzi przedstawicieli tych zawodów,
w geometrii” odpowiedzia³ Arystoteles Aleksandrowi
gdzie podejmuje siê decyzje dotycz¹ce ludzi. Oto
Wielkiemu, gdy ten chcia³, by królom by³o ³atwiej siê
pierwszy przyk³ad:
uczyæ. Ale dopiero w koñcu XIX wieku niemiecki mate-
Prokurator: Je¿eli oskar¿ony to zrobi³, to mia³
matyk Georg Cantor (1845-1918) przyjrza³ siê krytycz-
wspólnika!
nie matematyce „od kuchni”. By³ on te¿ motorem
Obroñca: to nieprawda!
wszelkich zmian w kierunku rosn¹cej roli abstrakcji
w matematyce. Dziœ widzimy, ¿e nie wolno poluŸniaæ
Otó¿ obroñca powiedzia³ najgorsz¹ rzecz, jak¹
wymogów œcis³oœci. Bardzo wielu nawet sk¹din¹d roz-
móg³. Dlaczego? Wynika to z logicznej zasady zwanej
s¹dnych ludzi daje siê zwieœæ nieodpowiedzialnym na-
prawem zaprzeczenia implikacji. Implikacja to zdanie
wo³ywaniom, ¿e gdyby nie zwracaæ a¿ takiej uwagi na
postaci
œcis³oœæ, to matematyka sta³aby siê ³atwiejsza. Sta³aby
Je¿eli ... to
siê, dok³adnie tak, jak zniesienie egzaminów na prawo
jazdy u³atwi³oby naukê prowadzenia samochodu.
Przyjrzyjmy siê, jak zaprzeczamy takiemu zda-
Matematyka jest jedyn¹ nauk¹, w której prawda
niu. Rozwa¿my ³atwy (?) przyk³ad:
jest tylko jedna, a z tych samych przes³anek mo¿na wy-
Mama k³óci siê z synem.
prowadziæ zawsze i wszêdzie tylko te same wnioski.
– Je¿eli bêdziesz piæ piwo na lekcjach, to wyrzuc¹ ciê Na ogó³ podaje siê to jako zaletê naszej dyscypliny, ale
ze szko³y.
mo¿na zrozumieæ i inny punkt widzenia: matematyka
– Nieprawda, mamusiu, zawsze pijê i nie wyrzucaj¹.
jest jak tramwaj, który jedzie tylko po szynach, zaœ
– £adna szko³a!
w naukach humanistycznych myœl nie jest skrêpowana.
M
– Pewnie, ¿e ³adna. Przynajmniej nauczyli mnie regu³y
Rzecz mo¿na uj¹æ nastêpuj¹co: istniej¹ pew-
Ł
zaprzeczania implikacji. Implikacja nie jest prawdzi-
ne ci¹gi wydarzeñ (nastêpowanie jednej rzeczy po
ODY
wa, gdy prawdziwa jest koniunkcja poprzednika i za-
drugiej), które, w œcis³ym znaczeniu tego s³owa, s¹
przeczenia nastêpnika.
uzasadnione i konieczne. Takie s¹ w³aœnie ci¹gi ma-
TECHNIK
~ (α =>β)<==>α ∧~β
tematyczne i logiczne. My, mieszkañcy krainy cza-
O to tu chodzi? W³aœnie o to, ¿e zaprzeczenie
rów (najrozs¹dniejsze ze stworzeñ), uznajemy tê za-
zdania postaci
sadnoœæ i koniecznoœæ. Na przyk³ad, je¿eli brzydkie
Je¿eli p to q
siostry s¹ starsze od Kopciuszka, to jest (w nie-
jest
zmiennym i przera¿aj¹cym sensie tego s³owa) ko-
Prawd¹ jest p i nieprawd¹ jest q.
nieczne, by Kopciuszek by³ od nich m³odszy. Nie da
52
10/2004
n i e w i a d o m o , d l a c z e g o m a t e m a t y k a j a w i s i ę j a k o p r z e d m i o t t r u d n y, b o s ą t a m w z o r y siê tego obejœæ (...). Jeœli trzej bracia jad¹ konno, to
Wielu nauczycieli uzna to bez wahania za po-
mamy szeœæ zwierz¹t i osiemnaœcie nóg: oto praw-
rz¹dne sformu³owanie twierdzenia o pierwiastkach
dziwy racjonalizm. Kraina czarów jest go pe³na. Ale
równania kwadratowego. Porównajmy to ze sformu³o-
kiedy wychyli³em g³owê zza ¿ywop³otu otaczaj¹ce-
waniem „literackim”:
go krainê elfów i zacz¹³em siê przygl¹daæ zwyk³e-
Je¿eli wyró¿nik ∆ = b 2 – 4 ac równania kwadra-mu œwiatu, zauwa¿y³em rzecz niezwyk³¹. Odkry-
towego ax 2+ bx+ c = 0 jest dodatni, to równanie ma ³em, ¿e uczeni ludzie w okularach na nosie mówi¹
dwa pierwiastki, dane wzorami
o rzeczach, które rzeczywiœcie siê zdarzaj¹ - takich
√∆
√∆
jak wschód s³oñca (...), jakby by³y uzasadnione
x
∨
.
1 = – b
–
x2 = – b
+
i nieuniknione. Perorowali tak, jakby fakt, ¿e drze-
2 a
2 a
wa rodz¹ owoce, by³ tak samo konieczny, jak to,
Które jest bardziej zrozumia³e i kszta³c¹ce, to
¿e dwa drzewa i jedno drzewo daj¹ razem trzy
chyba widaæ.
drzewa. A przecie¿ wcale tak nie jest. Miêdzy tymi
Wielu nauczycieli wymaga, by pisaæ za³o¿enia,
dwoma twierdzeniami istnieje ogromna ró¿nica, je-
a wiêc je¿eli ax 2+ bx+ c, to zawsze z za³o¿eniem a ≠ 0.
œli zastosujemy w ich przypadku test krainy czarów,
Uwa¿am, ¿e lepsze rezultaty daje zwrot „równanie
to znaczy sprawdzian wyobraŸni. Nie mo¿na sobie
kwadratowe postaci ax 2+ bx+ c = 0”. Je¿eli bowiem wyobraziæ, ¿e dwa i jeden nie równa siê trzy. Mo¿na
równanie jest kwadratowe, to a ≠ 0. Takie podejœcie
jednak ³atwo wyobraziæ sobie drzewa nierodz¹ce
uczy analitycznego czytania tekstu i szacunku dla s³o-
owoców; mo¿na wyobraziæ sobie drzewa rodz¹ce
wa pisanego.
z³ote œwieczniki albo tygrysy zawieszone na ogo-
Oczywiœcie na logikê nale¿y zwracaæ uwagê
nach. (...)
przez ca³y czas nauki w szkole. Powiedzenie, ¿e „uczy-
W krainie czarów unikamy s³owa „prawo”,
my nie matematyki, a przez matematykê”, odnosi siê
ale w œwiecie nauki jest ono wyj¹tkowo lubiane.
bardzo dobrze do logiki. Matematyka ma miêdzy inny-
Prawo zak³ada bowiem, ¿e znamy zasady, na jakich
mi s³u¿yæ do treningu umys³owego uczniów. Jednak
dokonujemy uogólnienia i ustanowienia prawa,
nauczyciel, który przywi¹zuje za du¿¹ wagê do formal-
a nie tylko ¿e zaobserwowaliœmy pewne skutki jego
nej strony, przypomina mi zawsze znanego mi trenera
dzia³ania.
tenisowego, który na pierwszej lekcji omawia strój te-
nisisty, na drugiej zachowanie siê na korcie, na trzeciej
Gilbert Keith Chesterton, Ortodoksja, przek³. Magdalena So-w³aœciw¹ postawê, na czwartej trzymanie rakiety...
bolewska, Biblioteka Frondy, Gdañsk - Warszawa 1996.
a pi³kê daje uczniom do rêki na krótko w drugim seme-
strze.
Jak wszyscy wiemy, w spo³eczeñstwie istnieje
pewnego rodzaju lêk przed matematyk¹. Przybiera on
* * *
niekiedy formê snobizmu. Snobowanie siê na nieznajo-Przypomnijmy sobie rzeczy znane:
moœæ matematyki jest powszechne. Najgorsz¹ opini¹
Istota najwa¿niejszych typów rozumowania:
ciesz¹ siê „wzory”. Nie wiadomo, dlaczego matematy-
Dedukcja: pada deszcz. Prawa fizyki mówi¹, ¿e bêdzie
ka jawi siê jako przedmiot trudny, bo s¹ tam wzory. Nie
mokro.
jest to tylko polski problem. Wybitny fizyk angielski
Redukcja: Ulice s¹ mokre. Zatem pada³ deszcz, bo co
Steven Hawking pisze w swojej ksi¹¿ce o czasie: „jak
innego tak porz¹dnie zmoczy³oby jezdniê?
wiadomo, ka¿dy zamieszczony w ksi¹¿ce wzór
Indukcja: Do tej pory zawsze tak by³o, ¿e po deszczu
zmniejsza jej sprzedawalnoœæ o po³owê”. Byæ mo¿e,
ulice by³y mokre. Wiêc i teraz te¿ tak bêdzie.
tylko czy matematyka ma byæ dziewk¹ sprzedajn¹?
Tak rozumianej indukcji nie nale¿y myliæ z zasa-
Jednym z celów nauczania matematyki jest w³a-
d¹ indukcji matematycznej, której uczymy póŸniej.
œnie rozumienie wzorów: odczytywanie w³asnoœci funk-
Poprzednik implikacji to za³o¿enia twierdzenia,
cji z opisuj¹cego j¹ wzoru: pocz¹wszy od takich spraw,
nastêpnik to teza. W praktyce np. adwokackiej nazywa
jak „wiêkszy mianownik to mniejszy u³amek”, a skoñ-
siê to czêœciej przes³ankami i wnioskiem. Z formalnych
czywszy na badaniu przebiegu zmiennoœci funkcji me-
w³asnoœci spójników zdaniowych wynikaj¹ regu³y
todami analizy matematycznej. Ale kto uczy tylko „na
wnioskowania: zawsze prawdziwe schematy rozumo-
wzorach”, ten pope³nia ten sam b³¹d co nauczyciel mu-
wañ. A zatem z w³asnoœci koniunkcji wynika, ¿e ka¿da
zyki, który delektuje siê zapisem nutowym, a na wyko-
umowa, któr¹ zawarliœmy, zostaje naruszona, je¿eli na-
nanie nie zwraca wiêkszej uwagi.
ruszymy choæ jeden warunek. Z w³asnoœci alternatywy
Symboliki logicznej i teorii mnogoœci nie nale¿y
zaœ, ¿e je¿eli mamy prawo do czegoœ po spe³nieniu jed-
nadu¿ywaæ, a na dobr¹ sprawê mo¿na jej prawie nie
nego z kilku warunków, to nabywamy owe prawa po
u¿ywaæ. Formu³owanie twierdzeñ w zwyk³ym, literac-
spe³nieniu dowolnie przez nas wybranego. To jest
M
kim jêzyku uczy te¿ precyzji wypowiedzi. Warunek
oczywiste. Mniej oczywiste s¹ niektóre regu³y rz¹dz¹ce
ŁODY
2 < x < 3 wygl¹da lepiej ni¿ x ∈ (2; 3). Zamiast „funk-implikacj¹. Przypomnijmy sobie, ¿e implikacja o fa³-
cja jest okreœlona dla wszystkich x ∈ R”, lepiej jest mó-
szywym poprzedniku jest prawdziwa. Na przyk³ad ka¿-
TECHNIK
wiæ „jest okreœlona dla wszystkich liczb rzeczywistych”.
de z takich zdañ jest prawdziwe:
Spójrzmy na przyk³ad na stwierdzenie
Je¿eli 2 + 2 = 5, to Ksiê¿yc jest z sera.
( ax 2+ bx+ c = 0 ∧ a ≠ 0 ∧ ∆ = b 2 – 4 ac ≥ 0)=> Je¿eli 1/ x = 0, to x = 34.
√∆
√∆
Je¿eli 1/ x = 0, to x = 35.
=> x = – b
–
∨ x = – b
+
.
Je¿eli x jest liczb¹ rzeczywist¹ tak¹,
2 a
2 a
¿e x 2 + x + 1 = 0, to x = 17.
53
10/2004
Chocia¿ napisane wy¿ej cztery zdania s¹ praw-
Pojedyncze i podwójne przeczenie. Po polsku
dziwe, to Ksiê¿yc nie jest z sera, 34 nie równa siê 35,
(i w ogóle w jêzykach s³owiañskich) podwójne przecze-
ani 172+17+1 nie jest równe 0!
nie mo¿e mieæ w ogóle inne znaczenie ni¿ w angiel-
Z fa³szywych przes³anek mo¿na wyprowadziæ
skim, niemieckim itp. B³êdem by³oby przet³umaczenie
ka¿d¹ tezê: prawdziw¹ lub fa³szyw¹!
Nic nie robiê jako I am not doing nothing. Niekiedy nie Implikacja o fa³szywym poprzedniku jest zawsze
dostrzegamy tej osobliwoœci jêzyka polskiego, ale na-
prawdziwa!
wet dla dobrze znaj¹cego jêzyk polski Niemca czy An-
Z fa³szu wynika wszystko.
glika próba zrozumienia znaczenia zdania
Nikt tu nigdy niczego niepotrzebnego nie robi
Regu³y wnioskowania. S³owo „dowód” jest w jêzyku
potocznym u¿ywane w sposób wieloznaczny. Mówimy
mo¿e byæ koszmarem.
na przyk³ad, ¿e ktoœ swoim zachowaniem da³ dowód
Zadanie. Jak brzmi zaprzeczenie tego zwrotu?
przezornoœci. Mówimy tak¿e, ¿e adwokat przeprowa-
Proszê sobie wyobraziæ, ¿e jest Pan/Pani szefem zespo-
dzi³ dowód niewinnoœci swego klienta, opieraj¹c siê na
³u kontroluj¹cego dzia³anie podleg³ej jednostki. Dyrek-
niebudz¹cych w¹tpliwoœci przes³ankach i wi¹¿¹c je lo-
tor jednostki chce pochwaliæ siebie i pracowników, ¿e
gicznie ze sob¹ za pomoc¹ niezbitej argumentacji. W
tak dobrze i efektywnie pracuj¹ i wypowiada w³aœnie
matematyce s³owo „dowód” ma sens zbli¿ony do dru-
to zdanie. Pan/Pani siê z tym nie zgadza...
giego z wy¿ej wymienionych.
Œredniowieczni filozofowie wyodrêbnili wiele re-
Autentyczne zadania egzaminacyjne
gu³ wnioskowania. Oto krótki przegl¹d.
W obecnych egzaminach do szkó³ wy¿szych za-
dañ z logiki raczej nie ma. To dobrze. Przytaczamy „na
Nazwa
Opis s³owny
Przyk³ad
Wzór matematyczny
Modus ponens, regu- Jeœli poprzednik praw-
- Je¿eli kochaæ, to tylko we dwóch1)
[ p ∧ ( p=> q)]=> q
³a odrywania
dziwej implikacji jest
- Kochasz mnie?
zdaniem prawdziwym,
- Kocham!
to i nastêpnik musi byæ - Wiêc przyjdŸ z koleg¹!
prawd¹.
Modus tollendo po-
Je¿eli zdanie alterna-
Koszula, która by³a dobra, jest teraz za
[( p ∨ q ) ∧~ p] => q
nens (sposób przez
tywne jest prawdziwe
ciasna. Hm, albo koszula siê zbieg³a w
zaprzeczenie stwier- i jeden z jego cz³onów
praniu, albo ja uty³em. Ale nie uty³em.
dzaj¹cy)
jest fa³szywy, to drugi
Zatem koszula siê zbieg³a w praniu.
musi byæ prawdziwy.
Modus ponendo tol-
Je¿eli zdanie dysjunk-
- Kochaj albo rzuæ!
[( p | q) ∧ p] =>~ q
lens (sposób przez
tywne jest prawdziwe
- Kocham!
potwierdzenie za-
i jeden z jego cz³onów
- To nie rzucaj!
przeczaj¹cy)
jest prawdziwy, to dru-
gi musi byæ fa³szywy.
Dylemat konstrukcyj-
Mê¿czyzna musi oddychaæ. Kobieta mu-
[( p => r) ∧ ( q => r)] => ny prosty
si oddychaæ. Ale ka¿dy doros³y cz³owiek =>[( p ∨ q) => r ]
jest mê¿czyzn¹ lub kobiet¹. Zatem ka¿-
dy doros³y cz³owiek musi oddychaæ.
Dylemat konstrukcyj-
- Jeœli na œwiêtego Prota jest pogoda, al-
[( p => r) ∧ ( q => s)] => ny z³o¿ony
bo s³ota, na œwiêtego Hieronima jest
=>[( p ∨ q) => r ∨ s ]
deszcz, albo go nie ma.
- Jaki dziœ dzieñ?
- Nie wiem, ale albo œwiêtego Hieronima,
M
albo Prota.
ŁODY
- To znaczy, ¿e pada lub nie pada!
Sylogizm warunko-
Jeœli z jednego zdania
Jeœli skoñczy³eœ 35 lat, to mo¿esz kandy- [( p => q) ∧ ( q => r)] => TECHNIK
wy, prawo przechod- wynika drugie, a z dru- dowaæ na prezydenta. Jeœli mo¿esz kan- =>( p => r) nioœci implikacji
giego trzecie, to z
dydowaæ, to mo¿esz zostaæ wybrany.
pierwszego wynika
A zatem jeœli skoñczy³eœ 35 lat, to mo-
trzecie.
¿esz byæ prezydentem.
54
10/2004
t o n i e p r a w d a , ż e n i k t t u n i g d y n i c z e g o n i e p o t r z e b n e g o n i e r o b i
wszelki wypadek” trzy z dawnych lat. Maj¹ one cha-
W zadaniu 2a) odpowiedŸ jest „nie”. Gdy bo-
rakter testu:
wiem p = 0, q = 1, to p ( q jest zdaniem prawdziwym, a zdanie p ∨ ~ q nie). W zadaniu 2b) mamy wzór wyra-1. Zdanie p brzmi: Bitwa pod Grunwaldem odby³a siê
¿aj¹cy twierdzenie przeciwstawne do danego, a wiêc
przed rokiem 1500 lub bitwa pod Grunwaldem odby-
prawdziwe. W zadaniu 2c) odpowiedzi¹ jest równie¿
³a siê po roku 1450. Zdanie q brzmi: Je¿eli 1 = 2,
„nie”. Wystarczy wzi¹æ p = 1, q = 1.
to 2 = 10. Wtedy (zaznacz prawid³ow¹ odpowiedŸ):
Trudnoœci¹ w zadaniu 3 mo¿e byæ samo zrozu-
a) obydwa zdania p i q s¹ prawdziwe,
mienie treœci, a dok³adniej o interpretacjê s³owa „gdy”.
b) p jest prawdziwe, q fa³szywe,
Nale¿y rozumieæ je w ten sposób:
c) p jest fa³szywe, q prawdziwe.
a) Czy prawd¹ jest, ¿e je¿eli obydwa zdania p i q s¹
prawdziwe, to p =>( p => q) jest prawdziwe?
2. Dla dowolnych zdañ p, q, jeœli zdanie p => q jest b) Czy prawd¹ jest, ¿e je¿eli p jest prawdziwe, zaœ q
prawdziwe, to prawdziwe jest równie¿ zdanie:
fa³szywe, to p =>( p => q) jest prawdziwe?
a) p ∨ ~ q, b) ~ q =>~ p, c) ~ p ∧ q.
c) Czy prawd¹ jest, ¿e je¿eli p jest fa³szywe, zaœ q prawdziwe, to p =>( p => q) jest prawdziwe?
3. Zdanie p =>( p => q) jest fa³szywe, gdy d) Czy prawd¹ jest, ¿e je¿eli obydwa zdania s¹ fa³szy-a) obydwa zdania p i q s¹ prawdziwe,
we, to p =>( p => q) jest prawdziwe?
b) p jest prawdziwe, q fa³szywe,
c) p jest fa³szywe, q prawdziwe,
Poprawnej odpowiedzi na zadanie 3 mo¿na naj-
d) obydwa zdania s¹ fa³szywe.
lepiej udzieliæ po prostu podstawiaj¹c za p, q wartoœci logiczne 0, 1. W 3a) mamy 1 =>(1 =>1); jest to zdanie Rozwi¹zania. W zadaniu 1 mamy alternatywê
prawdziwe. W 3b) mamy 1 =>(1 =>0), jest to fa³szywe.
zdañ: Bitwa pod Grunwaldem odby³a siê przed rokiem
W 3c) mamy 0 =>(0 =>1); jest to zdanie prawdziwe.
1500 lub bitwa pod Grunwaldem odby³a siê po roku
W 3d) mamy 0 =>(0 =>0); jest to zdanie prawdziwe. !
1450. Poniewa¿ alternatywa jest prawdziwa, gdy praw-
dziwy jest przynajmniej jeden z jej cz³onów, wiêc alter-
1) Fragment piosenki z Kabaretu Starszych Panów, wykonywanej
natywa podana jest prawdziwa. Zdanie q jest tak¿e
przez Wies³awa Michnikowskiego.
prawdziwe, z fa³szu wynika wszystko.
MŁODY
TECHNIK
55
10/2004