Logika – osoba podejrzana, stale prześlado-

wana przez wyższych dygnitarzy, posłów, po-

ważne instytucje i dziennikarzy.

K. Bartosiewicz

P

odobno s¹ tacy kibice, którzy sport w telewizji ogl¹-
daj¹ tylko po to, ¿eby poœmiaæ siê ze sprawozdaw-
ców. Muszê przyznaæ, ¿e - szczególnie po olimpia-

dzie - rozumiem tych ludzi. Z³oty medal za rozœmiesza-
nie widzów powinien zostaæ przyznany sprawozdawcy
kolarskiemu. Niewiele brakowa³o mu do klasyki tego
gatunku: I teraz, proszê pañstwa, wszystko w rêkach
konia... No i Deyna lew¹ nog¹ wpisa³ siê na listê strzel-
ców... Kamery patrz¹ pod ró¿nymi k¹tami, ale nie udaje
im siê zajrzeæ do wnêtrza zawodniczek... Jedenastka
Anglików bêdzie musia³a graæ w dziesi¹tkê...

Nie oczekujmy zbyt wiele. Precyzja jêzyka jest

nieznoœna, a sprawozdawca reaguje emocjonalnie -
choæ powinien zachowaæ ch³odny dystans. Gorzej jest,
gdy logika zawodzi przedstawicieli tych zawodów,
gdzie podejmuje siê decyzje dotycz¹ce ludzi. Oto
pierwszy przyk³ad:

Prokurator: Je¿eli oskar¿ony to zrobi³, to mia³

wspólnika!

Obroñca: to nieprawda!

Otó¿ obroñca powiedzia³ najgorsz¹ rzecz, jak¹

móg³. Dlaczego? Wynika to z logicznej zasady zwanej
prawem zaprzeczenia implikacji. Implikacja to zdanie
postaci

Je¿eli ... to

Przyjrzyjmy siê, jak zaprzeczamy takiemu zda-

niu. Rozwa¿my ³atwy (?) przyk³ad:

Mama k³óci siê z synem.

– Je¿eli bêdziesz piæ piwo na lekcjach, to wyrzuc¹ ciê

ze szko³y.

– Nieprawda, mamusiu, zawsze pijê i nie wyrzucaj¹.
– £adna szko³a!
– Pewnie, ¿e ³adna. Przynajmniej nauczyli mnie regu³y

zaprzeczania implikacji. Implikacja nie jest prawdzi-
wa, gdy prawdziwa jest koniunkcja poprzednika i za-
przeczenia nastêpnika.

~ (α =>β)<==>α ∧~β
O to tu chodzi? W³aœnie o to, ¿e zaprzeczenie

zdania postaci

Je¿eli p to q
jest
Prawd¹ jest p i nieprawd¹ jest q.

A zatem w przyk³adzie z obroñc¹ i prokuratorem

obroñca twierdzi ni mniej, ni wiêcej tylko tyle:
Oskar¿ony zrobi³ to i nie mia³ wspólnika.
Do tego mo¿e doprowadziæ nieznajomoœæ praw logiki!!

* * *

Staro¿ytny sofizmat. Wielki sofista Protagoras umówi³
siê z jednym ze swoich uczniów, ¿e ten zap³aci mu za
naukê retoryki dopiero wtedy, gdy wygra swój pierw-
szy proces s¹dowy. M³odzieniec zakoñczy³ naukê, ale
nie kwapi³ siê z rozpoczêciem kariery prawniczej. Po
kilku latach nauczyciel pozwa³ go do s¹du o zwrot pie-
niêdzy. Rozumowa³ tak: jeœli uczeñ wygra proces, to
zgodnie z umow¹ bêdzie musia³ zap³aciæ. Jeœli przegra,
to bêdzie musia³ zap³aciæ zgodnie z wyrokiem s¹du.
Tak czy owak, dostanê swoje pieni¹dze.

Ale uczeñ odrzek³: Jeœli proces wygram, to w

myœl orzeczenia s¹du nie bêdê ci musia³ nic zap³aciæ.

A je¿eli przegram, to nie bêdê musia³ p³aciæ na mocy
naszej umowy. Tak czy owak nie dostaniesz ode mnie
ani obola.

* * *

Precyzyjne myœlenie i wnioskowanie by³o za-

wsze atrybutem matematyki. „Nie ma królewskich dróg
w geometrii” odpowiedzia³ Arystoteles Aleksandrowi
Wielkiemu, gdy ten chcia³, by królom by³o ³atwiej siê
uczyæ. Ale dopiero w koñcu XIX wieku niemiecki mate-
matyk Georg Cantor (1845-1918) przyjrza³ siê krytycz-
nie matematyce „od kuchni”. By³ on te¿ motorem
wszelkich zmian w kierunku rosn¹cej roli abstrakcji
w matematyce. Dziœ widzimy, ¿e nie wolno poluŸniaæ
wymogów œcis³oœci. Bardzo wielu nawet sk¹din¹d roz-
s¹dnych ludzi daje siê zwieœæ nieodpowiedzialnym na-
wo³ywaniom, ¿e gdyby nie zwracaæ a¿ takiej uwagi na
œcis³oœæ, to matematyka sta³aby siê ³atwiejsza. Sta³aby
siê, dok³adnie tak, jak zniesienie egzaminów na prawo
jazdy u³atwi³oby naukê prowadzenia samochodu.

Matematyka jest jedyn¹ nauk¹, w której prawda

jest tylko jedna, a z tych samych przes³anek mo¿na wy-
prowadziæ zawsze i wszêdzie tylko te same wnioski.
Na ogó³ podaje siê to jako zaletê naszej dyscypliny, ale
mo¿na zrozumieæ i inny punkt widzenia: matematyka
jest jak tramwaj, który jedzie tylko po szynach, zaœ
w naukach humanistycznych myœl nie jest skrêpowana.

Rzecz mo¿na uj¹æ nastêpuj¹co: istniej¹ pew-

ne ci¹gi wydarzeñ (nastêpowanie jednej rzeczy po
drugiej), które, w œcis³ym znaczeniu tego s³owa, s¹
uzasadnione i konieczne. Takie s¹ w³aœnie ci¹gi ma-
tematyczne i logiczne. My, mieszkañcy krainy cza-
rów (najrozs¹dniejsze ze stworzeñ), uznajemy tê za-
sadnoœæ i koniecznoœæ. Na przyk³ad, je¿eli brzydkie
siostry s¹ starsze od Kopciuszka, to jest (w nie-
zmiennym i przera¿aj¹cym sensie tego s³owa) ko-
nieczne, by Kopciuszek by³ od nich m³odszy. Nie da

m a t e m a t y k a

M

Ł

ODY

TECHNIK

1

0/2004

5

52

2

CZY NALEŻY BYĆ LOGICZNYM

I PO CO?

M i c h a ł S z u r e k

n i e w i a d o m o , d l a c z e g o m a t e m a t y k a j a w i s i ę

j a k o p r z e d m i o t t r u d n y, b o s ą t a m w z o r y

siê tego obejœæ (...). Jeœli trzej bracia jad¹ konno, to
mamy szeœæ zwierz¹t i osiemnaœcie nóg: oto praw-
dziwy racjonalizm. Kraina czarów jest go pe³na. Ale
kiedy wychyli³em g³owê zza ¿ywop³otu otaczaj¹ce-
go krainê elfów i zacz¹³em siê przygl¹daæ zwyk³e-
mu œwiatu, zauwa¿y³em rzecz niezwyk³¹. Odkry-
³em, ¿e uczeni ludzie w okularach na nosie mówi¹
o rzeczach, które rzeczywiœcie siê zdarzaj¹ - takich
jak wschód s³oñca (...), jakby by³y uzasadnione
i nieuniknione. Perorowali tak, jakby fakt, ¿e drze-
wa rodz¹ owoce, by³ tak samo konieczny, jak to,
¿e dwa drzewa i jedno drzewo daj¹ razem trzy
drzewa. A przecie¿ wcale tak nie jest. Miêdzy tymi
dwoma twierdzeniami istnieje ogromna ró¿nica, je-
œli zastosujemy w ich przypadku test krainy czarów,
to znaczy sprawdzian wyobraŸni. Nie mo¿na sobie
wyobraziæ, ¿e dwa i jeden nie równa siê trzy. Mo¿na
jednak ³atwo wyobraziæ sobie drzewa nierodz¹ce
owoców; mo¿na wyobraziæ sobie drzewa rodz¹ce
z³ote œwieczniki albo tygrysy zawieszone na ogo-
nach. (...)

W krainie czarów unikamy s³owa „prawo”,

ale w œwiecie nauki jest ono wyj¹tkowo lubiane.
Prawo zak³ada bowiem, ¿e znamy zasady, na jakich
dokonujemy uogólnienia i ustanowienia prawa,
a nie tylko ¿e zaobserwowaliœmy pewne skutki jego
dzia³ania.

Gilbert Keith Chesterton, Ortodoksja, przek³. Magdalena So-
bolewska, Biblioteka Frondy, Gdañsk - Warszawa 1996.

Jak wszyscy wiemy, w spo³eczeñstwie istnieje

pewnego rodzaju lêk przed matematyk¹. Przybiera on
niekiedy formê snobizmu. Snobowanie siê na nieznajo-
moœæ matematyki jest powszechne. Najgorsz¹ opini¹
ciesz¹ siê „wzory”. Nie wiadomo, dlaczego matematy-
ka jawi siê jako przedmiot trudny, bo s¹ tam wzory. Nie
jest to tylko polski problem. Wybitny fizyk angielski
Steven Hawking pisze w swojej ksi¹¿ce o czasie: „jak
wiadomo, ka¿dy zamieszczony w ksi¹¿ce wzór
zmniejsza jej sprzedawalnoœæ o po³owê”. Byæ mo¿e,
tylko czy matematyka ma byæ dziewk¹ sprzedajn¹?

Jednym z celów nauczania matematyki jest w³a-

œnie rozumienie wzorów: odczytywanie w³asnoœci funk-
cji z opisuj¹cego j¹ wzoru: pocz¹wszy od takich spraw,
jak „wiêkszy mianownik to mniejszy u³amek”, a skoñ-
czywszy na badaniu przebiegu zmiennoœci funkcji me-
todami analizy matematycznej. Ale kto uczy tylko „na
wzorach”, ten pope³nia ten sam b³¹d co nauczyciel mu-
zyki, który delektuje siê zapisem nutowym, a na wyko-
nanie nie zwraca wiêkszej uwagi.

Symboliki logicznej i teorii mnogoœci nie nale¿y

nadu¿ywaæ, a na dobr¹ sprawê mo¿na jej prawie nie
u¿ywaæ. Formu³owanie twierdzeñ w zwyk³ym, literac-
kim jêzyku uczy te¿ precyzji wypowiedzi. Warunek
2 < x < 3 wygl¹da lepiej ni¿ x ∈ (2; 3). Zamiast „funk-
cja jest okreœlona dla wszystkich x ∈ R”, lepiej jest mó-
wiæ „jest okreœlona dla wszystkich liczb rzeczywistych”.

Spójrzmy na przyk³ad na stwierdzenie

(ax

2

+bx+c = 0 ∧ a ≠ 0 ∧ ∆ = b

2

– 4ac ≥ 0)=>

=> x = – b

–

2a

√



∆

 ∨ x = – b

+

2a

√



∆

 .

Wielu nauczycieli uzna to bez wahania za po-

rz¹dne sformu³owanie twierdzenia o pierwiastkach
równania kwadratowego. Porównajmy to ze sformu³o-
waniem „literackim”:

Je¿eli wyró¿nik ∆ = b

2

– 4ac równania kwadra-

towego ax

2

+bx+c = 0 jest dodatni, to równanie ma

dwa pierwiastki, dane wzorami

x

1

= – b

–

2a

√



∆

 ∨ x

2

= – b

+

2a

√



∆

 .

Które jest bardziej zrozumia³e i kszta³c¹ce, to

chyba widaæ.

Wielu nauczycieli wymaga, by pisaæ za³o¿enia,

a wiêc je¿eli ax

2

+bx+c, to zawsze z za³o¿eniem a ≠ 0.

Uwa¿am, ¿e lepsze rezultaty daje zwrot „równanie
kwadratowe postaci ax

2

+bx+c = 0”. Je¿eli bowiem

równanie jest kwadratowe, to a ≠ 0. Takie podejœcie
uczy analitycznego czytania tekstu i szacunku dla s³o-
wa pisanego.

Oczywiœcie na logikê nale¿y zwracaæ uwagê

przez ca³y czas nauki w szkole. Powiedzenie, ¿e „uczy-
my nie matematyki, a przez matematykê”, odnosi siê
bardzo dobrze do logiki. Matematyka ma miêdzy inny-
mi s³u¿yæ do treningu umys³owego uczniów. Jednak
nauczyciel, który przywi¹zuje za du¿¹ wagê do formal-
nej strony, przypomina mi zawsze znanego mi trenera
tenisowego, który na pierwszej lekcji omawia strój te-
nisisty, na drugiej zachowanie siê na korcie, na trzeciej
w³aœciw¹ postawê, na czwartej trzymanie rakiety...
a pi³kê daje uczniom do rêki na krótko w drugim seme-
strze.

* * *

Przypomnijmy sobie rzeczy znane:

Istota najwa¿niejszych typów rozumowania:

Dedukcja: pada deszcz. Prawa fizyki mówi¹, ¿e bêdzie
mokro.
Redukcja: Ulice s¹ mokre. Zatem pada³ deszcz, bo co
innego tak porz¹dnie zmoczy³oby jezdniê?
Indukcja: Do tej pory zawsze tak by³o, ¿e po deszczu
ulice by³y mokre. Wiêc i teraz te¿ tak bêdzie.

Tak rozumianej indukcji nie nale¿y myliæ z zasa-

d¹ indukcji matematycznej, której uczymy póŸniej.

Poprzednik implikacji to za³o¿enia twierdzenia,

nastêpnik to teza. W praktyce np. adwokackiej nazywa
siê to czêœciej przes³ankami i wnioskiem. Z formalnych
w³asnoœci spójników zdaniowych wynikaj¹ regu³y
wnioskowania: zawsze prawdziwe schematy rozumo-
wañ. A zatem z w³asnoœci koniunkcji wynika, ¿e ka¿da
umowa, któr¹ zawarliœmy, zostaje naruszona, je¿eli na-
ruszymy choæ jeden warunek. Z w³asnoœci alternatywy
zaœ, ¿e je¿eli mamy prawo do czegoœ po spe³nieniu jed-
nego z kilku warunków, to nabywamy owe prawa po
spe³nieniu dowolnie przez nas wybranego. To jest
oczywiste. Mniej oczywiste s¹ niektóre regu³y rz¹dz¹ce
implikacj¹. Przypomnijmy sobie, ¿e implikacja o fa³-
szywym poprzedniku jest prawdziwa. Na przyk³ad ka¿-
de z takich zdañ jest prawdziwe:

Je¿eli 2 + 2 = 5, to Ksiê¿yc jest z sera.
Je¿eli 1/x = 0, to x = 34.
Je¿eli 1/x = 0, to x = 35.
Je¿eli x jest liczb¹ rzeczywist¹ tak¹,
¿e x

2

+ x + 1 = 0, to x = 17.

M

Ł

ODY

TECHNIK

1

0/2004

5

53

3

Chocia¿ napisane wy¿ej cztery zdania s¹ praw-

dziwe, to Ksiê¿yc nie jest z sera, 34 nie równa siê 35,
ani 17

2

+17+1 nie jest równe 0!

Z fa³szywych przes³anek mo¿na wyprowadziæ

ka¿d¹ tezê: prawdziw¹ lub fa³szyw¹!

Implikacja o fa³szywym poprzedniku jest zawsze

prawdziwa!

Z fa³szu wynika wszystko.

Regu³y wnioskowania. S³owo „dowód” jest w jêzyku
potocznym u¿ywane w sposób wieloznaczny. Mówimy
na przyk³ad, ¿e ktoœ swoim zachowaniem da³ dowód
przezornoœci. Mówimy tak¿e, ¿e adwokat przeprowa-
dzi³ dowód niewinnoœci swego klienta, opieraj¹c siê na
niebudz¹cych w¹tpliwoœci przes³ankach i wi¹¿¹c je lo-
gicznie ze sob¹ za pomoc¹ niezbitej argumentacji. W
matematyce s³owo „dowód” ma sens zbli¿ony do dru-
giego z wy¿ej wymienionych.

Œredniowieczni filozofowie wyodrêbnili wiele re-

gu³ wnioskowania. Oto krótki przegl¹d.

Pojedyncze i podwójne przeczenie. Po polsku
(i w ogóle w jêzykach s³owiañskich) podwójne przecze-
nie mo¿e mieæ w ogóle inne znaczenie ni¿ w angiel-
skim, niemieckim itp. B³êdem by³oby przet³umaczenie
Nic nie robiê jako I am not doing nothing. Niekiedy nie
dostrzegamy tej osobliwoœci jêzyka polskiego, ale na-
wet dla dobrze znaj¹cego jêzyk polski Niemca czy An-
glika próba zrozumienia znaczenia zdania

mo¿e byæ koszmarem.

Zadanie. Jak brzmi zaprzeczenie tego zwrotu?

Proszê sobie wyobraziæ, ¿e jest Pan/Pani szefem zespo-
³u kontroluj¹cego dzia³anie podleg³ej jednostki. Dyrek-
tor jednostki chce pochwaliæ siebie i pracowników, ¿e
tak dobrze i efektywnie pracuj¹ i wypowiada w³aœnie
to zdanie. Pan/Pani siê z tym nie zgadza...

Autentyczne zadania egzaminacyjne

W obecnych egzaminach do szkó³ wy¿szych za-

dañ z logiki raczej nie ma. To dobrze. Przytaczamy „na

Nikt tu nigdy niczego niepotrzebnego nie robi

m a t e m a t y k a

M

Ł

ODY

TECHNIK

1

0/2004

Nazwa

Opis s³owny

Przyk³ad

Wzór matematyczny

Modus ponens, regu-
³a odrywania

- Je¿eli kochaæ, to tylko we dwóch

1)

- Kochasz mnie?
- Kocham!
- Wiêc przyjdŸ z koleg¹!

[p ∧ (p=>q)]=>q

Modus tollendo po-
nens (sposób przez
zaprzeczenie stwier-
dzaj¹cy)

Koszula, która by³a dobra, jest teraz za
ciasna. Hm, albo koszula siê zbieg³a w
praniu, albo ja uty³em. Ale nie uty³em.
Zatem koszula siê zbieg³a w praniu.

[(p ∨ q ) ∧~p] =>q

Modus ponendo tol-
lens (sposób przez
potwierdzenie za-
przeczaj¹cy)

- Kochaj albo rzuæ!
- Kocham!
- To nie rzucaj!

[(p | q) ∧ p] =>~q

Dylemat konstrukcyj-
ny prosty

Mê¿czyzna musi oddychaæ. Kobieta mu-
si oddychaæ. Ale ka¿dy doros³y cz³owiek
jest mê¿czyzn¹ lub kobiet¹. Zatem ka¿-
dy doros³y cz³owiek musi oddychaæ.

[(p =>r) ∧ (q =>r)] =>
=>[(p ∨ q) =>r ]

Dylemat konstrukcyj-
ny z³o¿ony

- Jeœli na œwiêtego Prota jest pogoda, al-
bo s³ota, na œwiêtego Hieronima jest
deszcz, albo go nie ma.
- Jaki dziœ dzieñ?
- Nie wiem, ale albo œwiêtego Hieronima,
albo Prota.
- To znaczy, ¿e pada lub nie pada!

[(p =>r) ∧ (q =>s)] =>
=>[(p ∨ q) =>r ∨ s ]

Sylogizm warunko-
wy, prawo przechod-
nioœci implikacji

Jeœli skoñczy³eœ 35 lat, to mo¿esz kandy-
dowaæ na prezydenta. Jeœli mo¿esz kan-
dydowaæ, to mo¿esz zostaæ wybrany.
A zatem jeœli skoñczy³eœ 35 lat, to mo-
¿esz byæ prezydentem.

[(p =>q) ∧ (q =>r)] =>
=>(p =>r)

Jeœli poprzednik praw-
dziwej implikacji jest
zdaniem prawdziwym,
to i nastêpnik musi byæ
prawd¹.

Je¿eli zdanie alterna-
tywne jest prawdziwe
i jeden z jego cz³onów
jest fa³szywy, to drugi
musi byæ prawdziwy.

Je¿eli zdanie dysjunk-
tywne jest prawdziwe
i jeden z jego cz³onów
jest prawdziwy, to dru-
gi musi byæ fa³szywy.

Jeœli z jednego zdania
wynika drugie, a z dru-
giego trzecie, to z
pierwszego wynika
trzecie.

5

54

4

wszelki wypadek” trzy z dawnych lat. Maj¹ one cha-
rakter testu:

1. Zdanie p brzmi: Bitwa pod Grunwaldem odby³a siê

przed rokiem 1500 lub bitwa pod Grunwaldem odby-
³a siê po roku 1450. Zdanie q brzmi: Je¿eli 1 = 2,
to 2 = 10. Wtedy (zaznacz prawid³ow¹ odpowiedŸ):
a) obydwa zdania p i q s¹ prawdziwe,
b) p jest prawdziwe, q fa³szywe,
c) p jest fa³szywe, q prawdziwe.

2. Dla dowolnych zdañ p, q, jeœli zdanie p =>q jest

prawdziwe, to prawdziwe jest równie¿ zdanie:
a) p ∨ ~q, b) ~q =>~p, c) ~p ∧ q.

3. Zdanie p =>(p =>q) jest fa³szywe, gdy

a) obydwa zdania p i q s¹ prawdziwe,
b) p jest prawdziwe, q fa³szywe,
c) p jest fa³szywe, q prawdziwe,
d) obydwa zdania s¹ fa³szywe.

Rozwi¹zania. W zadaniu 1 mamy alternatywê

zdañ: Bitwa pod Grunwaldem odby³a siê przed rokiem
1500 lub bitwa pod Grunwaldem odby³a siê po roku
1450. Poniewa¿ alternatywa jest prawdziwa, gdy praw-
dziwy jest przynajmniej jeden z jej cz³onów, wiêc alter-
natywa podana jest prawdziwa. Zdanie q jest tak¿e
prawdziwe, z fa³szu wynika wszystko.

W zadaniu 2a) odpowiedŸ jest „nie”. Gdy bo-

wiem p = 0, q = 1, to p (q jest zdaniem prawdziwym,
a zdanie p ∨ ~q nie). W zadaniu 2b) mamy wzór wyra-
¿aj¹cy twierdzenie przeciwstawne do danego, a wiêc
prawdziwe. W zadaniu 2c) odpowiedzi¹ jest równie¿
„nie”. Wystarczy wzi¹æ p = 1, q = 1.

Trudnoœci¹ w zadaniu 3 mo¿e byæ samo zrozu-

mienie treœci, a dok³adniej o interpretacjê s³owa „gdy”.
Nale¿y rozumieæ je w ten sposób:
a) Czy prawd¹ jest, ¿e je¿eli obydwa zdania p i q s¹

prawdziwe, to p =>(p =>q) jest prawdziwe?

b) Czy prawd¹ jest, ¿e je¿eli p jest prawdziwe, zaœ q

fa³szywe, to p =>(p =>q) jest prawdziwe?

c) Czy prawd¹ jest, ¿e je¿eli p jest fa³szywe, zaœ q

prawdziwe, to p =>(p =>q) jest prawdziwe?

d) Czy prawd¹ jest, ¿e je¿eli obydwa zdania s¹ fa³szy-

we, to p =>(p =>q) jest prawdziwe?

Poprawnej odpowiedzi na zadanie 3 mo¿na naj-

lepiej udzieliæ po prostu podstawiaj¹c za p, q wartoœci
logiczne 0, 1. W 3a) mamy 1 =>(1 =>1); jest to zdanie
prawdziwe. W 3b) mamy 1 =>(1 =>0), jest to fa³szywe.
W 3c) mamy 0 =>(0 =>1); jest to zdanie prawdziwe.
W 3d) mamy 0 =>(0 =>0); jest to zdanie prawdziwe. !

1)

Fragment piosenki z Kabaretu Starszych Panów, wykonywanej

przez Wies³awa Michnikowskiego.

t o n i e p r a w d a , ż e n i k t t u n i g d y n i c z e g o n i e p o t r z e b n e g o

n i e r o b i

M

Ł

ODY

TECHNIK

1

0/2004

5

55

5