Zadanie 1 .
Firma „Semator” posiada trzy zakłady - Z1, Z2, Z3. Zakłady te mogą
wytwarzać tę samą farbę W-1. Pomiędzy łącznym kosztem produkcji wytworzonej w
zakładach Z1, Z2, Z3, a roczną wielkością produkcji tych zakładów zachodzi zależność
K(x
1
,x
2
,x
3
) = x
1
2
+ 2x
2
+ x
3
2
gdzie x
1
, x
2
, x
3
oznaczają odpowiednio wielkości rocznej produkcji farby W-1 w zakładach
Z1, Z2, Z3 w tys. litrów. Firma planuje roczną wielkość produkcji farby W-1 w ilości 9000
litrów.
Jakie ilości farby W-1 powinny produkować zakłady Z1, Z2, Z3 aby łączny koszt produkcji
był minimalny?
Zadanie 2.
Przedsiębiorca postanowił unowocześnić linie produkcyjne: francuską,
szwedzką oraz polską. W zależności od wysokości nakładów inwestycyjnych na
unowocześnienie linii produkcyjnej danego typu, można osiągnąć różny wzrost zdolności
produkcyjnych (w tonach). Dane dotyczące wzrostu zdolności w zależności od nakładów
zestawiono w tabeli
Nakłady w jp
0
1
2
3
Linia francuska
Linia szwedzka
Linia polska
0
0
0
6
5
4
12
9
10
14
10
14
Przedsiębiorca może otrzymać kredyt w wysokości co najwyżej 3 jp. W jaki sposób
rozdzielić otrzymany kredyt, aby zakład osiągnął maksymalny wzrost zdolności produk-
cyjnych, jeśli założono, że na linię szwedzką należy przeznaczyć co najmniej 1 jp.?
Zadanie 3.
Firma zamierza prowadzić reklamę swojego nowego wyrobu w telewizji,
radiu i prasie. Na reklamę można przeznaczyć co najwyżej 3 jp. Jaką kwotę należy
przeznaczyć na reklamę i w jaki sposób rozdzielić pomiędzy wymienione kanały reklamowe,
aby przyrost sprzedaży był maksymalny, jeśli założono, że na telewizję należy przeznaczyć
co najmniej 1 jp.? Skuteczność reklamy, mierzona przyrostem sprzedaży w zależności od
kanału reklamy, podaje tabela:
Nakład w jp
0
1
2
3
Telewizja
Prasa
Radio
0
0
0
120
100
150
150
200
150
200
200
300
Zadanie 4.
Firma transportowa TRANSYS chce ustalić nową tras przejazdu swoich
ciężarówek ze Słupska do Katowic. Na podstawie atlasu samochodowego ustalono kilka
możliwych tras, oznaczając wybrane miasta przez które będą przejeżdżać ciężarówki cyframi
od 1 do 9. Problem polega na znalezieniu najkrótszej drogi łączącej 1 z 9, pamiętając, że w
mieście o numerze 5, ciężarówki zostawiają część towaru. Połączenia pomiędzy miastami
zaznaczono na grafie, długości połączeń opisano na łukach.
90
2 5
170
100
7
200 80 300 15
1
40
4
80
120
30
9
90 60
200
130
8 25
3
130
6 50
Zadanie 5.
Firma DOSTAWCA CUD chce opracować program produkcji
wprowadzanego na rynek nowego wyrobu dla kolejnych trzech miesięcy. Po
przeprowadzeniu akcji reklamowej oszacowano, że w ciągu następnych dwóch miesięcy
popyt będzie stały i równy 4 jednostki, a w trzecim miesiącu zmaleje o jedną jednostkę. Czas
przygotowania partii wyrobów jest na tyle mały, że produkcja wytworzona w miesiącu t=1,2
lub 3 może być od razu przeznaczona do sprzedaży (bez magazynowania). Koszty
magazynowania wyrobów są jednakowe w ciągu trzech miesięcy i wynoszą 2 jp za jednostkę.
Koszty produkcji K zależą od wielkości serii i wynoszą K(0) = 0, K(1) = 13, K(2) = 19,
K(3) = 23, K(4) = 27, K(5) = 29.
Uwaga: Pod koniec trzeciego miesiąca w magazynie mają pozostać 2 jednostki. Maksymalna
liczba wyrobów, które może pomieścić magazyn jest równa 7.
Podać plan produkcji na kolejne trzy miesiące, dla którego koszty będą najmniejsze.
Zadanie 6.
Trzy wyroby A, B i C produkowane są z tego samego surowca którego
zapas 100 t powinien zostać całkowicie zużyty. Na 20 sztuk wyrobu A zużywa się 0,25 t
surowca, na 1000 sztuk wyrobu B - 10 t , a na 1000 sztuk wyrobu C – 1,5 t Ustalić wielkość
produkcji tych wyrobów tak, aby zminimalizować funkcję kosztu jednostkowego określoną
wzorem
f(x,y,z) = 2x
2
+ 10y
2
– 14y + 5 + z
gdzie
x - liczba wyrobów A,
y - liczba wyrobów B,
z - liczba wyrobów C.
Zadanie 7.
Planowane są prace modernizacyjne w trzech kopalniach. Rezultatem tych
prac ma być łącznie wzrost o 20.000 t dziennego wydobycia. Koszty prac modernizacyjnych
w zależności od planowanego wzrostu wydobycia w poszczególnych kopalniach
(odpowiednio x, y, z) wyraża funkcja
f(x,y) = x
2
+ 2y
2
– 2y + 14 +10z
Zaplanować wielkość przyrostu wydobycia dla poszczególnych kopalń tak, aby koszty prac
modernizacyjnych były jak najniższe.
Zadanie 8.
Rozdzielić dzienną produkcję energii 100 MWh między dwie elektrownie
tak, aby dzienne koszty zużycia paliwa opisane funkcją
f(x,y,z) = 2(–x+1)
2
+ (y–3)
2
gdzie x - zużycie paliwa w elektrowni I, y - zużycie paliwa w elektrowni II, były najniższe.
Wiadomo ponadto, że z 1 tony paliwa elektrownia I uzyskuje 5 MWh energii, a elektrownia
II - 3 MWh.
Zadanie 9.
Z elektrociepłowni energia przesyłana jest do trzech zużywających ją
zakładów produkcyjnych. Funkcja kosztów przesyłania energii do tych zakładów w zależności
od wielkości przesyłu
(x do zakładu I, y do zakładu II, z do zakładu III) dana jest wzorem
f(x,y,z) = 5x
2
- 8x – 7y + 7y
2
+ 10z
Rozdzielić dzienną produkcję energii 20 MWh pomiędzy zakłady tak, aby zminimalizować
koszty przesyłu energii.
Zadanie 10.
Przedsiębiorstwo korzysta z trzech bocznic - własnej, bocznicy huty i
PKP. Koszty związane z przestojem wagonów wyraża następująca funkcja:
f(x,y,z) = 0,25x
2
+ 0,5y
2
+4x + 0,6z
gdzie: x - czas trwania wyładunku na bocznicy własnej (w dniach),
y - czas trwania wyładunku na bocznicy PKP,
z - czas trwania wyładunku na bocznicy huty.
Pociągi towarowe wożące surowiec do przedsiębiorstwa mają w swym składzie 200
wagonów. Dzienna zdolność przeładunkowa bocznicy własnej wynosi 20 wagonów, bocznicy
huty - 10 wagonów i bocznicy PKP - 30 wagonów. Jak rozdzielić wagony między bocznice,
aby koszt związany z przestojem był jak najmniejszy?.
Zadanie 11.
Przedsiębiorstwo produkuje dla własnych potrzeb wypełniacz w
wydziałach produkcji pomocniczej. Wypełniacz ten wytwarzany jest w brykietach odpo-
wiednio jedno- , dwu- i trzykilogramowych. Oszacowana funkcja kosztów wytwarzania
wypełniacza ma postać
f(x,y,z) = 0,25x
2
+ 1,5x + y
2
+ y + 2z
gdzie: x – liczba jednokilogramowych brykietów wypełniacza ,
y – liczba dwukilogramowych brykietów wypełniacza ,
z – liczba trzykilogramowych brykietów wypełniacza .
Przedsiębiorstwo zużywa w procesie produkcji 2000 kg wypełniaczy. Ile powinny wynosić
rozmiary produkcji wypełniaczy, aby koszty produkcji były jak najmniejsze?
Zadanie 12.
Trzy olejarnie o zdolnościach przerobowych 15, 20 i 10 ton ziarna
dziennie , mają przerobić 2000 ton ziarna na olej. Straty oleju w ziarnie zależą od procesów
technologicznych. Funkcja łączonych strat oleju w ziarnie (w kg) dla olejarni dana jest
wzorem
f(x,y,z) = 20x + 3y
2
– 4y + 30z
gdzie: x, y, z - to czasy trwania kampanii odpowiednio w pierwszej, drugiej i trzeciej olejarni.
Jak długo powinny trwać kampanie w olejarniach, aby straty oleju w ziarnie były minimalne?
Zadanie 13.
Dany jest obiekt, będący zespołem urządzeń U1, U2, U3 połączonych
równolegle (awaria układu jest równoważna awarii wszystkich urządzeń). Poniżej
przedstawiono macierz P=(p
ij
), gdzie p
ij
jest prawdopodobieństwem tego, że jeśli na remont i-
tego urządzenia przeznaczono j jednostek pieniężnych, to nie ulegnie ono awarii.
0 jp
1 jp
2 jp
3 jp
4jp
U1
U2
U3
0,2
0,1
0,2
0,2
0,3
0,3
0,4
0,5
0,4
0,6
0,6
0,6
0,7
0,8
0,8
Przedsiębiorstwo przeznaczyło 4 jp na remont całego obiektu. Określić optymalny przydział
środków maksymalizujący prawdopodobieństwo braku awarii całego obiektu po dokonaniu
remontu poszczególnych urządzeń.
Uwaga: Urządzenia ulegają awariom niezależnie.
Zadanie 14.
W zakładzie KONPOL należy zaplanować produkcję na najbliższe trzy
lata. Jeśli przez i oznaczymy numer roku (i=1,2,3), to s
i
jest wielkością posiadanego przez
zakład funduszu na początku tego roku. Środki te mogą zostać rozdzielone do realizacji
dwóch różnych rodzajów produkcji. Ich podział na y
i
i s
i
– y
i
wiąże się z:
(1) uzyskaniem zysku w wielkościach y
i
2
i 5(s
i
– y
i
), dla i = 1,2,3
(2) redukcją funduszy, które mogą być rozdzielone do wielkości s
i+1
= 0,5y
i
+ 0,9(s
i
– y
i
) wraz
z końcem roku dla i = 1,2. Fundusze te odliczane są z zysku. Przyjmując s
1
=5 wyznaczyć
zmienne y
1
, y
2
, y
3
maksymalizujące sumaryczny zysk zakładu w ciągu całego trzyletniego
okresu.
Zadanie 15.
Agencja planuje w pewnym kraju telewizyjną kampanię nowego
produktu. Cel ten realizowany jest za pomocą trzech stacji telewizyjnych. Szacuje się, że jeśli
j jest numerem stacji, to przeznaczenie na reklamę funduszu y
j
jp przyniesie dochód R
j
(y
j
)
jednostek pieniężnych. Agencja zakłada, że łączna liczba nadanych reklam ma być nie
większa niż 50. Dodatkowo wiadomo, że przeznaczenie w stacji j-tej y
j
jp gwarantuje
nadanie przez tę stację dokładnie K
j
(y
j
) reklam. Ile łącznie należy przeznaczyć jednostek
pieniężnych na reklamę, aby spełnić założenia agencji i zmaksymalizować wynikające z
kampanii korzyści jeśli:
K
j
(y
j
) = y
j
, j=1,2,3
R
1
(y
1
) = 2y
1
+14,
R
2
(y
2
) = y
2
2
–y
2
+1,
R
3
(y
3
) = 5y
3
, y
1
, y
2
, y
3
- liczby całkowite.
Zadanie 16.
Agencja planuje w pewnym kraju telewizyjną kampanię nowego
produktu. Cel ten realizowany jest za pomocą trzech stacji telewizyjnych. Szacuje się, że jeśli
j jest numerem stacji, to przeznaczenie na reklamę funduszu y
j
jp przyniesie dochód R
j
(y
j
)
jednostek pieniężnych. Agencja zakłada, że łączna liczba nadanych reklam ma być nie
większa niż 50. Dodatkowo wiadomo, że przeznaczenie w stacji j-tej y
j
jp gwarantuje nadanie
przez tę stację dokładnie K
j
(y
j
) reklam. Ile łącznie należy przeznaczyć jednostek pieniężnych
na reklamę, aby spełnić założenia agencji i zmaksymalizować wynikające z kampanii
korzyści, jeśli
K
j
(y
j
) = y
j
, j=1,2,3
Wiadomo, że w stacji numer 3 należy nadać co najmniej 10 reklam.
jp
R
1
(y
1
)
R
2
(y
2
)
R
3
(y
3
)
0
10
20
30
40
50
0
10
10
20
25
35
0
15
15
18
20
35
0
5
10
15
30
35
Zadanie 17.
Trzy zakłady B1,B2,B3 firmy POLBUD wytwarzają ten sam produkt.
Badania rynku wykazały, że można będzie sprzedać co najmniej 15.000 sztuk tego produktu
w ciągu roku. Roczną wielkość produkcji w każdym z zakładów, a także koszty ponoszone w
związku z produkcją podano w tabelce
Wielkość produkcji Koszty w B1 Koszty w B2
Koszty w B3
0
5000
10000
15000
20000
25000
0
5
7
15
16
17
0
7
9
12
13
14
0
4
10
15
16
16
Zaplanować roczną produkcję w taki sposób, aby zminimalizować jej łączny koszt wiedząc,
że w zakładzie B2 należy produkować nie mniej niż 5000 sztuk.
Zadanie 18.
Trzy zakłady B1,B2,B3 (własność firmy „KOLMAD”) wytwarzają ten
sam produkt. Jeśli przez x
i
oznaczymy wielkość rocznej produkcji w zakładzie B
i
, to funkcja
określająca łączną roczną wielkość kosztów produkcji w tych zakładach ma następującą
postać
f(x
1
,x
2
,x
3
) = x
1
2
– x
1
+ 1 + 3x
2
+ x
3
2
Badania rynku wykazują, że zapotrzebowanie na produkt wytwarzany przez wspomniane
zakłady będzie równy co najmniej 5 jednostek. Zaplanować rozkład rocznej produkcji w
zakładach firmy „KOLMAD” minimalizując łączne, roczne koszty.
Zadanie 19.
Przedsiębiorca Zenon Kula, może otrzymać kredyt inwestycyjny w
wysokości co najwyżej 6 jp oraz halę produkcyjną w Murckach, postanowił zainstalować
nowoczesne linie do wyrobu makaronu M-1, M-2, M-3. W zależności od wysokości
nakładów inwestycyjnych przeznaczonych na zainstalowanie linii produkcyjnej danego typu,
można osiągnąć różne dobowe zdolności produkcyjne zestawione w tablicy
Nakłady [w jp]
0
1
2
3
4
5
6
M-1
0
6
12
12
12
13
18
M-2
0
5
8
11
13
15
17
M-3
0
4
15
15
15
15
16
Pan Zenon Kula musi więc w tym przypadku podjąć decyzję dotyczącą wielkości
zaciągniętego kredytu oraz podziału kredytu pomiędzy poszczególne programy inwestycyjne
tak, aby zakład osiągnął maksymalną, dobową zdolność produkcyjną.
Zadanie 20.
Firma transportowa Autokam, ustalając nowe trasy przejazdu swych
ciężarówek z Polski do Hiszpanii, podzieliła całą trasę na pięć etapów. W każdym z etapów
wyznaczono po kilka miast, przez które przejeżdżać będą ciężarówki. Problem polega na
znalezieniu najkrótszej drogi przejazdu pomiędzy Polską (1) a Austrią (9). Odległości
drogowe pomiędzy miastami zaznaczono na rysunku
4
200
200
150
7
250
150
2
120
80
100
9
5
1
180
130
130
80
8
3
150
120
110
190
6
Zadanie 21.
Grupa ratunkowa, której siedzibą jest miejscowość 1 ma pod swoją
opieką kilkanaście wiosek położonych w obszarze górzystym. Jedynymi drogami w tym
rejonie jest sieć dróg lokalnych o nawierzchni szutrowej. Podczas akcji ratunkowych liczy się
często każda minuta, dlatego też podczas poprzednich akcji zmierzono czasy przejazdu
między wioskami. Zebrane dane przedstawione zostały w tablicy. Posługując się informacjami
o czasach przejazdu wyznacz najszybsze trasy z 1 do wiosek będących pod opieką grupy.
Odcinek Czas przejazdu
Odcinek Czas przejazdu
z 1 do 2 17
z 1 do 3 21
z 1 do 4 13
z 2 do 3 25
z 2 do 5 16
z 2 do 7 10
z 3 do 6 20
z 3 do 8 10
z 4 do 1 15
z 4 do 3 12
z 4 do 6 19
z 4 do 9 10
z 5 do 7 9
z 5 do 8 18
z 6 do 8 17
z 6 do 9 21
z 7 do 8 14
z 7 do 11 15
z 8 do 9 8
z 8 do 11 10
z 8 do 12 11
z 9 do 10 20
z 9 do 12 13
z 10 do 12 9
z 11 do 12 9
Zadanie 22.
Prywatna firma przewozowa ma zaplanować przebieg linii autobusowej z
Krakowa (1) do Paryża (9) tak, aby zapewnić jej największą frekwencję. Badania rynku
wykazały, że frekwencja na danej linii zależy w bezpośredni sposób od atrakcyjności trasy
przejazdu. Na rysunku przedstawiono możliwe warianty przebiegu trasy wraz ze spodziewaną
liczbą pasażerów na każdym z etapów.
9
6
12
13
11
11
14
9
1
12
14
7
13
4
5
2
3
4
10
10
8
6
7
8
Zadanie 23
. Producent prętów stalowych otrzymuje zamówienia na pręty o ośmiu
średnicach, ponumerowanych od 1 do 6. Odbiorcy wyrażają zgodę na ewentualne zastąpienie
prętów o zamawianej średnicy prętami o średnicy większej. Znane są koszty stałe związane z
przestrajaniem urządzeń i rozpoczęciem produkcji prętów o poszczególnych średnicach,
niezależne od skali produkcji, oraz koszty jednostkowe poszczególnych rodzajów
asortymentów, które rosną wraz ze zwiększaniem się średnicy prętów. Wartości liczbowe
podano w tablicy. Określić, jakie ilości prętów poszczególnych rodzajów powinien wytwarzać
producent, by zminimalizować swe koszty i jednocześnie zrealizować zamówienia klientów.
Numer
Średnicy
Średnica
(mm)
Wielkość
zamówienia
(tys. szt.)
Koszty stałe
(tys. zł)
Koszty
jednostkowe
(tys. zł)
1
2
3
4
5
6
26
30
34
38
42
46
40
45
35
20
28
36
22,5
23,6
24,8
26,0
27,1
28,3
0,5
0,6
0,7
0,9
1,0
1,2
Zadanie 24.
Pewna firma kupuje i sprzedaje te same artykuły i w związku z tym
potrzebuje dużo miejsca do ich składowania. Firma ta posiada w jednym magazynie
pomieszczenie na 500 sztuk danego wyrobu. Piętnastego dnia miesiąca może po podanych
niżej cenach zamówić dostawy, które są realizowane pierwszego dnia następnego miesiąca. W
każdym miesiącu firma może sprzedać tyle sztuk wyrobów, ile wynosi cały zapas
magazynowy, również po podanych niżej cenach. W przypadku gdy rozpoczyna ona rok z
zapasem magazynowym w wysokości 200 sztuk, powstaje pytanie, ile powinna miesięcznie
kupować i sprzedawać, by maksymalizować swój roczny zysk (zysk = kwota uzyskana ze
sprzedaży minus kwota wydana na zakup). Ceny zakupu i sprzedaży przedstawiono w tablicy.
Cena zakupu
Cena sprzedaży
15 stycznia 150
15 lutego 155
15 marca 165
15 kwietnia 160
15 maja 160
styczeń 165
luty 165
marzec 185
kwiecień 175
maj 170
Zadanie 25.
Stwierdzono, że pomiędzy wartością produkcji a trzema jej
substytucyjnymi czynnikami A, B, C zachodzi zależność
P(x
1
,x
2
,x
3
) =
1
2000
x
1
x
2
x
3
gdzie x
1
, x
2
, x
3
oznaczają odpowiednio wielkości zużywanych czynników A, B, C. Koszt
zużycia jednostki czynnika A, B i C wynosi odpowiednio
k
1
= 1 , k
2
= 2 , k
3
= 1
Określić optymalne zużycie odpowiednich czynników produkcji, przyjmując za kryterium
optymalności wartość produkcji przy założeniu, że koszt zużycia wymienionych czynników
wynosi 4000 jednostek pieniężnych.
Zadanie 26.
Należy dostarczać 7 jednostek nowego produktu na rynek. W tym celu
należy uruchomić produkcję tego produktu w odpowiedniej liczbie spośród trzech
wytypowanych zakładów (istniejących lub specjalnie do tego celu wybudowanych).
Dla i = 1, 2, 3 oznaczamy:
a
i
- maksymalna ilość produktu, jaka może być wytworzona w i-tym zakładzie,
d
i
- koszt stały uruchomienia produkcji w i-tym zakładzie,
c
i
- bieżący koszt wytworzenia jednostki produktu w i-tym zakładzie.
Odpowiednie dane są podane w tablicy.
i
a
i
d
i
c
i
1
3
130
50
2
5
250
20
3
4
180
40
Zadanie 27.
Stosując zasady programowania dynamicznego, należy w
przedsięwzięciu przedstawionym na rysunku znaleźć najdłuższą drogą między punktami 1 i 9.
Zadanie 28.
Stosując zasadę programowania dynamicznego znaleźć najtańszą trasę z
1 do 8,
30
60
60
40
100
50
40
Etap 1
Etap 3
Etap 5
1
9
50
40
100
50
5
6
7
Etap 4
8
80
120
70
120
2
Etap 2
3
4
30
70
50
60
20
40
40
50
1
40
30
2
3
4
30
8
40
40
40
20
5
6
7
Zadanie 29
. Inwestor ma możliwość zainwestowania 20 000 zł. W tablicy podano
listę dostępnych możliwości inwestycyjnych oraz dostępne informacje o tych inwestycjach.
Określić optymalny sposób alokacji posiadanych środków przez inwestora.
Możliwość
inwestycyjna
Koszt
jednostkowy
(w zł)
Dostępność
(w tysiącach
sztuk)
Oczekiwany zysk na
jednostce
(w zł)
Akcja 1
2
5
0,4
Akcja 2
3
3
0,5
Akcja 3
2
2
0,45
Akcja 4
4
5
0,35
Zadanie 30.
Dysponujemy pewnym zasobem początkowym w ilości 1 jednostki.
Zasób ten można kierować w całości lub części na jeden z dwóch celów. Skierowanie x
jednostek zasobu na I cel w ciągu jednego okresu przynosi zysk
f
1
(x) = 5 + 3x – x
2
powodując jego 20-procentowe zużycie. Skierowanie y jednostek zasobu na II cel w ciągu
jednego okresu przynosi zysk
f
2
(y) = 5 + 2y – y
2
i nie powoduje zużycia tego zasobu. Jakie wielkości zasobu należy kierować w trzech
kolejnych okresach na oba cele, aby łączny zysk uzyskany w tych okresach był maksymalny?
Zadanie 31.
Zakład produkcyjny winien pokryć zapotrzebowanie na pewien produkt
w ciągu 6 pierwszych miesięcy pewnego roku. Zapotrzebowanie na produkt w każdym
miesiącu wynosi 3 jednostki.
W każdym miesiącu zakład może uruchomić produkcję produktu. Uruchomienie produkcji
pociąga za sobą koszt 13 tysięcy złotych. Zakład może wyprodukować w każdym miesiącu co
najwyżej 5 jednostek produktu, przy czym wytwarzanie ułamków jednostki produktu jest
niedopuszczalne. Wytworzenie pierwszej jednostki produktu kosztuje 3 tys.zł, drugiej - 2
tys.zł, zaś trzeciej i czwartej po 1 tys. zł. Produkowanie piątej jednostki wymaga
uruchomienia dodatkowych urządzeń, a stąd koszt jej uruchomienia wynosi 4 tys. zł.
Reasumując, funkcja f(x) kosztów produkcji x jednostek w danym miesiącu przyjmuje
wartości podane w tablicy.
x
0
1
2
3
4
5
f(x)
0
16
18
19
20
24
Zapotrzebowanie w każdym miesiącu może być pokrywane produktem wytworzonym w
danym miesiącu lub w miesiącach poprzednich. W tym drugim przypadku zakład ponosi
dodatkowy koszt magazynowania wynoszący 2 tys. zł. za jednostkę magazynową w ciągu
miesiąca. Pojemność magazynu pozwala na magazynowanie co najwyżej 4 jednostek.
Jakie ilości produktu należy wytwarzać, aby łączne koszty produkcji i magazynowania były
jak najmniejsze, jeśli zapas na początku stycznia i w końcu czerwca ma wynosić 0 jednostek?
Zadanie 32.
Spółka handlowa może otworzyć pięć sklepów w trzech różnych
miastach {K, L, M.}. Miesięczny dochód przedsiębiorstwa zależy od tego, ile sklepów zostało
otwartych w każdym z miast. Zależność tę przestawia poniższa tabela.
Ilość sklepów
Miesięczny dochód przedsiębiorstwa w
poszczególnych miastach
n
K
v
1
(x
1
)
L
v
2
(x
2
)
M.
v
3
(x
3
)
1
10
8
13
2
18
18
20
3
20
22
22
4
25
26
24
5
30
31
30
Metodą programowania dynamicznego należy wyznaczyć takie rozwiązanie, które maksyma-
lizuje dochód całej firmy w ciągu miesiąca.
Zadanie 33.
Przypuśćmy, że pewna firma może produkować ograniczoną liczbę
jednostek przy normalnym zatrudnieniu i w ustawowym czasie pracy oraz dodatkową liczbę
jednostek przy zatrudnieniu pracowników w godzinach nadliczbowych. Odpowiednie dane
znajdują się w tablicy.
Styczeń Luty Marzec Kwiecień
Maj
Czerwie
c
Czas pracy
Według umowy
o pracę
Koszty
Jednostkowe
Zdolności
Produkcyjne
2
3
4
1
2
4
5
3
2
1
6
3
Godziny
Nadliczbowe
Koszty
Jednostkowe
Zdolności
Produkcyjne
5
6
6
3
6
3
6
2
3
0
7
1
Wielkość popytu D
t
1
2
7
6
0
2
Zmienność kosztów z okresu na okres wynika ze szczególnych warunków na rynku pracy jak
również ze zmiennych cen surowców i materiałów. Załóżmy, że każda jednostka zapasów
pozostałych na koniec danego okresu ma koszt składowania h
t
= 1 dla wszystkich okresów.
Zaplanować taką strategię produkcji i składowanie zapasów w poszczególnych miesiącach,
aby zminimalizować koszty.
Zadanie 34.
Dany jest obiekt, będący zespołem urządzeń U
1
, U
2
, U
3
połączonych
szeregowo (awaria jednego z nich jest awarią całego układu). Poniżej przedstawiono macierz
P. = [p
ij
], gdzie p
ij
jest prawdopodobieństwem tego, że jeśli ne remont i-tego urządzenia
przeznaczono j jednostek pieniężnych, to nie ulegnie ono awarii.
0 jp 1 jp 2 jp 3 jp 4 jp
U
1
0.1
0.2
0.4
0.6
0.7
U
2
0.1
0.3
0.5
0.5
0.8
U
3
0.3
0.3
0.4
0.6
0.6
Przedsiębiorstwo przeznaczyło 4 jp na remont całego obiektu. Określić optymalny przydział
środków, maksymalizujący prawdopodobieństwo braku awarii całego obiektu po dokonaniu
remontu poszczególnych urządzeń.
Uwaga: Urządzenia ulegają awariom niezależnie.
Zadanie 35.
Towarzystwo dobroczynne „Wspólny Fundusz” zamierza wysłać 10
ochotników do ściągania datków z przedsiębiorstw, które mają swoją siedzibę w trzech
wielkich biurowcach w centrum miasta. Prezes towarzystwa szacuje, że jeżeli skieruje y
j
ochotników do budynku j, to datki ogółem z tego wyniosą R
j
(y
j
) setek dolarów, gdzie R
j
(0) =
0 oraz
R
1
(1) = 5,
R
2
(1) = 3,
R
3
(1) = 20,
R
1
(2) = 10,
R
2
(2) = 6,
R
3
(2) = 35,
R
1
(3) = 15,
R
2
(3) = 12,
R
3
(3) = 45,
R
1
(4) = 25,
R
2
(4) = 18,
R
3
(4) = 55,
R
1
(5) = 35,
R
2
(5) = 30,
R
3
(5) = 60,
R
1
(6) = 50,
R
3
(6) = 65,
R
1
(7) = 55.
(Prezes wie, że dodatkowych datków nie osiągnie posyłając do budynku 1 więcej niż 7 ochot-
ników, do budynku 2 więcej niż 5, a do budynku 3 więcej niż 6). Ilu ochotników należy
wysłać do każdego z budynków? Sformułuj odpowiedni model programowania dynamicznego
i wyznacz rozwiązanie optymalne.
Zadanie 36.
Dyrektor przedsiębiorstwa „Polifarb Co.” Musi zaplanować wielkość
produkcji farb, mierzoną liczbą puszek, na każdy z następnych 9 miesięcy (N = 9). Polityka
przedsiębiorstwa polega na podejmowaniu nowej produkcji w momencie, gdy wyczerpują się
zapasy; gdy poziom zapasów spada do zera, dyrektor podejmuje decyzję o wielkości partii
(mierzoną liczbą miesięcy, na które wystarcza podaż), którą należy wyprodukować.
Załóżmy, że miesięczny popyt na wytwarzany produkt jest wystarczająco stabilny i dla
celów planowania produkcji może być traktowany jako stały w przyjętym horyzoncie planu.
Do dalszych rozważań przyjmijmy, że miesięczny popyt jest równy 1000 puszek.
Przypuśćmy, że produkcja zakładu i posiadane magazyny ograniczają dopuszczalne wielkości
partii do wielkości wystarczającej na pokrycie popytu w skali od 1 do 6 miesięcy. Zyski R
j
,
odpowiadające decyzji o produkcji partii, której wielkość pokryje popyt w ciągu j miesięcy,
zawiera tablica. Produkcja partii odpowiadającej trzymiesięcznemu popytowi, tzn. liczącej
3000 puszek, przynosi zysk równy 17 tys. dolarów.
Wielkość partii
j
Zysk
R
j
1
4
2
11
3
17
4
24
5
28
6
36
Problem firmy „Polifarb Co.” (Wielkość partii jest wyrażona w jednostkach odpowiadających
popytowi jednomiesięcznemu i równemu 1000 jednostek towaru; zysk wyrażony jest w 1000
dolarów).
Jak powinien wyglądać plan produkcji farb w ciągu kolejnych miesięcy, przynoszący
maksymalny zysk.
Zadanie 37.
Właściciel firmy handlowej „Nabiał, Sery Co.”, Mr Little, powinien
podzielić tygodniowy zapas jajek równy N między s sklepów. Z doświadczenia wie, że jeżeli
przeznaczy y
j
jajek do sklepu j, to otrzyma zysk równy R
j
(y
j
). Właściciel firmy przypuszcza,
że w celu maksymalizacji zysku nie powinien przeznaczać wszystkich jajek do sprzedaży w
jednym sklepie i stawia sobie za zadanie wyznaczenie optymalnego rozdziału posiadanych w
magazynie jajek między wszystkie sklepy.
Liczba skrzyń
Zysk netto
z jajkami
y
sklep 1
R
1
(y)
sklep 2
R
2
(y)
sklep 3
R
3
(y)
sklep 4
R
4
(y)
0
0
0
0
0
1
6
3
2
5
2
10
10
6
9
3
14
15
14
13
4
16
19
20
17
5
18
21
22
21
6
20
22
24
25
Załóżmy, że właściciel firmy dysponuje N = 6 skrzyniami z jajkami, które chce podzielić mię-
dzy s = 4 sklepy (będziemy zakładać, że nie może dzielić zawartości skrzyni na różne sklepy).
Zyski netto, jakie może otrzymać kierując odpowiednią liczbą skrzyń do każdego ze sklepów
zawiera tablica. Zyski te są różne w różnych sklepach i zależą od wielkości popytu w każdym
ze sklepów oraz od kosztów transportu i magazynowania.
Określić optymalny rozdział skrzyń z jajkami do sklepów.
Zadanie 38.
Firma budowlana „Domek” inwestuje rocznie kilkanaście milionów
dolarów w nieruchomości oraz w budowę centrów handlowych i dzielnic mieszkaniowych.
Firma ma podjąć decyzję o zainwestowaniu nie więcej niż 10 mln dolarów w jedno lub więcej
z trzech przedsięwzięć. Dane charakteryzujące te przedsięwzięcia zawiera tablica.
Poziom
Przedsięwzięcie 2
Przedsięwzięcie 3
Przedsięwzięcie 4
Inwestowania
Y
koszty
I
2
(y)
wartość
R
2
(y)
koszty
I
3
(y)
wartość
R
3
(y)
Koszty
I
4
(y)
wartość
R
4
(y)
0
0
0
0
0
0
0
1
3
8
4
9
6
17
2
5
13
5
13
7
18
3
7
18
8
18
8
21
4
8
19
9
19
9
22
5
9
21
10
23
10
24
Zauważmy, że każde z trzech przedsięwzięć może być realizowane na jednym z pięciu
różnych poziomów inwestowania. Na przykład firma może zdecydować się na
zainwestowanie 3, 5, 7, 8 lub 9 mln dolarów w przedsięwzięcie 2. Jeżeli wybór padnie na
poziom 1, co oznacza zainwestowanie 3 mln dolarów w przedsięwzięcie 2, to obecną wartość
przyszłych dochodów szacuje się na R
2
(1) = 0,8 mln dol. Natomiast, jeżeli wybrany zostanie
poziom inwestowania 5, co oznacza zainwestowanie 9 mln dol., to wartość przyszłych
dochodów wzrośnie do
R
2
(5) = 2,1 mln dol. Podobną interpretację można odnieść do dwu pozostałych przedsięwzięć.
Określić optymalny plan inwestycji dla firmy „Domek”.
Zadanie 39.
W budynku zainstalowany jest hydrofor o pojemności zbiornika 10 m
3
.
Dobę podzielono na 5 okresów, w których następuje rozliczenie zużycia wody.
Zapotrzebowanie na wodę w poszczególnych okresach jest następujące:
T
1
2
3
4
5
Zużycie wody w m
3
2
3
8
4
6
W każdym z wyróżnionych okresów można uzupełnić zbiornik co najwyżej o 5 m
3
. Koszty
uzupełniania zależą od ilości uzupełnionej wody i od okresu. Są one przedstawione w tablicy.
Ilość wody
Koszt w okresie
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
1
3
1
2
2
1
2
4
2
4
3
3
3
6
5
7
6
6
4
7
7
9
9
8
5
10
10
12
11
12
Zakłada się, że na początku pierwszego i końcu piątego okresu zbiornik musi zawierać 2 m
3
wody. Jak należy uzupełniać wodę w zbiorniku, aby koszt uzupełnienia był minimalny przy
pełnym zaspokojeniu potrzeb?
Zadanie 40
. Działka ogrodnicza została podzielona na 4 części. Plony są uzależnione
od dawki nawozu, jaki wysiejemy na każdej z części. W tablicy podano te zależności.
Dawka nawozu
w kg/część
Wartość plonów w zł
1
2
3
4
30
200
300
280
220
40
250
320
340
250
50
350
340
380
320
60
400
400
420
400
70
410
450
450
430
Na każdą część należy przeznaczyć co najmniej 30 kg nawozu. Jak zużytkować 200 kg
nawozu, aby wartość plonów była największa?
Zadanie 41.
Na wyprawę wysokogórską żywność pakowana jest w znormalizowane
pojemniki. Istnieją 3 typy zestawów żywnościowych. Wagę i kaloryczność kazdego zestawu
podaje tabela:
Typ zestawu
Waga w kg
Kaloryczność w kcal
A
1,5
8
B
2
11
C
2,5
15
Na wyprawę należy zabrać przynajmniej po 2 pojemniki z zestawem A i C. Ile każdego z
zestawów powinien zabrać każdy z uczestników wyprawy, jeżeli waga żywności nie może
przekroczyć 15 kg, a wartość kaloryczna ma być maksymalna?
Zadanie 41
. W przedsiębiorstwach P
1
, P
2
, P
3
, P
4
opracowano perspektywiczne plany
rozwoju, rozpatrując między innymi przyrost wartości produkcji w zależności od nakładów
inwestycyjnych. Przewidywane zależności przedstawia tabela:
Nakłady w mln
zł
Roczny przyrost wartości produkcji w mln zł
P
1
P
2
P
3
P
4
0
0
0
0
0
10
15
20
18
12
20
25
30
28
30
30
40
40
45
50
40
60
70
65
60
Komentarz [MJB1]:
50
70
80
75
70
Opracować wariant przydziału funduszów, gdy do podziału jest 100 mln zł. łącznie
maksymalizując łączny przyrost wartości produkcji zakładów.
Zadanie 42.
Dana jest liczba R>0. Znaleźć takie liczby x, y, z ≥ 0 , że
x + y + z =R
a ich iloczyn był maksymalny.
Zadanie 43.
Utworzyć czteroletni plan zatrudnienia pracowników w Zakładzie
PONAMONA jeśli jedynym kryterium jest minimalizacja kosztów. Wiadomo, że minimalne
zapotrzebowania b
i
na pracowników w kolejnych latach i = 1, 2, 3, 4 wynosi 6, 4, 8, 6 osób.
Jeśli oznaczymy przez y
i
zatrudnienie w i-tym roku to koszty związane z zatrudnieniem y
i
– b
i
pracowników ponad minimalne zakładane zapotrzebowanie wynoszą 3(y
i
– b
i
) (i = 1, 2, 3, 4).
Koszty związane z zatrudnianiem i zwalnianiem pracowników można określić za pomocą
funkcji
4+ 2(y
i
–y
i-1
) dla y
i
> y
i-1
K(y
i
– y
i-1
)=
3 dla y
i
< y
i-1.