sta
PODSTAWY MECHANIKI
PRACA DOMOWA
OBLICZENIA BELKI O PRZEKROJU KOŁOWYM
Wykonał:
Stanisław Musiolik
Politechnika Śląska wydział Elektryczny
Studia niestacjonarne
kierunek: Elektrotechnika
rok akademicki 2007/2008
sta
PODSTAWY MECHANIKI
PRACA DOMOWA
OBLICZENIA BELKI O PRZEKROJU KOŁOWYM
Wykonał:
Stanisław Musiolik
Politechnika Śląska wydział Elektryczny
Studia niestacjonarne
kierunek: Elektrotechnika
rok akademicki 2007/2008
sta
1. Dane do obliczeń.
l1 [mm]
l2 [mm]
l3 [mm]
L [mm]
P [N]
P
1
[N]
P
2
[N]
q [N/mm]
Re [MPa]
600
700
800
3000
2000
20000
6000
10
300
- belka o przekroju kołowym
poniewaŜ Pa = Nm
-2
, stąd obliczenia wykonano dla jednostek:
l1 [m]
l2 [m]
l3 [m]
L [m]
P [N]
P
1
[N]
P
2
[N]
q [N/m]
Re
[Pa = Nm
-2
]
0,6
0,7
0,8
3
2000
20000
6000
10000
300*10
6
obliczona długość l4 = L-(l1+l2+l3) = 0,9 m
Szkic
2. Obliczenia reakcji podpór
Z warunków równowagi:
ΣPix = 0; (równanie 1) P - Ra + P1 - P2 + q*l4 - Rb = 0
ΣMia = 0; (równanie 2) P*l1 – P1*l2 + P2*(l2+l3) – q*l4*(l2+l3+l4/2) + Rb*(L-l1) = 0
z równania 2 wyznaczymy Rb
Rb = [-P*l1 + P1*l2 - P2*(l2+l3) + q*l4*(l2+l3+l4/2)] / (L-l1)
po podstawieniu danych Rb = 8895,83 [Nm]
y
x
A
B
l1
l2
l3
L
P
P1
P2
q
0
l4
sta
z równania 1 wyznaczymy Ra
Ra = P + P1 - P2 + q*l4 - Rb
po podstawieniu danych Ra = 16104,17 [Nm]
3. Rozkład momentów gnących na długości belki.
W celu wyznaczenia momentów gnących belkę dzielimy na cztery przedziały:
przedział 1 dla 0 ≤
≤
≤
≤ x ≤
≤
≤
≤ l1
P*x + Mg1 = 0
po przekształceniu otrzymamy
Mg1 = -Px
przedział 2 dla l1 ≤
≤
≤
≤ x ≤
≤
≤
≤ l1+l2
P*x – Ra*(x-l1) + Mg2 = 0
po przekształceniu otrzymamy
Mg2 = - P*x + Ra*(x-l1)
przedział 3 dla l1+l2 ≤
≤
≤
≤ x ≤
≤
≤
≤ l1+l2+l3
P*x – Ra*(x-l1) + P1*[x-(l1+l2)] + Mg3 = 0
po przekształceniu otrzymamy
Mg3 = - P*x + Ra*(x-l1) - P1*[x-(l1+l2)]
sta
przedział 4 dla l1+l2+l3 ≤
≤
≤
≤ x ≤
≤
≤
≤ L-( l1+l2+l3)
P*x – Ra*(x-l1) + P1*[x-(l1+l2)] – P2[x-(l1+l2+l3)] + q/2[x-(l1+l2+l3)]
2
+ Mg4 = 0
po przekształceniu otrzymamy
Mg4 = - P*x + Ra*(x-l1) - P1*[x-(l1+l2)] + P2[x-(l1+l2+l3)] - q/2[x-(l1+l2+l3)]
2
4. Wyznaczenie napręŜenia zginającego dopuszczalnego kg dla obciąŜeń stałych.
kg = 0,53 * Re
gdzie:
kg – napręŜenie dopuszczalne dla materiału z którego wykonana jest belka,
Re - granica plastyczności materiału. W zadaniu Re = 300MPa,
0,53 - współczynnik bezpieczeństwa (wg. tabeli określającej średnie wartości współczynników
bezpieczeństwa)
stąd
kg = 0,53 * 300 = 159 [MPa = MNm
-2
]
5. Wyznaczenie średnicy belki.
Przekształcając zaleŜność
σg = M(x)/Wg ≤ kg
gdzie:
σg – napręŜenie zginające w belce wywołane momentem gnącym (σg = kg),
M(x) – moment gnący,
Wg – wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie, dla przekroju kołowego Mg = Πd
3
/32, gdzie d średnica
przekroju,
kg – napręŜenie dopuszczalne.
sta
stąd:
M(x)/ Πd
3
/32 = kg
d =
3
√32 * M(x)/ kg * Π
po podstawieniu danych dla wybranych długości z:
przedziału 1, długości 0,2[m], M(x) = Mg1(0,2) = 400 [Nm], kg = 159 * 10
6
[Pa=Nm
-2
]
d =
3
√32 * 400/ 159 * 10
3
* 3,14 = 0,02947 m = 29,47 mm
przedziału 2, długości 0,7[m], M(x) = Mg1(0,7) = 210,42 [Nm], kg = 159 * 10
6
[Pa=Nm
-2
]
d =
3
√32 * 210,42/ 159 * 10
3
* 3,14 = 0,02381 m = 23,81 mm
6. Zestawienie wyników w tabeli.
Przedział
x [m]
Mg [Nm]
d [mm]
0
0
0
0,2
-400
29,47
0,4
-800
37,16
0,5
-1000
40,02
1
0,6
-1200
42,53
0,6
-1200
42,53
0,65
-494,79
31,65
0,685
0
0
0,7
210,42
23,81
0,8
1620,83
47,01
1
4441,67
65,79
1,2
7262,50
77,5
2
1,3
8672,92
82,22
1,3
8672,92
82,22
1,4
8083,33
80,32
1,6
6904,17
76,2
1,8
5725,00
71,58
2
4545,83
66,3
3
2,1
3956,25
63,3
2,1
3956,25
63,3
2,2
3916,67
63,08
2,4
3537,50
60,98
2,6
2758,33
56,13
2,8
1579,17
46,6
4
3
0,00
0
sta
6.1 wykres momentów gnących występujących na długości belki
Mg = f(L)
-2000
0
2000
4000
6000
8000
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
L [m]
M
g
[
N
/m
]
6.2 wykres średnicy belki na długości
d = f(L)
0
20
40
60
80
100
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
L [m]
d
[m
m
]