! "$#%&'('()

Na rozwia

*

zanie wszystkich zada´

n jest 120 minut

Rozwia

*

zania r´

o˙znych zada´

n maja

*

znale´

z´

c sie

*

na r´

o˙znych kartkach.

Ka˙zda kartka musi by´

c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

*

cego,

jego nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza

*

cej ´

cwiczenia i nr. grupy ´

cwiczeniowej.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

*

dze´

n

elektronicznych; je´

sli kto´

s ma, musza

*

by´

c schowane i wy la

*

czone!

Nie wolno korzysta´

c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

*

na twierdzenia, kt´

ore

zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1. Znale´z´c r´

o˙zniczkowalna

*

funkcje

*

x

zmiennej t okre´slona

*

na pewnym przedziale otwartym I

zawieraja

*

cym liczbe

*

1 taka

*

, ˙ze tx

0

(t) + x(t) = x(t)

2

dla t ∈ I oraz

(a) x(1) = 1 ;

(b) x(1) =

1
2

;

(c) x(1) = 0 .

2. Znale´z´c rozwia

*

zanie og´

olne r´

ownania x

0

(t) + 2x(t) =

1

1+e

t

.

3. W cia

*

gu 30 dni masa substancji radioaktywnej zmniejszy la sie

*

z 10 g do 5 g. Jaka be

*

dzie

masa tej substancji po up lywie t dni?

Uwaga: Liczba t nie musi by´

c ca lkowita.

4. Znale´z´c rozwia

*

zanie og´

olne r´

ownania x

00

(t) + 6x

0

(t) + 5x(t) = e

−t

.

5. Znale´z´c rozwia

*

zanie og´

olne r´

ownania x

00

(t) + 6x

0

(t) + 9x(t) = 0 .

6. Znale´z´c takie rozwia

*

zanie r´

ownania x

00

(t) + 6x

0

(t) + 10x(t) = 0 , ˙ze x(0) = 1 i x

0

(0) = −2 .

PO zrobieniu sze´sciu zada´

n mo˙zna zrobi´c zadanie dodatkowe:

D. Znale´z´c rozwia

*

zanie og´

olne r´

ownania x

(4)

+ 4x

00

(t) + 5x(t) = 6 cos t + 2t sin t .