Wykład 13. 10 stycznia 2011
Granica funkcji, ciągłość.
Definicja.
f
: D
−→ , D ⊂
x
0
∈
i
∃δ > (x
0
− δ, x
0
)
∪ (x
0
, x
0
+ δ)
⊂ D.
lim
x
→x
0
f
(x) = A
⇔ ∀(x
n
)
⊂ D \ {x
0
} (x
n
→ x
0
⇒ f(x
n
)
→ A).
lim
x
→x
0
f
(x) - granica funkcji f w punkcie x
0
.
Jeżeli x
0
∈ D to
f jest ci
ągła w x
0
⇔ lim
x
→x
0
f
(x) = f (x
0
).
lim
x
→x
0
−
f
(x) = A
⇔ ∀(x
n
)
⊂ D \ {x
0
} x
n
< x
0
(x
n
→ x
0
⇒ f(x
n
)
→ A).
lim
x
→x
0
−
f
(x) - granica lewostronna funkcji f w punkcie x
0
.
lim
x
→x
0
+
f
(x) = A
⇔ ∀(x
n
)
⊂ D \ {x
0
} x
n
> x
0
(x
n
→ x
0
⇒ f(x
n
)
→ A).
lim
x
→x
0
+
f
(x) - granica prawostronna funkcji f w punkcie x
0
.
f jest lewostronnie ci
ągła w x
0
⇔ lim
x
→x
0
−
f
(x) = f (x
0
).
f jest prawostronnie ci
ągła w x
0
⇔ lim
x
→x
0
+
f
(x) = f (x
0
).
Twierdzenie.
a) lim
x
→x
0
f
(x) = A
⇔ lim
x
→x
0
+
f
(x) = A = lim
x
→x
0
−
f
(x);
b) (warunek Cauchy’ego)
lim
x
→x
0
f
(x) = A
⇔ ∀ > 0∃δ > 0 (0 < |x − x
0
| < δ ⇒ |f(x) − A| < ;
c) (warunek Cauchy’ego ciągłości)
f
(x) jest ciągła w x
0
⇔ ∀ > 0∃δ > 0 (|x − x
0
| < δ ⇒ |f(x) − f(x
0
)
| <
m
∀ V − otoczenia f(x
0
)
∃ U − otoczenie x
0
f
(U )
⊂ V ;
d) Suma, różnica, iloczyn funkcji ciągłych w x
0
jest ciągła w x
0
;
f
(x
0
)
6= 0, f(x) ciągła w x
0
⇒ g(x) =
1
f
(x)
ciągła w x
0
.
74
e) Jeżeli istnieje lim
x
→x
0
f
(x) = A to funkcja określona wzorem
˜
f
(x) =
(
f
(x), x
6= x
0
,
A, x
= x
0
jest ciągła w x
0
.
Twierdzenie.
f
: D
→ , gdzie D ∈ T jest ciągła ⇔ ∀V ∈ T f
−1
(V )
∈ T
D
.
Definicja.
f
: D
→
jest ciągła
df
⇔ ∀V ∈ T f
−1
(V )
∈ T
D
.
Warunek ten jest równoważny temu, że
∀E ∈ D f
−1
(E)
∈ D
D
. (f
−1
(
\ E) =
D
\ f
−1
(E))
Przykład.
* D = [a, b], f : [a, b]
→
jest ciągła
⇔ ∀x
0
∈ (a, b) lim
x
→x
0
f
(x) = f (x
0
), lim
x
→a+
f
(x) =
f
(a), lim
x
→b−
f
(x) = f (b).
* Ogólnie, f jest ciągła w x
0
∈ D jeśli
lim
x
→x
0
,x
∈D
f
(x) = f (x
0
), gdzie
lim
x
→x
0
,x
∈D
f
(x) =
A
⇔ ∀ x
n
→ x
0
, x
n
∈ D f(x
n
)
→ A.
Twierdzenie.
f
: D
→
ciągła
a) D zwarty, to f (D) zwarty;
b) D spójny, to f (D) spójny.
D.
a) Niech f (D)
⊂
S
α
∈A
U
α
, U
α
∈
. Wtedy, ponieważ f
−1
(U
α
) = V
α
∩ D (wynika stąd
również, że f (V
α
∩ D) ⊂ U
α
), to D
⊂
S
α
∈A
V
α
.
Ze zwartości D wynika, że D
⊂
s
S
j
=1
V
α
j
czyli D =
s
S
j
=1
(V
α
j
∩ D), skąd f(D) =
s
S
j
=1
f
(V
α
j
∩ D) ⊂
s
S
j
=1
U
α
j
.
b) Niech f (D) = (A
∩f(D))∪(B∩f(D)), A, B ∈ T , A∩B∩f(D) = ∅ i przypuśćmy,
że A
∩ f(D) 6= ∅, B ∩ f(D) 6= ∅. Wtedy
D
= f
−1
(f (D)) = (f
−1
(A)
∩D)t∪(f
−1
(B)
∩D), f
−1
(A) = U
∩D, f
−1
(B) = V
∩D, U, V ∈ T ,
f
−1
(A)
∩ f
−1
(B) =
∅.
Ze spójności D wynika, że f
−1
(A) =
∅ lub f
−1
(B) =
∅. Wtedy A ∩ f(D) = ∅ lub
B
∩ f(D) = ∅ - sprzeczność.
75
Wniosek.
D
- przedział, to f (D) przedział
D
= [a, b] to f (D) = [c, d].
Ważne granice
:
a) lim
x
→0
sin x
x
= 1
b) lim
x
→0
e
x
−1
x
= 1.
ad a) Mamy dla 0 < x < 1 nierówność (wynikającą z kryterium Leibniza)
∞
X
n
=0
(
−1)
n
x
2n+1
(2n + 1)!
− x
<
x
3
3!
⇒ | sin x − x| <
x
3
6
⇒
sin x
x
− 1
<
x
2
6
⇓
lim
x
→0+
sin x
x
= 1.
Ponieważ funkcja
sin x
x
jest parzysta to wynika stąd, że również lim
x
→0−
sin x
x
= 1.
ad b) Mamy nierówności (zob. wykład 9) dla x < y
(y
− x)e
x
¬ e
y
− e
x
¬ e
y
y
− x
1 + y
− x
.
Stąd dla x > 0 otrzymujemy
x
¬ e
x
− 1 ¬ e
x
x
1 + x
,
lim
x
→0+
(e
x
− 1) = 0,
−x ¬ 1 − e
−x
¬
−x
1
− x
,
lim
x
→0−
(e
x
− 1) = 0,
1
¬
e
x
− 1
x
¬ e
|x|
1
1 +
|x|
⇒ lim
x
→0
+
e
x
− 1
x
= 1.
e
−x
− 1
−x
= e
−x
e
x
− 1
x
⇒ lim
x
→0
−
e
x
− 1
x
= 1.
Dalej
e
x
− e
x
0
= e
x
0
(e
x
−x
0
− 1) ⇒ lim
x
→x
0
e
x
= e
x
0
.
Podobnie
sin x = sin(x
− x
0
+ x
0
) = sin(x
− x
0
) cos x
0
+ cos(x
− x
0
) sin x
0
→ sin x
0
gdy x
→ x
0
.
∞
X
n
=0
(
−1)
n
x
2n
(2n)!
− 1
<
x
2
2
,
0 < x < 1
⇒ lim
x
→0
cos x = 1.
76
Twierdzenie.
Następujące funkcje są ciągłe w swoich dziedzinach:
a) Wielomiany f (x) = a
0
+ a
1
x
+ . . . a
n
x
n
, a stąd funkcje wymierne
h
(x) =
f
(x)
g
(x)
, f
(x), g(x)
− wielomiany.
b) Funkcje trygonometryczne sin x, cos x, tg x, ctg x.
c) Funkcja wykładnicza f (x) = e
x
jest ciągła a stąd ciągłe są funkcje hiperboliczne
cosh x =
1
2
e
x
+
1
e
x
,
sinh x =
1
2
e
x
−
1
e
x
,
tgh x, ctgh x.
Twierdzenie.
Niech
ϕ
: otoczenie(t
0
)
−→ otoczenie(x
0
)
będzie funkcją ciągłą, taką, że
lim
t
→t
0
ϕ
(t) = x
0
oraz ϕ jest rosnąca lub malejąca
(x
1
< x
2
⇒ ϕ(x
1
) < ϕ(x
2
) (lub ϕ(x
1
) > ϕ(x
2
)).
Wtedy
lim
x
→x
0
f
(x) = lim
t
→t
0
f
(ϕ(t)).
Przykład.
ϕ
(t) = x
0
+ t, t
0
= 0
lim
x
→x
0
f
(x) = lim
t
→0
f
(x
0
+ t)
(liczenie granicy w x
0
możemy sprowadzić do liczenia granicy w 0).
lim
x
→x
0
e
x
= lim
t
→0
e
x
0
+t
= e
x
0
lim
t
→0
e
t
= e
x
0
.
Twierdzenie.
a) Niech
f
: D
f
−→ Y
f
, g
: D
g
−→ Y
g
, D
g
⊃ Y
f
.
Jeżeli f ciągła w x
0
, g ciągła w f (x
0
) = y
0
to funkcja
h
(x) = g
◦ f(x) = g(f(x)), x ∈ D
h
= D
f
,
jest ciągła w x
0
przy czym
lim
x
→x
0
h
(x) = lim
x
→x
0
g
(f (x)) = g( lim
x
→x
0
f
(x)) = g(y
0
).
b) f : [a, b]
−→ [c, d] bijekcja, która jest ciągła. Wtedy funkcja f
−1
: [c, d]
−→ [a, b]
jest również ciągła.
D.
77
a) Niech x
n
→ x
0
, y
n
= f (x
n
). Wtedy
h
(x
n
) = g(f (x
n
)) = g(y
n
), y
n
→ y
0
= f (x
0
)
⇒ h(x
n
)
→ g(y
0
) = g(f (x
0
)) = h(x
0
).
b) Niech g = f
−1
. Aby wykazać, że g jest ciągłe, wystarczy pokazać, że g
−1
(E) jest
domknięty w [a, b] gdy E domknięty w . Mamy, ponieważ f bijekcja, g
−1
(E) =
f
(E
∩ [a, b]). Ale E ∩ [a, b] jest domknięty, stąd zwarty, i dlatego f(E ∩ [a, b]) jest
zwarty, w szczególności domknięty.
Przykłady.
sin :
−
π
2
,
π
2
−→ [−1, 1] ciągła bijekcja ⇒ arc sin : [−1, 1] −→
−
π
2
,
π
2
ciągła.
Podobnie ciągłymi są inne funkcje, które można otrzymać jako funkcje odwrotne do
funkcji ciągłych - w części z nich należy rozpatrywać przedziały [a, b]
⊂ D aby można
było wprost skorzystać z twierdzenia:
arc cos : [
−1, 1] −→ [0, π],
arctg :
−→
−
π
2
,
π
2
,
arcctg :
−→ (0, π) ;
ln : (0, +
∞) −→ , ln = exp
−1
,
exp(x) = e
x
;
log
a
(x) = g(ln x), gdzie g(x) =
1
ln a
x
;
√
:[0, +
∞) −→ [0, +∞) − funkcja odwrotna do funkcji kwadratowej.
Funkcja wykładnicza a
x
= exp(ln a
· x) jest ciągła jako złożenie dwóch funkcji
ciągłych, funkcja potęgowa h(x) = x
a
jest ciągła bo
x
a
= e
a
ln x
.
Zastosowanie ciągłości do liczenia granic.
lim
n
→∞
(ln(a + n)
− ln n = lim
n
→∞
ln
1 +
a
n
= lim
x
→1
ln x = ln 1 = 0.
lim
n
→∞
(
√
an
+ n
2
− n) = lim
n
→∞
an
+ n
2
− n
2
√
an
+ n
2
+ n
lim
n
→∞
a
q
1 +
a
n
+ 1
= lim
x
→1
a
√
x
+ 1
=
a
2
.
Własności funkcji ciągłych.
a) Twierdzenie Weierstrassa: jeżeli f : [a, b]
−→
funkcja ciągła to istnieją
punkty x
1
, x
2
∈ [a, b] takie, że
f
(x
1
) = sup
x
∈[a,b]
f
(x)
− największa wartość funkcji,
78
f
(x
2
) = inf
x
∈[a,b]
f
(x)
− najmniejsza wartość funkcji.
b) Własność Darboux: funkcja ciągła przyjmuje wszystkie wartości pośrednie.
Precyzyjnie:
f
: (a, b)
→
funkcja ciągła, [c, d]
⊂ (a, b), f(c) = C, f(d) = D. Wtedy
∀ P ∈ [C, D]∃ x ∈ [c, d] P = f(x).
c) f : (a, b)
−→
funkcja ciągła i różnowartościowa
⇒ f silnie rosnąca albo f
silnie malejąca.
D.
a) Twierdzenie Weierstrassa wynika z faktu, że f ([a, b]) = [c, d]
b) Własność Darboux wynika z faktu, że f (a, b) jest przedziałem.
c) Przypuśćmy, że f nie jest monotoniczna. Wtedy istnieją a < x < y < z < b
takie że f (x) < f (y) i f (z) < f (y) albo f (x) > f (y) i f (z) > f (y). Niech na
przykład, f (x) < f (y) i f (z) < f (y). Weźmy w
∈ (f(x), f(y)) ∩ (f(z), f(y)) 6= ∅.
Z własności Darboux istnieją takie t
∈ (x, y) i u ∈ (y, z), że w = f(t) i w = f(u)
i t < u, co przeczy założeniu, że f jest funkcją różnowartościową.
Wniosek.
Jeżeli f : I = (a, b)
→ (c, d) jest funkcją ciągłą to na to aby f(I) = (c, d)
wystarcza, aby istniały ciągi punktów x
n
i y
n
w (a, b), takie, że f (x
n
)
→ c i
f
(y
n
)
→ d, przy czym może być a = −∞ lub b = +∞. W szczególności, jeśli
f
:
→
i istnieją ciagi x
n
, y
n
takie, że f (x
n
)
→ −∞, f(y
n
)
→ +∞ to
f
( ) = .
(Najprostsze twierdzenie o punkcie stałym). Jeżeli f : [a, b]
→ [a, b] jest funkcją
ciągłą, to istnieje x
∈ [a, b] taki, że f(x) = x.
Uzasadnienie: jeśli f (a) = a lub f (b) = b, to nie ma czego dowodzić. Gdy f (a)
6= a
i f (b)
6= b to f(a) − a > 0 i f(b) − b < 0. Z własności Darboux wynika istnienie
takiego x, że f (x)
− x = 0.
Uwagi.
lim
n
→∞
x
n
= +
∞
df
⇔ dowolny podciąg x
k
n
nie jest ograniczony z góry
⇔ ∀R >
0
∃N n N ⇒ x
n
> R
.
Analogicznie lim
n
→∞
x
n
=
−∞
df
⇔ dowolny podciąg x
k
n
nie jest ograniczony z dołu
⇔ ∀R < 0 ∃N n N ⇒ x
n
< R
.
Powyższe twierdzenie o punkcie stałym nic nam nie mówi, jak znaleźć x. Można
to zrobić, np. jeśli założymy dodatkowo, że istnieje stała L < 1 (stała Lipschitza)
taka, że
∀x, y ∈ [a, b] |f(x) − f(y)| ¬ L|x − y|. Wtedy x = lim
n
→∞
x
n
, gdzie x
n
+1
=
f
(x
n
), x
0
jest dowolnie ustalonym punktem z [a, b].
79
Przykład. f (x) = 1 +
1
x
+1
, [a, b] = [1, 2], L =
1
4
. f (x) = x
⇔ x =
√
2. Dla x
0
= 1
mamy x
1
=
3
2
, x
2
=
7
5
, x
3
=
17
12
, x
4
=
41
29
, . . .
.
Definicja.
Pochodną
f
0
(x
0
) funkcji y = f (x) w punkcie x
0
nazywamy granicę
(jeśli
istnieje)
f
0
(x
0
) = lim
x
→x
0
f
(x)
− f(x
0
)
x
− x
0
= lim
h
→0
f
(x
0
+ h)
− f(x
0
)
h
.
f
0
+
(x
0
) = lim
x
→x
0
+
f
(x)
− f(x
0
)
x
− x
0
, f
0
−
(x
0
) = lim
x
→x
0
−
f
(x)
− f(x
0
)
x
− x
0
.
f
0
+
(x
0
) - pochodna prawostronna, f
0
−
(x
0
) - pochodna lewostronna.
Funkcja, dla której istnieje pochodna w punkcie x
0
nazywana jest różniczkowalną
w x
0
a jeśli tak jest dla x
0
∈ U różniczkowalną na zbiorze U. Na ogół U jest
właściwym podzbiorem dziedziny f (x) (przykładem funkcja f (x) =
|x|) a nawet więcej
U
⊂ C
f
=
{x
0
∈ D
f
f
(x) jest ciągła w x
0
}.
Może się zdarzyć, że C
f
= D
f
ale U =
∅.
Przykład.
Jeżeli f (x) = ax + b to mamy
f
(x
0
+ h)
− f(x
0
)
h
=
ah
h
= a
⇒ lim
h
→0
f
(x
0
+ h)
− f(x
0
)
h
= a
czyli
∀x ∈
f
0
(x
0
) = a.
Jeżeli f (x) =
|x| i x
0
= 0 to mamy
f
(x
0
+ h)
− f(x
0
)
h
=
|h|
h
=
(
+1, h > 0
−1, h < 0
⇒ f
0
+
(0) = 1, f
0
−
(0) =
−1.
Dla x
6= 0 otrzymamy
(
|x|)
0
= sgn x.
Prostą o równaniu
y
− f(x
0
) = f
0
(x
0
)(x
− x
0
)
nazywamy styczną w punkcie (x
0
, f
(x
0
) do wykresu funkcji y = f (x). Styczna to
prosta wyznaczona przez warunki
y
(x
0
) = f (x
0
), y
0
(x
0
) = f
0
(x
0
).
Równoważnie
lim
h
→0
f
(x
0
+ h)
− y(x
0
+ h)
h
= 0
co oznacza, że wśród funkcji liniowych y = ax + b w otoczeniu punktu x
0
styczna
najlepiej przybliża funkcję y = f (x).
80
Twierdzenia o wartości średniej
Twierdzenie Rolle’a.
Z: f : [a, b]
−→
funkcja ciągła, różniczkowalna na (a, b), f (b) = f (a).
T:
∃c ∈ (a, b) f
0
(c) = 0.
Twierdzenie Lagrange’a.
Z: f : [a, b]
−→
funkcja ciągła, różniczkowalna na (a, b)
T:
∃c ∈ (a, b)
f
0
(c) =
f
(b)
− f(a)
b
− a
.
Twierdzenie Cauchy’ego.
Z: f, g : [a, b]
−→
funkcje ciągłe, różniczkowalne na (a, b), przy czym g
0
(x)
6= 0
na (a, b)
T:
∃c ∈ (a, b)
f
0
(c)
g
0
(c)
=
f
(b)
− f(a)
g
(b)
− g(a)
.
D.
Tw. Rolle’a
⇒ tw. Lagrange’a
g
(x) := f (x)
− L(x), L(x) = αx + β, L(a) = f(a), L(b) = f(b).
g
(a) = g(b) = 0
⇒ ∃c ∈ (a, b) : g
0
(c) = 0
⇒ f
0
(c) = L
0
(c) = α. Łatwo sprawdzić,
że
αa
+ β = f (a), αb + β = f (b)
⇒ α =
f
(b)
− f(a)
b
− a
.
Tw. Lagrange’a
⇒ tw. Cauchy’ego
Z tw. Lagrange’a g(b)
− g(a) = g
0
(c)(b
− a) 6= 0.
h
(x) := f (x)
− αg(x), f(a) − αg(a) = f(b) − αg(b)
h
(x) := f (x)
−
f
(b)
− f(a)
g
(b)
− g(a)
g
(x).
h
(a) = h(b)
⇒ ∃ c ∈ (a, b) h
0
(c) = 0
⇔
f
0
(c)
g
0
(c)
=
f
(b)
− f(a)
g
(b)
− g(a)
.
D. tw. Rolle’a. Jeżeli funkcja f jest stała to twierdzenie jest prawdziwe. Jeżeli f
nie jest stała to przyjmuje wartość większą od f (b) = f (a) lub mniejszą. Niech
zachodzi np. ten pierwszy przypadek (mogą zachodzić oba). Wtedy z twierdzenia
Weierstrassa istnieje c
∈ [a, b] f(c) = sup f([a, b]) i musi być c ∈ (a, b). Mamy
f
(x)−f (c)
x
−c
¬ 0, dla x > c,
f
(x)−f (c)
x
−c
0, dla x < c,
⇒ f
0
(c) = lim
x
→c
f
(x)
− f(c)
x
− c
= 0.
81
Wnioski
a) Jeśli funkcja różniczkowalna ma (a, b) ma pochodną równą zero to jest stała;
b) Jeśli funkcja różniczkowalna na (a, b) ma na tym przedziale dodatnią pochodną
to jest silnie rosnąca a jeśli pochodna jest ujemna to sama funkcja jest silnie malejąca.
Z definicji pochodnej wynika, że jeżeli funkcja jest silnie rosnąca to jej pochodna
jest nieujemna (
), a pochodna funkcji silnie malejącej jest niedodatnia (¬).
82
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Metrody wyklad 10 01 2011
BÓLE GŁOWY, WYKŁAD 2, 10 01 2014
wykład 3 (10.01.2012)
Zdrowie publiczne - wykład 10.01.13, STUDIA, Zdrowie publiczne, wyklady
Ekologia wykład 10 01 2010x
Wykład 10 01 2015
Metrody wyklad 10 01 2011
Wykład 10,01,2013
Wykład 6 10 01 12
Wykład 10 01 15 Audiologia
Metrody wyklad 10 01 2011
10 01 2014 Wykład
wykład 3 - podstawy zarządzania - 10.01.2010
FARMAKOLOGIA wykład 09, FARMAKOLOGIA wykład 9 (10 XII 01)
Wykład 2012-01-10, psychologia drugi rok, psychologia ról
Wykład 10 - Utylitaryzm wg Milla - 12.01.2012 r, Semestr V, Etyka
hme 05 10 01 wykład03
więcej podobnych podstron