02 01 11 12 01 16 e notatka analiza matematyczna II kolokwium I

background image

SNy: Biotechnologia

Analiza matematyczna II

– kolokwium I

notatki ze studiów na kierunku Biotechnologia

na Wydziale Chemicznym Politechniki Wrocławskiej

Autor:
Mateusz Jędrzejewski
mateusz.jedrzejewski@one.pl
www.jedrzejewski.one.pl


otatka jest częścią projektu SNy Biotechnologia
(Studenckie Notatki Cyfrowe). Udostępniane

są one na stronie internetowej www.sny.one.pl. Każdy
może za darmo korzystać z nich w celach edukacyjnych.


waga na błędy! Mimo staranności jaką włożyli
autorzy w opracowanie tej notatki mogą
zdarzyć się błędy. Więc każdy korzysta z tych

notatek na własną odpowiedzialność. Zauważone błędy
proszę zgłaszać autorowi notatki (najlepiej drogą
elektroniczną).

śyczę wszystkim skutecznego korzystania z notatek.

Mateusz Jędrzejewski
(autor strony www.sny.one.pl)

Szczegółowe informacje o notatce

Nazwa pliku: e-notatka - analiza matematyczna II - kolokwium I.pdf

Nazwa kursu: Analiza matematyczna II (MAP2005w)

Prowadzący kurs: dr Magdalena Rutkowska

Semestr/rok: 07l (rok 1, II semestr)

Kierunek: Biotechnologia

Wydział: Wydział Chemiczny

Uczelnia: Politechnika Wrocławska

Autor notatki: Mateusz Jędrzejewski

Status: Notatka w wersji roboczej

N

U

background image

Studenckie Notatki Cyfrowe

SNy: Biotechnologia

www.sny.one.pl sny@sny.one.pl

Strona 2

Notatka: Analiza matematyczna II (MAP2005w) – kolokwium I.

Utworzona: 16.04.2007 20:10

Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A.

Zmodyfikowana: 17.04.2007 10:09

Kolokwium I – Zestaw A

16.04.2007 r.

zad. 1.

Zbadać zbieżność całki

1

0

sin x

x

dx

.


Jest to całka niewłaściwa drugiego rodzaju, ponieważ:

=

+

x

x

x

sin

1

lim

0

.

Można oszacować całkę z dołu:

x

x

x

sin

1

1

0

<

(*)

Całka niewłaściwa

1

0

x

dx

jest rozbieżna do

co wynika z faktu 1.

Fakt 1.

Całka niewłaściwa

b

p

x

dx

0

, gdzie

0

>

b

, jest zbieżna dla

1

0

<

<

p

i rozbieżna do

dla

1

p

.

Korzystając z kryterium porównawczego:

Z rozbieżności całki

1

0

x

dx

oraz szacowania (*) wynika rozbieżność całki

1

0

sin x

x

dx

.

zad. 2.

Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu

=

2

ln

)

1

(

n

n

n

n

.

Twierdzenie 1.

Szereg

=

2

n

n

a

jest zbieżny bezwzględnie jeżeli szereg

=

2

n

n

a

jest zbieżny.

=

=

=

2

2

ln

1

ln

)

1

(

n

n

n

n

n

n

n

(**)

Należy pokazać rozbieżność szeregu (**) stosując kryterium całkowe:

Niech

x

x

x

f

ln

1

)

(

=

. Funkcja jest malejąca (bo jest odwrotnością iloczynu dwóch funkcji

rosnących). Funkcja przyjmuje wartości dodatnie na

[

)

,

2

.

( )

[

]

( ) ( )

[

]

=

=

=

=

2

ln

ln

ln

ln

ln

ln

ln

ln

lim

lim

lim

2

2

2

T

x

x

x

dx

x

x

dx

T

T

T

T

T

.

Z rozbieżności do

całki

2

ln x

x

dx

wynika rozbieżność do

szeregu

=

2

ln

1

n

n

n

.

Z twierdzenia 1. wiadomo, że szereg nie jest zbieżny bezwzględnie.

Należy więc sprawdzić zbieżność:

=

2

ln

)

1

(

n

n

n

n

.

Z kryterium Leibniza o zbieżności szeregu naprzemiennego postaci

=

2

)

1

(

n

n

n

b

(****).

Twierdzenie 2.

Jeżeli ciąg

( )

n

b

jest nierosnący oraz

0

lim

=

n

n

b

to szereg (****) jest zbieżny.

#ciąg dalszy na następnej stronie

background image

Studenckie Notatki Cyfrowe

SNy: Biotechnologia

www.sny.one.pl sny@sny.one.pl

Strona 3

Notatka: Analiza matematyczna II (MAP2005w) – kolokwium I.

Utworzona: 16.04.2007 20:10

Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A.

Zmodyfikowana: 17.04.2007 10:09

cd. zad. 2.

Szereg

=

2

ln

)

1

(

n

n

n

n

jest szeregiem naprzemiennym, gdzie

n

n

b

n

ln

1

=

.

Ciąg

( )

n

b

jest malejący, bo jest odwrotnością iloczynu dwóch ciągów rosnących.

0

0

0

ln

1

1

ln

1

lim

lim

lim

lim

=

=

=

=

n

n

n

n

b

n

n

n

n

n

Z twierdzenia 2. wiadomo, że szereg

=

2

ln

)

1

(

n

n

n

n

jest zbieżny.

Ostatecznie: Szereg

=

2

ln

)

1

(

n

n

n

n

jest zbieżny warunkowo, ponieważ jest zbieżny, ale nie jest

zbieżny bezwzględnie.



zad. 3.

Znaleźć szereg Maclaurina funkcji

2

2

)

(

x

e

x

x

f

=

, określić przedział zbieżności oraz

obliczyć

)

0

(

)

16

(

f

i

)

0

(

)

17

(

f

.

Fakt 2.

...

!

3

!

2

!

1

1

!

3

2

0

+

+

+

+

=

=

=

x

x

x

n

x

e

n

n

x

dla

R

x

,

Z faktu 2.:

=

+

=

=

=

=

=

=

0

1

2

0

2

0

2

2

!

2

)

1

(

!

2

)

1

(

!

)

2

(

)

(

2

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

x

n

x

n

x

n

x

x

e

x

x

f

.

Należy zbadać przedział zbieżności:

=

+

=

+

=

=

→∞

+

+

→∞

+

→∞

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

R

2

2

2

!

)

1

(

!

2

)

1

(

)!

1

(

!

2

)

1

(

lim

lim

lim

1

1

1

Z twierdzenia Cauchy’ego-Hadamarda wynika, że szereg

=

+

0

1

2

!

2

)

1

(

n

n

n

n

x

n

jest zbieżny na R .

Z twierdzenia o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy

=

0

n

n

n

x

c

wynika:

!

)

0

(

!

)

0

(

)

(

)

(

n

c

f

n

f

c

n

n

n

n

=

=

=

=

+

=

=

k

n

dla

c

k

n

dla

k

c

c

k

k

k

k

n

2

0

1

2

!

2

)

1

(

:

0

!

16

)

0

(

0

16

)

16

(

16

=

=

=

c

f

c

!

17

!

8

2

!

17

)

0

(

!

8

2

)

1

(

8

17

)

17

(

8

8

17

=

=

=

c

f

c

background image

Studenckie Notatki Cyfrowe

SNy: Biotechnologia

www.sny.one.pl sny@sny.one.pl

Strona 4

Notatka: Analiza matematyczna II (MAP2005w) – kolokwium I.

Utworzona: 16.04.2007 20:10

Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A.

Zmodyfikowana: 17.04.2007 10:09

zad. 4.

Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji

x

y

y

x

z

1

)

4

sin(

+

=

w punkcie

(

)

0

4

1

,

,

1

z

.

4

1

1

)

4

1

sin(

)

,

1

(

)

,

(

)

,

(

4

1

4

1

4

1

0

0

0

=

+

=

=

=

=

f

y

x

f

z

y

x

f

z

Płaszczyzna ma przechodzić przez punktu

(

)

4

,

,

1

4

1

.

Fakt 3

Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji

)

,

(

y

x

f

w punkcie

(

)

0

0

0

,

,

z

y

x

na postać:

)

(

)

,

(

)

(

)

,

(

0

0

0

0

0

0

0

y

y

y

x

y

f

x

x

y

x

x

f

z

z

+

=

.

1

2

1

1

2

1

)

4

1

cos(

)

,

1

(

)

,

(

2

1

)

4

cos(

1

)

4

sin(

)

,

(

3

4

1

4

1

4

1

0

0

3

=

=

=

=

=





+

=

x

f

y

x

x

f

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

x

x

f

18

16

2

1

)

(

1

)

4

1

cos(

1

)

,

1

(

)

,

(

1

)

4

cos(

1

1

)

4

(

)

4

cos(

1

)

4

sin(

)

,

(

2

4

1

4

1

4

1

4

1

0

0

2

2

2

1

2

1

=

=

=

=

=

=

=





+

=

y

f

y

x

y

f

x

y

y

x

y

y

x

y

y

x

x

y

y

x

y

y

x

y

f

Więc równanie płaszczyzny to:

0

19

2

36

2

0

18

0

1

4

18

)

(

18

)

1

(

1

4

)

(

)

,

(

)

(

)

,

(

2

19

2

9

4

1

0

0

0

0

0

0

0

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

=

z

y

x

z

y

x

z

y

x

y

x

z

y

y

y

x

y

f

x

x

y

x

x

f

z

z

Płaszczyzna styczna do funkcji

)

,

(

y

x

f

w punkcie

(

)

4

,

,

1

4

1

ma postać ogólną:

0

19

2

36

2

:

=

+

+

z

y

x

π



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
02 01 11 12 01 16 e notatka analiza matematyczna II kolokwium I
02 01 11 12 01 57 e notatka analiza matematyczna II kolokwium II
02 01 11 12 01 57 e notatka analiza matematyczna II kolokwium II
02 01 11 12 01 56 e notatka analiza matematyczna I kolokwium II
02 01 11 12 01 10 e notatka analiza matematyczna I egzamin
02 01 11 12 01 10 e notatka analiza matematyczna I egzamin
02 01 11 12 01 56 e notatka analiza matematyczna I kolokwium II
2012 01 16 probna matura matematyka arkusz poziom podstawowy
akso 11,12,15,16
bieg 8 11 12 15 16
Elastyczne formy zatrudnienia STOS 5 i 11 12 i 15 16
akso 11,12,15,16
ANALIZA MATEMATYCZNA II, Notatki, MATEMATYKA
Analiza matematyczna II cz I
analiza matematyczna II, Przodki IL PW Inżynieria Lądowa budownictwo Politechnika Warszawska, Semest
ANALIZA MATEMATYCZNA II
Sylabus-WEL-Analiza-matematyczna II Zo, Analiza matematyczna 2 zon ploch
Matematyka I kolo, Studia PG, Semestr 02, Matematyka II, Kolokwia
Zad z egz (matma), gik, semestr 3, Analiza Matematyczna II

więcej podobnych podstron