02 01 11 12 01 56 e notatka analiza matematyczna I kolokwium II

background image



SNy: Biotechnologia

Analiza matematyczna I –

kolokwium II

notatki ze studiów na kierunku Biotechnologia

na Wydziale Chemicznym Politechniki Wrocławskiej



Autor:
Mateusz Jędrzejewski
mateusz.jedrzejewski@one.pl
www.jedrzejewski.one.pl

otatka jest częścią projektu SNy (Studenckie Notatki
Cyfrowe). Notatki są samodzielnie sporządzane

i opracowywane przez studentów Politechniki. Udostępniane
są w Internecie. Każdy możne z nich korzystać dowoli
w celach edukacyjnych.

waga na błędy! Mimo staranności jaką włożyli autorzy
w opracowanie tej notatki mogą zdarzyć się błędy.
Każdy więc korzysta z tych materiałów na własną

odpowiedzialność. Wszelkie zauważone błędy proszę
zgłaszać autorowi notatki (najlepiej drogę elektroniczną).


śyczę wszystkim skutecznego korzystania z notatek.


Mateusz Jędrzejewski
(autor strony www.sny.one.pl)

 

Szczegółowe informacje o notatce

Nazwa pliku: e-notatka - analiza matematyczna I - kolokwium II.pdf

Nazwa kursu: Analiza matematyczna I (MAP1024c)

Prowadzący kurs: mgr Jerzy Baran

Semestr/rok: 06z (rok 1, I semestr)

Kierunek: Biotechnologia

Wydział: Wydział Chemiczny

Uczelnia: Politechnika Wrocławska

Autor notatki: Mateusz Jędrzejewski

Status: Notatka w wersji roboczej

N

U

background image

Studenckie Notatki Cyfrowe



SNy: Biotechnologia

www.sny.one.pl sny@sny.one.pl

Strona 2

Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w) – kolokwium II.

Utworzona: 25.01.2007 22:22

Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A.

Zmodyfikowana: 26.01.2007 2:41

Kolokwium II – Grupa A

25.01.2007 r.


zad. 1.

Stosując regułę L’Hospitala obliczyć granicę

)

ln(sin

)

ln(

lim

0

x

x

x

+

.

(

)

(

)

1

cos

1

1

cos

1

sin

cos

sin

cos

sin

1

1

)

ln(sin

)

ln(

)

ln(sin

)

ln(

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

0

0

0

0

0

0

0

=

=

=

=

=

=

=





+

+

+

+

+

+

+

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

H

x

Wyliczona granica istnieje więc:

1

)

ln(sin

)

ln(

lim

0

=

+

x

x

x

.

Skorzystałem z wartości znanej granicy:

1

sin

lim

0

=

+

x

x

x

.



zad. 2.

Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji

x

x

x

f

sin

sin

)

(

2

+

=

na

.

(

)

(

)

π

π

π

π

π

π

π

π

π

k

k

x

k

x

k

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

f

2

2

2

sin

0

cos

0

1

sin

2

0

cos

0

1

sin

2

cos

0

)

(

1

sin

2

cos

cos

cos

sin

2

)

(

sin

sin

)

(

6

5

6

6

2

2

1

2

+

=

+

+

=

+

=

+

=

=

=

=

+

=

=

+

=

+

=

+

=

+

=

Funkcja jest ciągła na

, więc jedynymi punktami podejrzanymi o ekstrema są:

Z

k

k

x

k

x

k

k

x

k

x

k

x

+

=

+

=

+

=

+

+

=

+

=

+

=

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

2

2

2

2

2

6

5

6

2

3

2

2

2

Sprawdzam warunek dostateczny wystąpienia ekstremum:

(

)

(

)

...

33

32

1

0

2

4

0

2

sin

sin

4

0

)

(

sin

sin

1

cos

1

cos

sin

2

sin

sin

4

sin

2

2

sin

sin

2

cos

2

sin

sin

2

cos

2

cos

1

sin

2

sin

)

(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

+

=

=

+

=

+

=

′′

=

=

=

+

+

=

+

=

=

+

=

+

+

=

′′

t

t

x

x

x

f

t

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

background image

Studenckie Notatki Cyfrowe



SNy: Biotechnologia

www.sny.one.pl sny@sny.one.pl

Strona 3

Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w) – kolokwium II.

Utworzona: 25.01.2007 22:22

Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A.

Zmodyfikowana: 26.01.2007 2:41

Może jednak wystarczy policzyć wartości funkcji w miejscach gdzie

0

)

(

=

x

f

.

Dla

0

=

k

(dla pozostałych będzie to samo, bo korzystam z okresowości funkcji

π

2

=

T

).

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

4

1

2

1

2

2

1

6

5

6

5

2

6

5

4

1

2

1

2

2

1

6

6

2

6

2

2

3

2

3

2

2

3

2

2

2

2

2

sin

sin

sin

sin

0

1

)

1

(

sin

sin

2

1

1

sin

sin

=

=

+

=

=

=

+

=

=

=

+

=

=

+

=

+

=

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

f

f

f

f


Najmniejsza wartość funkcji to

4

1

, na największa to 2 .

x

x

x

f

sin

sin

)

(

2

+

=



zad. 3.

Obliczyć całkę

+

+

8

4

2

2

2

x

x

dx

x

. Otrzymany rezultat sprawdzić.

(

)

C

x

x

x

t

x

t

dt

x

dx

x

x

x

x

dx

x

dt

x

x

t

dx

x

x

x

x

x

x

dx

x

x

x

dx

dx

x

x

x

x

x

x

x

dx

x

+

+

+

=

=

=

=

+

+

+

=

+

=

+

+

=

+

+

+

=

=

<

=

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

8

4

ln

4

2

ln

4

2

4

2

8

4

4

2

4

2

)

4

2

(

8

4

8

4

8

4

2

2

0

32

16

0

8

4

8

4

8

4

2

2

8

4

8

4

8

4

2

8

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Sprawdzenie:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

8

4

2

8

4

16

8

16

8

2

8

4

4

2

4

8

4

2

8

4

4

2

4

8

4

8

4

2

8

4

4

2

4

2

8

4

8

4

4

2

8

4

ln

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

+

+

=

+

+

+

+

=

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

=

=

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

C

x

x

x

background image

Studenckie Notatki Cyfrowe



SNy: Biotechnologia

www.sny.one.pl sny@sny.one.pl

Strona 4

Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w) – kolokwium II.

Utworzona: 25.01.2007 22:22

Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A.

Zmodyfikowana: 26.01.2007 2:41

zad. 4.

Znaleźć pole obszaru D ograniczonego krzywymi:

x

y

3

2

=

,

x

x

y

2

2

=

.


W analizie tych funkcji pomocne będą ich wykresy.

)

2

(

2

0

3

0

3

3

2

2

=

=



<

=

=

x

x

x

x

y

x

x

x

x

y

x

y


Znajduję miejsca przecięcia się wykresów:

0

)

1

)(

3

(

0

)]

3

(

)

3

(

)

3

[(

0

)

3

4

4

(

0

3

4

4

4

4

3

)

2

(

3

)

2

(

3

2

3

2

2

2

3

2

3

4

2

3

4

2

2

2

2

2

2

2

2

=

+

=

+

=

+

=

+

+

=

=



=

=



=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

x

y

x

x

y

x

y


Punkty w których wykresy się przecinają to:
dla

0

=

x

0

0

2

0

2

2

2

=

=

=

x

x

y

dla

3

=

x

3

6

9

3

2

3

2

2

2

=

=

=

=

x

x

y


Pole zaznaczonego obszaru wyraża się:

(

)

(

)

6

3

4

3

4

6

3

4

3

4

6

4

3

8

3

4

6

4

3

8

4

3

8

9

3

27

6

0

3

0

2

3

2

2

3

2

3

3

3

0

3

3

3

2

3

3

3

3

2

2

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

3

2

0

2

3

3

2

2

3

3

0

3

2

0

2

3

2

2

3

0

=

+

=

+

=

+

=

+

+

+

=

=

+

+





+

=

=

+

=

+

=

x

x

x

x

x

dx

x

x

dx

x

x

dx

x

D

Kolokwium II – Grupa B

25.01.2007 r.


background image

Studenckie Notatki Cyfrowe



SNy: Biotechnologia

www.sny.one.pl sny@sny.one.pl

Strona 5

Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w) – kolokwium II.

Utworzona: 25.01.2007 22:22

Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A.

Zmodyfikowana: 26.01.2007 2:41

Kolokwium II – Grupa C

25.01.2007 r.


zad. 1.

Napisać wzór Maclaurina z resztą

3

R

dla funkcji

)

1

ln(

)

(

x

x

f

+

=

, następnie uzasadnić,

że nierówność

2

2

)

1

ln(

x

x

x

>

+

jest prawdziwa dla każdego

0

>

x

.


Ogólnie:

3

2

!

3

)

(

!

2

)

0

(

!

1

)

0

(

)

0

(

)

(

x

c

f

x

f

x

f

f

x

f

′′′

+

′′

+

+

=

gdzie

)

,

0

(

x

c

.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

3

3

2

3

2

2

3

4

4

2

2

2

1

3

2

2

)

1

ln(

!

3

1

2

!

2

0

1

1

!

1

0

1

1

)

0

1

ln(

)

1

ln(

1

2

1

1

2

1

1

)

1

(

0

)

(

1

1

1

1

1

0

)

(

1

1

)

(

)

1

ln(

)

(

c

x

x

x

x

c

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

f

x

x

f

x

x

f

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

′′′

+

=

+

+

=

′′

+

=

+

=

gdzie:

(

)

(

)

0

0

0

1

3

2

1

3

2

3

0

3

3

2

3

3

0

3

3

3

>

>

=

+

>

+

=

>

=

R

x

x

c

x

R

x

c

więc:

2

)

1

ln(

0

2

)

1

ln(

0

2

)

1

ln(

2

)

1

ln(

2

2

3

2

3

2

x

x

x

x

x

x

R

x

x

x

R

x

x

x

>

+

>

+

+

>

=

+

+

+

=

+

cbdu.

background image

Studenckie Notatki Cyfrowe



SNy: Biotechnologia

www.sny.one.pl sny@sny.one.pl

Strona 6

Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w) – kolokwium II.

Utworzona: 25.01.2007 22:22

Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A.

Zmodyfikowana: 26.01.2007 2:41

zad. 2.

Określić przedziały monotoniczności funkcji

3

3

1

)

(

x

x

f

=

.

(

)

(

) (

) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

)

,

(

0

0

0

1

0

)

(

0

1

0

1

1

3

1

1

1

)

(

1

1

)

(

2

2

*

3

2

3

2

3

2

3

*

2

3

3

2

3

2

2

3

3

1

3

3

3

1

3

3

3

3

2

3

2

3

1

−∞

>

>

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

f


Funkcja jest malejąca na przedziale

)

,

(

−∞

.

3

3

1

)

(

x

x

f

=


zad. 3.

Obliczyć całkę

+

x

dx

sin

1

.


Zależy zastosować podstawienie uniwersalne.

C

C

t

C

k

dk

k

k

dk

dt

dk

t

k

t

dt

t

t

dt

t

t

t

t

t

dt

t

t

t

dt

t

t

x

t

dt

dx

t

t

x

dx

x

x

x

+

+

=

+

+

=

+

=

=

=

=

+

=

+

=

=

+

+

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

=

+

=

+

=

=

=

+

1

tg

2

1

2

)

(

2

2

2

1

)

1

(

2

1

2

2

1

2

1

1

1

2

1

2

1

1

2

1

2

sin

1

2

tg

arc

tg

sin

1

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2


background image

Studenckie Notatki Cyfrowe



SNy: Biotechnologia

www.sny.one.pl sny@sny.one.pl

Strona 7

Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w) – kolokwium II.

Utworzona: 25.01.2007 22:22

Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A.

Zmodyfikowana: 26.01.2007 2:41

zad. 4.

Obliczyć całkę

( )

dx

x

x

π

0

2

2

cos

.

( )

( )

[

]

( )

( )

[

]

( )

( )

( )

( )

( )

( )

[

]

(

)

16

2

sin

2

2

0

0

4

2

cos

2

)

(

1

)

(

sin

2

)

(

2

)

(

sin

)

(

)

(

cos

)

(

)

(

cos

2

cos

2

4

0

2

sin

4

sin

2

cos

2

0

2

2

2

2

2

2

2

0

2

0

2

2

0

2

0

2

2

0

2

2

=

+

+

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=



+

=

=

π

π

π

π

π

π

π

π

π

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

v

x

u

x

g

x

x

f

x

v

x

x

u

x

g

x

x

f

dx

x

dx

x

x

dx

x

( )

2

2

cos

)

(

x

x

x

f

=


Kolokwium II – Grupa D

25.01.2007 r.


zad. 1.

Naszkicować wykres funkcji ciągłej

a

:

f

spełniającej warunki:

1

)

1

(

=

f

,

=

)

1

(

f

,

−∞

=

+

)

1

(

f

,

0

)

(

>

′′

x

f

dla każdego

0

x

.

background image

Studenckie Notatki Cyfrowe



SNy: Biotechnologia

www.sny.one.pl sny@sny.one.pl

Strona 8

Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w) – kolokwium II.

Utworzona: 25.01.2007 22:22

Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A.

Zmodyfikowana: 26.01.2007 2:41

zad. 2.

Znaleźć ekstrema i punkty przegięcia wykresu funkcji

x

x

x

f

)

ln(

)

(

=

.

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1

0

)

(

0

)

(

2

)

ln(

1

)

ln(

0

)

ln(

1

0

)

(

)

ln(

1

)

ln(

)

ln(

)

(

)

ln(

)

(

)

,

0

(

0

e

x

x

f

e

x

x

f

e

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

f

D

x

x

x

x

x

f

>

<

<

>

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

>

Na lewo od

2

e

x

=

funkcja

)

(x

f

rośnie, a na prawo maleje, więc w

2

e

x

=

ma maksimum.

( ) ( )

e

e

e

e

e

e

f

2

)

ln(

2

ln

2

2

2

=

=

=

x

x

x

f

)

ln(

)

(

=

background image

Studenckie Notatki Cyfrowe



SNy: Biotechnologia

www.sny.one.pl sny@sny.one.pl

Strona 9

Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w) – kolokwium II.

Utworzona: 25.01.2007 22:22

Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A.

Zmodyfikowana: 26.01.2007 2:41

zad. 3.

Obliczyć całkę

dx

x

x

2

)

sin(ln

.

C

x

x

x

dx

x

x

x

x

x

dx

x

x

dx

x

x

x

x

x

x

dx

x

x

x

x

v

x

x

x

u

x

x

g

x

x

x

f

x

x

v

x

x

u

x

x

g

x

x

f

dx

x

x

x

x

x

x

dx

x

x

x

x

dx

x

x

+

+

=

+

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

+

=

2

)

cos(ln

)

sin(ln

)

sin(ln

)

cos(ln

)

sin(ln

)

sin(ln

2

)

sin(ln

)

cos(ln

)

sin(ln

)

sin(ln

1

)

(

)

sin(ln

)

(

1

)

(

)

cos(ln

)

(

)

(

)

cos(ln

)

(

)

(

)

sin(ln

)

(

)

sin(ln

)

cos(ln

)

sin(ln

)

cos(ln

)

sin(ln

)

sin(ln

2

2

2

2

2

2

2

2

2



zad. 4.

Obliczyć całkę

π

0

3

sin

dx

x

x

.

(

)

[

]

(

)

[

]

(

)

[

]

[

]

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

6

sin

6

0

6

cos

6

cos

6

cos

6

0

3

sin

6

sin

3

sin

3

0

cos

3

cos

cos

sin

3

0

3

0

0

3

0

3

0

0

2

3

0

2

3

0

2

0

3

0

3

0

3

=

=

+

+

=

+

=

+

=

=

+

+

=

+

=

=

x

dx

x

x

x

dx

x

x

dx

x

x

x

x

dx

x

x

dx

x

x

x

x

dx

x

x

dx

x

x


 

 

 


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
02 01 11 12 01 56 e notatka analiza matematyczna I kolokwium II
02 01 11 12 01 57 e notatka analiza matematyczna II kolokwium II
02 01 11 12 01 16 e notatka analiza matematyczna II kolokwium I
02 01 11 12 01 10 e notatka analiza matematyczna I egzamin
02 01 11 12 01 57 e notatka analiza matematyczna II kolokwium II
02 01 11 12 01 10 e notatka analiza matematyczna I egzamin
02 01 11 12 01 16 e notatka analiza matematyczna II kolokwium I
02-01-11 12 01 41 analiza matematyczna kolokwium 2002-01-16
02 01 11 12 01 41 analiza matematyczna kolokwium 2002 01 16id 3883
Gewert Skoczylas Analiza matematyczna 2 Kolokwia i egzaminy
M Gewert Z Skoczylas Analiza Matematyczna 1 Kolokwia i Egzaminy
Gewert Skoczylas Analiza matematyczna 2 Kolokwia i egzaminy
Kolokwium z analizy, Studia, Informatyka, Semestr II, Analiza Matematyczna cz.II
analiza2poprawa, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 2, Analiza matematyczna, kolokwia egzaminy,
analiza matematyczna kolokwia
Analiza matematyczna 1 Kolokwia i egzaminy M Gewert Z Skoczylas
Gewert Skoczylas Analiza matematyczna 2 Kolokwia i egzaminy
Analiza matematyczna 1 Kolokwia,Egzaminy

więcej podobnych podstron