3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
8.04.2000
r.
___________________________________________________________________________
1
Zadanie 1.
Zdarzenia A, B, C
V SDUDPL QLH]DOH*QH
&]\ QDVWSXMFH WU]\ GRGDWNRZH ZDUXQNL
(I)
( )
7
.
0
Pr
=
A
,
( )
6
.
0
Pr
=
B
,
( )
5
.
0
Pr
=
C
,
(
)
(
)
49
.
0
\
Pr
=
∩
C
B
A
(II)
( )
0
Pr
=
B
(III) Zdarzenia C
A
∩
i
B
A
∩
V QLH]DOH*QH
V ZDUXQNDPL Z\VWDUF]DMF\PL QD WR DE\ ]DFKRG]LáD WDN*H QLH]DOH*QRü ]HVSRáRZD
]GDU]H A, B, C?
Z\ELHU] RGSRZLHG( QDMWUDIQLHM FKDUDNWHU\]XMF ZZ ZDUXQNL
(A)
W\ONR ZDUXQHN ,, MHVW ZDUXQNLHP Z\VWDUF]DMF\P
(B) war
XQNL ,, L ,,, ND*G\ ] RVREQD WR ZDUXQNL Z\VWDUF]DMFH
(C)
ZDUXQNL , L ,,, ND*G\ ] RVREQD WR ZDUXQNL Z\VWDUF]DMFH
(D)
ZDUXQNL , L ,, ND*G\ ] RVREQD WR ZDUXQNL Z\VWDUF]DMFH
(E)
ND*G\ ] WU]HFK ZDUXQNyZ MHVW ZDUXQNLHP Z\VWDUF]DMF\P
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
8.04.2000
r.
___________________________________________________________________________
2
Zadanie 2.
: XUQLH MHVW NXO ELDá\FK L NXO F]DUQ\FK /RVXMHP\ SR MHGQHM NXOL EH] ]ZUDFDQLD GR
PRPHQWX D* ZUyG Z\ORVRZDQ\FK NXO ]QDMG VL NXOH RE\GZX NRORUyZ -DND MHVW
ZDUWRü RF]HNLZDQD LORFL Z\ORVRZDQ\FK NXO F]DUQ\FK"
(A)
9
17
(B)
9
13
(C) 2
(D)
6
13
(E)
6
7
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
8.04.2000
r.
___________________________________________________________________________
3
Zadanie 3.
1LH]DOH*QH ]PLHQQH ORVRZH X, Y PDM LGHQW\F]Q\ UR]NáDG Z\NáDGQLF]\ ] ZDUWRFL
RF]HNLZDQ
µ
:DUXQNRZD ZDUWRü RF]HNLZDQD
{ }
[
]
M
Y
X
Y
X
E
=
+
,
min
, gdzie M
MHVW SHZQ GRGDWQL OLF]E Z\QRVL
(A)
M
⋅
24
6
(B)
M
⋅
24
7
(C)
M
⋅
24
8
(D)
M
⋅
24
9
(E)
*DGQD ] SRZ\*V]\FK RGSRZLHG]L QLH MHVW GREUD ER WR ]DOH*\ MHV]F]H RG
µ
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
8.04.2000
r.
___________________________________________________________________________
4
Zadanie 4.
6NXWHF]QRü VWU]HOFD PLHU]\P\ SUDZGRSRGRELHVWZHP WUDILHQLD Z FHO SRMHG\QF]\P
VWU]DáHP Z SHZQ\FK RGSRZLHGQLR Z\VWDQGDU\]RZDQ\FK ZDUXQNDFK : SHZQHM
SRSXODFML VWU]HOFyZ ]Dáy*P\ GOD XSURV]F]HQLD L* MHVW WR SRSXODFMD QLHVNRF]RQD
UR]NáDG VNXWHF]QRFL MHVW MHGQRVWDMQ\ QD SU]HG]LDOH
( )
1
,
0
.
:\ELHUDP\ SU]\SDGNRZHJR VWU]HOFD NWyU\ QDVWSQLH RGGDMH VWU]DáyZ =DNáDGDP\
L* SUDZGRSRGRELHVWZR WUDILHQLD Z NROHMQHM SUyELH QLH ]DOH*\ RG Z\QLNX SUyE
poprzednich.
2ND]XMH VL *H Z\EUDQ\ VWU]HOHF ZH ZV]\VWNLFK -FLX SUyEDFK WUDILá Z FHO 3URVLP\ JR
o oddanie 11-
JR VWU]DáX 3UDZGRSRGRELHVWZR L* L W\P UD]HP WUDIL Z\QRVL
(A)
12
11
(B)
12
10
(C)
11
10
(D)
13
12
(E)
14
12
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
8.04.2000
r.
___________________________________________________________________________
5
Zadanie 5.
=DNáDGDMF *H
10
2
1
,
,
,
X
X
X
MHVW SUyEN SURVW ] UR]NáDGX Z\NáDGQLF]HJR R
JVWRFL
( )
≤
>
⋅
=
−
0
0
0
1
x
dla
x
dla
e
x
f
x
µ
µ
µ
SU]HSURZDG]RQR HVW\PDFM SDUDPHWUX
µ
PHWRG QDMZLNV]HM ZLDU\JRGQRFL L
RWU]\PDQR ZDUWRü HVW\PDWRUD
( )
µ
ENW
UyZQ 1DMZLNV]D ]DREVHUZRZDQD Z
SUyEFH ZDUWRü
{ }
i
i
X
max
Z\QLRVáD D G]LHZLü SR]RVWDá\FK E\áR FLOH PQLHMV]\FK
od 100.
2ND]DáR VL MHGQDN *H Z LVWRFLH ]DREVHUZRZDQH SU]H] QDV ZDUWRFL
10
2
1
,
,
,
X
X
X
VWDQRZL SUyEN ] XFLWHJR UR]NáDGX Z\NáDGQLF]HJR
{
}
100
,
min
i
i
Y
X
=
,
gdzie zmienne losowe
i
Y
SRFKRG] ] UR]NáDGX Z\NáDGQLF]HJR R JVWRFL
µ
f
:DUWRü
HVW\PDWRUD QDMZLNV]HM ZLDU\JRGQRFL
( )
µ
ENW
SR XZ]JOGQLHQLX PRG\ILNDFML
]DáR*H Z\QRVL
(A) 60
(B) 55.555...
(C) 50
(D) 45
(E)
SRGDQH LQIRUPDFMH QLH SR]ZDODM REOLF]\ü
( )
µ
ENW
przy zmodyfikowanych
]DáR*HQLDFK
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
8.04.2000
r.
___________________________________________________________________________
6
Zadanie 6.
Niech
n
X
X
X
,
,
,
2
1
EG]LH FLJLHP QLH]DOH*Q\FK ]PLHQQ\FK ORVRZ\FK R
LGHQW\F]Q\P UR]NáDG]LH MHGQRVWDMQ\P QD SHZQ\P SU]HG]LDOH
(
)
2
1
,
θ
θ
:VSyáF]\QQLN
korelacji liniowej
{ }
{ }
=
=
i
n
i
i
n
i
X
X
Corr
,
1
,
1
max
,
min
wynosi:
(A) 0
(B)
n
1
(C)
1
2
+
n
(D)
1
1
2
+
+
n
n
(E)
2
1
n
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
8.04.2000
r.
___________________________________________________________________________
7
Zadanie 7.
3U]HSURZDG]DP\ ZUyG Z\ORVRZDQ\FK RVyE DQNLHW QD GHOLNDWQ\ WHPDW $QNLHWRZDQD RVRED
U]XFD NRVWN GR JU\ L Z ]DOH*QRFL RG Z\QLNX U]XWX NRVWN Z\QLNX WHJR QLH ]QD DQNLHWHU
SRGDMH RGSRZLHGQLR ]DNRGRZDQ RGSRZLHG( QD S\WDQLH
Ä&]\ ]GDU]\áR VL 3DQX3DQL Z URNX GDü áDSyZN Z NODV\F]QHM IRUPLH SLHQL*QHM
SU]HNUDF]DMF NZRW ]á"´
3U]\MPLMP\ L* LQWHUHVXMFD QDV FHFKD X przyjmuje ZDUWRFL
•
1
=
X
MHOL RGSRZLHG( EU]PL Ä7$.´
•
0
=
X
MHOL RGSRZLHG( EU]PL Ä1,(´
Pierwszych 100 osób udziela odpowiedzi
100
1
,
,
Z
Z
]JRGQLH ] UHJXá
•
-HOL Z\QLN U]XWX NRVWN WR OLF]ED RF]HN UyZQD OXb 4 , to:
i
i
X
Z
=
•
MHOL Z\QLN U]XWX NRVWN WR OLF]ED RF]HN UyZQD OXE WR
i
i
X
Z
−
=
1
1DVWSQ\FK RVyE udziela odpowiedzi
200
101
,
,
Z
Z
]JRGQLH ] UHJXá
•
MHOL Z\QLN U]XWX NRVWN WR OLF]ED RF]HN UyZQD OXE to:
i
i
X
Z
=
•
MHOL Z\QLN U]XWX NRVWN WR OLF]ED RF]HN UyZQD OXE WR
i
i
X
Z
−
=
1
'OD XSURV]F]HQLD ]DNáDGDP\ *H DQNLHWRZDQ\FK RVyE WR SUyED SURVWD ] KLSRWHW\F]QHM
SRSXODFML R QLHVNRF]RQHM OLF]HEQRFL D SRG]LDá QD SRGSUyE\ MHVW WDN*H FDáNRZLFLH ORVRZ\
,QWHUHVXMF\ QDV SDUDPHWU WHM SRSXODFML WR RF]\ZLFLH
(
)
1
Pr
=
=
X
q
X
: Z\QLNX SU]HSURZDG]RQHM DQNLHW\ G\VSRQXMHP\ UHGQLPL ] SRGSUyEHN
∑
=
⋅
=
100
1
1
100
1
i
i
Z
Z
,
∑
=
⋅
=
200
101
2
100
1
i
i
Z
Z
Estymator parametru
X
q
X]\VNDQ\ 0HWRG 1DMZLHNV]HM :LDURJRGQRFL
2
2
1
1
0
ˆ
Z
a
Z
a
a
q
X
⋅
+
⋅
+
=
MHVW HVW\PDWRUHP QLHREFL*RQ\P -HJR SDUDPHWU\ OLF]ERZH
(
)
2
1
0
,
,
a
a
a
Z\QRV]
(A)
(
) (
)
2
,
1
,
0
,
,
2
1
0
−
=
a
a
a
(B)
(
) (
)
1
,
2
,
0
,
,
2
1
0
−
=
a
a
a
(C)
(
)
(
)
2
3
2
3
2
1
2
1
0
,
,
,
,
−
=
a
a
a
(D)
(
)
(
)
2
3
2
3
2
1
2
1
0
,
,
,
,
−
=
a
a
a
(E)
(
)
(
)
2
1
2
1
2
1
2
1
0
,
2
,
,
,
−
−
=
a
a
a
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
8.04.2000
r.
___________________________________________________________________________
8
Zadanie 8.
5R]ZD*P\ GZLH QLH]DOH*QH SUyENL SURVWH
1
,
1
2
,
1
1
,
1
,
,
,
n
X
X
X
∼
(
)
2
,
σ
µ
N
2
,
2
2
,
2
1
,
2
,
,
,
n
X
X
X
∼
(
)
2
2
,
σ
µ
N
Niech:
∑
=
=
1
1
,
1
1
1
1
n
i
i
X
n
X
,
∑
=
=
2
1
,
2
2
2
1
n
i
i
X
n
X
, oraz
2
2
~
2
1
2
2
1
1
n
n
X
n
X
n
X
+
⋅
+
=
Estymator parametru
2
σ
postaci:
(
)
(
)
−
⋅
+
−
⋅
=
∑
∑
=
=
2
1
1
2
,
2
1
2
,
1
2
~
2
1
~
n
i
i
n
i
i
X
X
X
X
c
S
,
MHVW QLHREFL*RQ\ MHOL VWDáD c wynosi:
(A)
1
2
1
2
1
−
+
=
n
n
c
(B)
2
1
2
1
2
1
−
+
=
n
n
c
(C)
2
1
2
1
−
+
=
n
n
c
(D)
2
1
1
n
n
c
+
=
(E)
1
1
2
1
−
+
=
n
n
c
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
8.04.2000
r.
___________________________________________________________________________
9
Zadanie 9.
5R]ZD*DP\ ]DGDQLH WHVWRZDQLD QD SRGVWDZLH SRMHG\QF]HM REVHUZDFML X, hipotezy
prostej:
:
0
H
X
SRFKRG]L ] UR]NáDGX R JVWRFi
0
f ,
przeciwko prostej alternatywie:
:
1
H
X
SRFKRG]L ] UR]NáDGX R JVWRFL
1
f .
:LDGRPR *H GOD ND*GHJR
( )
1
,
0
∈
α
QDMPRFQLHMV]\ WHVW QD SR]LRPLH LVWRWQRFL
α
, o
postaci:
•
odrzucamy
0
H
MHOL
( )
α
k
k
X
=
>
,
•
nie odrzucamy
0
H
MHOL
( )
α
k
k
X
=
≤
,
ma moc
(
)
β
−
1
VSHáQLDMF ]DOH*QRü
( )
2
1
1
α
α
β
β
=
−
=
−
.
*VWRü
0
f dana jest wzorem:
( ) ( )
≤
>
+
=
0
0
0
1
1
2
0
x
dla
x
dla
x
x
f
:REHF WHJR JVWRü
1
f dana jest (dla dodatnich x) wzorem:
(A)
( )
2
2
1
1
2
1
x
+
⋅
(B)
(
)
2
3
1
1
2
1
x
+
⋅
(C)
(
)
2
2
1
2
x
+
(D)
(
)
2
2
1
1
x
+
(E)
(
)
3
1
2
x
+
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
8.04.2000
r.
___________________________________________________________________________
10
Zadanie 10.
Na podstawie próbki prostej
n
X
X
X
,
,
,
2
1
] UR]NáDGX QRUPDOQHJR
(
)
2
,
σ
µ
N
z
nieznanymi parametrami
µ
i
2
σ
EXGXMHP\ SU]HG]LDá XIQRFL
(
)
2
2
,
σ
σ
dla wariancji
QD SR]LRPLH XIQRFL 0HWRG Z\ELHUDP\ PR*OLZLH SURVW NRU]\VWDMF QD SU]\NáDG
] SU]\EOL*HQLD UR]NáDGX
2
k
χ
UR]NáDGHP QRUPDOQ\P
(
)
k
k
N
2
,
.
:]JOGQ\ EáG HVW\PDFML SU]HG]LDáRZHM PLHU]\P\ ]D SRPRF LORUD]X
2
2
2
2
σ
σ
σ
⋅
−
=
R
.
Rozmiar próbki n, dla którego
( )
01
.
0
≈
R
E
, wynosi:
(A) 100
(B) 500
(C) 2500
(D) 75000
(E) 1000000
8ZDJD SUDZLGáRZD RGSRZLHG( SRGDQD MHVW Z JUXE\P SU]\EOL*HQLX
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
8.04.2000
r.
___________________________________________________________________________
11
Egzamin dla Aktuariuszy z 8 kwietnia 2000 r.
Prawdopodo
ELHVWZR L VWDW\VW\ND
Arkusz odpowiedzi
*
,PL L QD]ZLVNR . / 8 & = 2 ' 3 2 : , ( ' = ,
..................................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
2GSRZLHG( Punktacja
♦
1 D
2 C
3 A
4 A
5 B
6 B
7 C
8 E
9 E
10 D
*
2FHQLDQH V Z\áF]QLH RGSRZLHG]L XPLHV]F]RQH Z Arkuszu odpowiedzi.
♦
:\SHáQLD .RPLVMD (J]DPLQDF\MQD