WM
Z3/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3
1
Z3/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3
Z3/3.1. Zadanie 3
Wyznaczyć analitycznie reakcje we wszystkich przegubach rzeczywistych A, B i C układu trójprzegu-
bowego przedstawionego na rysunku Z3/3.1. Siła czynna o wartości 18,0 kN w dół jest przyłożona w prze-
gubie rzeczywistym B.
A
B
C
2,0
2,0
3,0
2,0
1,
0
4,
0
2,0
3,0
8,0 kN
12,0 kN
16,0 kN
6,0 kN
[m]
I
II
18,0 kN
Rys. Z3/3.1. Układ trójprzegubowy
Z3/3.2. Analiza kinematyczna układu trójprzegubowego
Układ trójprzegubowy składa się z dwóch tarcz sztywnych mających razem sześć stopni swobody.
Wszystkie trzy przeguby rzeczywiste A, B i C odbierają razem także sześć stopni swobody. Został więc
spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (2.4).
Wszystkie trzy przeguby rzeczywiste A, B i C nie leżą na jednej prostej. Został tym samym spełniony
warunek dostateczny geometrycznej niezmienności.
Ponieważ układ trójprzegubowy przedstawiony na rysunku Z3/3.1 spełnia warunek konieczny i dosta-
teczny geometrycznej niezmienności jest więc on układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyzna-
czalnym.
Z3/3.3. Analiza statyczna układu trójprzegubowego
W przegubie rzeczywistym jak wiadomo działa jedna reakcja. Wiemy o niej tylko to, że kierunek jej
musi przejść przez przegub rzeczywisty. W takim przypadku rozkładamy reakcję w przegubie rzeczywistym
na dwie składowe: poziomą i pionową. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i C przed-
stawia rysunek Z3/3.2.
Pionową składową reakcji w przegubie rzeczywistym A najwygodniej możemy wyznaczyć z równania
sumy momentów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu C. Dodatni
moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pionowa składowa reakcji w prze-
gubie rzeczywistym A ma więc wartość
M
C
=
V
A
⋅
9,0−12,0⋅7,0−8,0⋅3,0−16,0⋅2,0−6,0⋅4,0−18,0⋅5,0=0
V
A
=
28,22 kN
(Z3/3.1)
Reakcja ma zwrot zgodny z założonym.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z3/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3
2
A
B
C
2,0
2,0
3,0
2,0
1,0
4,0
2,
0
3,
0
8,0 kN
12,0 kN
16,0 kN
6,0 kN
V
A
H
A
H
C
V
C
[m]
X
Y
I
II
18,0 kN
Rys. Z3/3.2. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i C
Pionową składową reakcji w przegubie rzeczywistym C najwygodniej możemy wyznaczyć z równania
sumy momentów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu A. Dodatni
moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pionowa składowa reakcji w prze-
gubie rzeczywistym C ma więc wartość
M
A
=−
V
C
⋅
9,012,0⋅2,0−8,0⋅3,016,0⋅7,0−6,0⋅4,018,0⋅4,0=0
V
C
=
17,78 kN
(Z3/3.2)
Reakcja ma zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na cały
układ trójprzegubowy na oś pionową Y. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Rów-
nanie to ma postać
Y =V
A
V
C
−
12,0−16,0−18,0=28,2217,78−46,0=0
.
(Z3/3.3)
Równanie równowagi (Z3/3.3) zostało spełnione możemy więc stwierdzić, że pionowe składowe reakcji
w przegubach A i C zostały wyznaczone poprawnie.
Rysunek Z3/3.3 przedstawia założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i B działające na
tarczę sztywną numer I. Poziomą składową reakcji w przegubie A wyznaczymy z równania sumy momentów
wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer I względem punktu B. Dodatni moment będzie jak
wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pozioma składowa reakcji w przegubie rzeczywistym
A ma więc wartość
M
B
I
=−
H
A
⋅
5,0V
A
⋅
4,08,0⋅2,0−12,0⋅2,0=0
−
H
A
⋅
5,028,22⋅4,08,0⋅2,0−12,0⋅2,0=0
H
A
=
20,98 kN
.
(Z3/3.4)
Reakcja ma zwrot zgodny z założonym.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z3/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3
3
A
B
2,
0
3,
0
8,0 kN
12,0 kN
V
A
H
A
X
Y
B
C
1,
0
4,
0
16,0 kN
6,0 kN
H
C
V
C
[m]
V
B
(I)
H
B
(I)
I
II
V
B
(II)
H
B
(II)
B
V
B
(I)
H
B
(I)
V
B
(II)
H
B
(II)
18,0 kN
2,0
2,0
3,0
2,0
Rys. Z3/3.3. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A, B i C działające na tarcze sztywne numer I i II
Rysunek Z3/3.3 przedstawia założone zwroty składowych reakcji w przegubach B i C działające na
tarczę sztywną numer II. Poziomą składową reakcji w przegubie C wyznaczymy z równania sumy
momentów wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer II względem punktu B. Dodatni moment
będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pozioma składowa reakcji w przegubie
rzeczywistym C ma więc wartość
M
B
II
=
H
C
⋅
5,0−V
C
⋅
5,016,0⋅3,06,0⋅1,0=0
H
C
⋅
5,0−17,78⋅5,016,0⋅3,06,0⋅1,0=0
H
C
=
6,98 kN
.
(Z3/3.5)
Reakcja ma zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na cały
układ trójprzegubowy na oś poziomą X. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Rów-
nanie to, zgodnie z rysunkiem Z3/3.2, ma postać
X =H
A
−
H
C
−
8,0−6,0=20,98−6,98−14,0=0
.
(Z3/3.6)
Równanie równowagi (Z3/3.3) zostało spełnione możemy więc stwierdzić, że pionowe składowe reakcji
w przegubach A i C zostały wyznaczone poprawnie.
Rysunek Z3/3.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach
rzeczywistych A i C. Składowe tych reakcji oraz siły czynne działające na cały układ trójprzegubowy
znajdują się w równowadze.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z3/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3
4
A
B
C
2,0
2,0
3,0
2,0
1,
0
4,
0
2,0
3,0
8,0 kN
12,0 kN
16,0 kN
6,0 kN
[m]
I
II
28,22 kN
17,78 kN
20,98 kN
6,98 kN
18,0 kN
Rys. Z3/3.4. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A i C
Aby wyznaczyć poziomą składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer I zas-
tosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś X. Jako dodatni przyjmiemy
kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z3/3.3 składowa ta ma wartość
X
I
=−
H
B
I
H
A
−
8,0=0
−
H
B
I
20,98−8,0=0
H
B
I
=
12,98 kN
.
(Z3/3.7)
Reakcja ma zwrot zgodny z założonym.
Aby wyznaczyć pionową składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer I zas-
tosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś Y. Jako dodatni przyjmiemy
kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem Z3/3.3 składowa ta ma wartość
Y
I
=
V
B
I
V
A
−
12,0=0
V
B
I
28,22−12,0=0
V
B
I
=−
16,22 kN
.
(Z3/3.8)
Reakcja ma zwrot przeciwny do założonego.
Aby wyznaczyć poziomą składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer II
zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś X. Jako dodatni
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z3/3.3 składowa ta ma wartość
X
II
=
H
B
II
−
H
C
−
6,0=0
H
B
II
−
6,98−6,0=0
H
B
II
=
12,98 kN
.
(Z3/3.9)
Reakcja ma zwrot zgodny z założonym.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z3/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3
5
A
B
2,0
2,0
2,0
3,0
8,0 kN
12,0 kN
I
28,22 kN
20,98 kN
12,98 kN
16,22 kN
B
C
3,0
2,0
1,0
4,0
16,0 kN
6,0 kN
[m]
II
17,78 kN
6,98 kN
1,78 kN
12,98 kN
1,78 kN
12,98 kN
B
12,98 kN
16,22 kN
18,0 kN
Rys. Z3/3.5. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A, B i C działające na tarcze
sztywne numer I i II
Aby wyznaczyć pionową składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer II
zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś Y. Jako dodatni przyj-
miemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem Z3/3.3 składowa ta ma wartość
Y
II
=
V
B
II
V
C
−
16,0=0
V
B
II
17,78−16,0=0
V
B
II
=−
1,78kN
.
(Z3/3.10)
Reakcja ma zwrot przeciwny do założonego.
W celu sprawdzenia obliczeń składowych reakcji w przegubie B zastosujemy równania sumy rzutów
wszystkich sił działających na przegub rzeczywisty B na osie: poziomą X i pionową Y. Jako dodatnie przyj-
miemy kierunki zgodne ze zwrotami osi X i Y. Zgodnie z rysunkiem Z3/3.3 równanie sumy rzutów na oś
X ma postać
X
B
=
H
B
I
−
H
B
II
=
12,98−12,98=0
.
(Z3/3.11)
Zgodnie z rysunkiem Z3/3.5 równanie sumy rzutów na oś Y ma postać
Y
II
=−
V
B
I
−
V
B
II
−
18,0=−
−
16,22
−
−
1,78
−
18,0=0
.
(Z3/3.12)
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z3/3. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 3
6
Równania równowagi (Z3/3.11) i (Z3/3.12) zostały spełnione, możemy więc stwierdzić, że poziome i piono-
we składowe reakcji w przegubie B zostały wyznaczone poprawnie.
Rysunek Z3/3.5 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczy-
wistych A, B i C działające na tarcze sztywne numer I i II. Składowe tych reakcji oraz siły czynne działające
na każdą z tarcz sztywnych znajdują się w równowadze.
Dr inż. Janusz Dębiński
Document Outline