Z8/3. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 3
1
Z8/3. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 3
Z8/3.1. Zadanie 3
Rysunek Z8/3.1 przedstawia wykresy naprężenia normalnego σX oraz stycznego τXZ w pięciu punktach przekroju prostokątnego. W punktach tych należy wyznaczyć naprężenia i kierunki główne.
1
σ
τ
X
27,0
XZ
0,0
2
13,5
2,813
Y=Ygl
3=sc
0,0
3,750
4
13,5
2,813
0,0
5
27,0
[MPa]
[MPa]
Z=Zgl
Rys. Z8/3.1. Wykresy naprężeń normalnego i stycznego w przekroju prostokątnym X
27,0 MPa
27,0 MPa
Z
Rys. Z8/3.2. Stan naprężenia w punkcie 1
Z8/3.2. Naprężenia i kierunek główny w punkcie 1
Na podstawie wykresów naprężeń normalnego i stycznego przedstawionych na rysunku Z8/3.1
możemy odczytać następujące wartości naprężeń
=0,0 MPa
Z
,
(Z8/3.1)
=27,0 MPa ,
(Z8/3.2)
X
=0,0 MPa .
(Z8/3.3)
XZ
Naprężenia te tworzą tensor naprężenia w postaci Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/3. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 3
2
=[27,0 0 0
0
0 0] .
(Z8/3.4)
0
0 0
Graficzną interpretację tensora (Z8/3.4) przedstawia rysunek Z8/3.2. Ponieważ naprężenie styczne τXZ jest równe zero możemy stwierdzić, że układ ZX jest układem osi głównych a naprężenie normalne σX jest naprężeniem głównym. Tensor naprężenia (Z8/3.4) jest więc także tensorem w układzie osi głównych.
Rysunek Z8/3.3 przedstawia graficzną interpretację naprężeń głównych w punkcie 1.
X=Xgl
27,0 MPa
27,0 MPa
Z=Zgl
Rys. Z8/3.3. Naprężenia główne w punkcie 1
Z8/3.3. Naprężenia i kierunek główny w punkcie 2
Na podstawie wykresów naprężeń normalnego i stycznego przedstawionych na rysunku Z8/3.1
możemy odczytać następujące wartości naprężeń
=0,0 MPa
Z
,
(Z8/3.5)
=13,5 MPa ,
(Z8/3.6)
X
=2,813 MPa .
(Z8/3.7)
XZ
Naprężenia te tworzą tensor naprężenia w postaci
=[ 13,5 0 2,813
0
0
0 ] .
(Z8/3.8)
2,813 0
0
2,813 MPa
X
13,5 MPa
13,5 MPa
2,813 MPa
Z
Rys. Z8/3.4. Stan naprężenia w punkcie 2
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/3. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 3
3
Graficzną interpretację tensora (Z8/3.8) przedstawia rysunek Z8/3.4. Zgodnie ze wzorem (8.9) tangens podwójnego kąta nachylenia osi głównych wynosi 2⋅2,813
tg 2⋅ =
=−0,4167 .
(Z8/3.9)
gl
0,0−13,5
Kąt nachylenia osi głównych wynosi więc
=−11,31 ° .
(Z8/3.10)
gl
Zgodnie z wzorami (8.10) i (8.11) naprężenia główne wynoszą 0,013,5 0,0−13,5
=
⋅ cos2⋅−11,31 °2,813⋅ sin 2⋅−11,31°=−0,5627 MPa , (Z8/3.11)
Zgl
2
2
0,013,5
0,0−13,5
=
−
⋅ cos2⋅−11,31 °−2,813⋅ sin 2⋅−11,31°=14,06 MPa .
(Z8/3.12)
Xgl
2
2
Jako sprawdzenie zastosujemy wzór (8.12) 0,013,5
=
±
22,8132=
.
(Z8/3.13)
1/2
0,0−13,5
2
2
{ 14,06 MPa
−0,5627 MPa
Pierwszy niezmiennik stanu naprężenia (8.23) w układzie ZX wynosi I =0,013,5=13,5 MPa
1
.
(Z8/3.14)
Pierwszy niezmiennik stanu naprężenia (8.23) w układzie osi głównych wynosi I =14,06−0,5627=13,5 MPa 1
.
(Z8/3.15)
Jak więc widać oba niezmienniki są sobie równe. Drugi niezmiennik stanu naprężenia (8.24) w układzie ZX
wynosi
I =0,0⋅13,5−2,8132=−7,913 MPa 2 .
(Z8/3.16)
2
Drugi niezmiennik stanu naprężenia (8.24) w układzie osi głównych wynosi I =14,06⋅
2
−0,5627=−7,912 MPa 2 .
(Z8/3.17)
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/3. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 3
4
Jak więc widać oba niezmienniki są sobie prawie równe. Tensor naprężenia w układzie osi głównych będzie miał postać
=[14,06 0 0
0
0
0
] .
(Z8/3.18)
0
0 −0,5627
Rysunek Z8/3.5 przedstawia graficzną interpretację naprężeń głównych w punkcie 2.
0,5627 MPa
X
14,06
X
MPa
gl
14,06 MPa
11,310
Z
0,5627 MPa
Zgl
Rys. Z8/3.5. Naprężenia główne w punkcie 2
Z8/3.4. Naprężenia i kierunek główny w punkcie 3
Na podstawie wykresów naprężeń normalnego i stycznego przedstawionych na rysunku Z8/3.1
możemy odczytać następujące wartości naprężeń
=0,0 MPa
Z
,
(Z8/3.19)
=0,0 MPa ,
(Z8/3.20)
X
=3,750 MPa .
(Z8/3.21)
XZ
Naprężenia te tworzą tensor naprężenia w postaci
=[ 0 0 3,750
0
0
0 ] .
(Z8/3.22)
3,750 0
0
Graficzną interpretację tensora (Z8/3.22) przedstawia rysunek Z8/3.6. Stan naprężenia na rysunku Z8/3.6
jest czystym ścinaniem, w którym wartość bezwzględna naprężeń głównych równa się wartości bezwzględnej naprężenia stycznego. Osie główne są nachylone pod kątem 450 w stosunku do układu ZX.
Wykorzystując mechanizm na rysunku 8.14 b) graficzna interpretacja naprężeń głównych będzie taka jak przedstawiona na rysunku Z8/3.7.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/3. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 3
5
3,750 MPa
X
3,750 MPa
Z
Rys. Z8/3.6. Stan naprężenia w punkcie 3
3,750 MPa
3,750 MPa
X
Pa
3,750 M
3,750 M
P
450
a
Z
Rys. Z8/3.7. Naprężenia główne w punkcie 3
Tensor naprężenia w układzie osi głównych będzie miał postać
=[3,750 0 0
0
0
0
] .
(Z8/3.23)
0
0 −3,750
W tensorze (Z8/3.23) nie będziemy określać, które naprężenie główne ma indeks Zgl a które indeks Xgl.
Z8/3.5. Naprężenia i kierunek główny w punkcie 4
Na podstawie wykresów naprężeń normalnego i stycznego przedstawionych na rysunku Z8/3.1
możemy odczytać następujące wartości naprężeń
=0,0 MPa
Z
,
(Z8/3.24)
=−13,5 MPa ,
(Z8/3.25)
X
=2,813 MPa .
(Z8/3.26)
XZ
Naprężenia te tworzą tensor naprężenia w postaci
=[−13,5 0 2,813
0
0
0 ] .
(Z8/3.27)
2,813 0
0
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/3. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 3
6
2,813 MPa
X
13,5 MPa
13,5 MPa
2,813 MPa
Z
Rys. Z8/3.8. Stan naprężenia w punkcie 4
Graficzną interpretację tensora (Z8/3.27) przedstawia rysunek Z8/3.8. Zgodnie ze wzorem (8.9) tangens podwójnego kąta nachylenia osi głównych wynosi 2⋅2,813
tg 2⋅
gl =
=0,4167 .
(Z8/3.28)
0,0−−13,5
Kąt nachylenia osi głównych wynosi więc
=11,31 ° .
(Z8/3.29)
gl
Zgodnie z wzorami (8.10) i (8.11) naprężenia główne wynoszą 0,0−13,5 0,0−−13,5
=
⋅ cos 2⋅11,31°2,813⋅ sin 2⋅11,31 °=0,5627 MPa , (Z8/3.30)
Zgl
2
2
0,0−13,5
0,0−−13,5
Xgl=
−
⋅ cos 2⋅11,31°−2,813⋅ sin 2⋅11,31 °=−14,06 MPa .
(Z8/3.31)
2
2
Jako sprawdzenie zastosujemy wzór (8.12) 0,0−13,5
=
±
22,8132=
.
(Z8/3.32)
1/2
0,0−−13,5
2
2
{0,5627 MPa
−14,06 MPa
Pierwszy niezmiennik stanu naprężenia (8.23) w układzie ZX wynosi I =0,0−13,5=−13,5 MPa
1
.
(Z8/3.33)
Pierwszy niezmiennik stanu naprężenia (8.23) w układzie osi głównych wynosi I =−14,060,5627=13,5 MPa 1
.
(Z8/3.34)
Jak więc widać oba niezmienniki są sobie równe. Drugi niezmiennik stanu naprężenia (8.24) w układzie ZX
wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/3. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 3
7
I =0,0⋅
2
−13,5−2,8132=−7,913 MPa 2 .
(Z8/3.35)
Drugi niezmiennik stanu naprężenia (8.24) w układzie osi głównych wynosi I =
2
−14,06⋅0,5627=−7,912 MPa 2 .
(Z8/3.36)
Jak więc widać oba niezmienniki są sobie prawie równe. Tensor naprężenia w układzie osi głównych będzie miał postać
=[−14,06 0 0
0
0
0
] .
(Z8/3.37)
0
0 0,5627
Rysunek Z8/3.9 przedstawia graficzną interpretację naprężeń głównych w punkcie 4.
0,5627 MPa
Xgl
X
14,06 MPa
14,06 MPa
0,562
11,310
7 MP
Z
Zgl
a
Rys. Z8/3.9. Naprężenia główne w punkcie 4
X
27,0 MPa
27,0 MPa
Z
Rys. Z8/3.10. Stan naprężenia w punkcie 5
X=Xgl
27,0 MPa
27,0 MPa
Z=Zgl
Rys. Z8/3.11. Naprężenia główne w punkcie 5
Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/3. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 3
8
X
X=Xgl
1
27,0 MPa
27,0 MPa
27,0 MPa
27,0 MPa
Z
Z=Z
a
gl
P
2,813 MPa
0,5627 M
X
X
2
1
X
13,5 MPa
13,5 MPa
4,06 MPa
gl
14
2,813 MPa
,06 MPa
11,310
aP
Z
Z
Zgl
3,7
0,5627 M
5
Pa
3,750 MPa
0 M
X
Pa
3,750 M
3
X
Pa
3,7
3,750 MPa
50 M
3,750 M
Pa
450
Z
Z
0,5627
2,813 MPa
M
Xgl
P
X
a
X
4
13,5 MPa
13,5 MPa
14,06 MPa
2,813 MPa
14,06 MPa
0,562
Z
11,310
7 MP
Z
Zgl
a
X
X=Xgl
5
27,0 MPa
27,0 MPa
27,0 MPa
27,0 MPa
Z
Z=Zgl
Rys. Z8/3.12. Rozkład naprężeń głównych na wysokości przekroju prostokątnego Dr inż. Janusz Dębiński
Z8/3. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA – ZADANIE 3
9
Z8/3.6. Naprężenia i kierunek główny w punkcie 5
Na podstawie wykresów naprężeń normalnego i stycznego przedstawionych na rysunku Z8/3.1
możemy odczytać następujące wartości naprężeń
=0,0 MPa
Z
,
(Z8/3.38)
=−27,0 MPa ,
(Z8/3.39)
X
=0,0 MPa .
(Z8/3.40)
XZ
Naprężenia te tworzą tensor naprężenia w postaci
=[−27,0 0 0
0
0 0] .
(Z8/3.41)
0
0 0
Graficzną interpretację tensora (Z8/3.41) przedstawia rysunek Z8/3.10. Ponieważ naprężenie styczne τXZ jest równe zero możemy stwierdzić, że układ ZX jest układem osi głównych a naprężenie normalne σX jest naprężeniem głównym. Tensor naprężenia (Z8/3.41) jest więc także tensorem w układzie osi głównych.
Rysunek Z8/3.11 przedstawia graficzną interpretację naprężeń głównych w punkcie 5.
Z8/3.7. Rozkład naprężeń głównych na wysokości przekroju Rysunek Z8/3.12 przedstawia rozkład naprężeń głównych na wysokości przekroju prostokątnego. Jak widać na tym rysunku główne naprężenia rozciągające od punktu 1 do punktu 5 obracają się zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Ponadto ich wartości bezwzględne są coraz mniejsze. Naprężenia główne ściska-jące także kręcą się zgodnie z ruchem wskazówek zegara a ich wartości bezwzględne rosną od punktu 1 do punktu 5.
Dr inż. Janusz Dębiński