WM

Z9/3. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 3

1

Z9/3. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 3

Z9/3.1. Zadanie 3

Rysunek Z9/3.1 przedstawia wykresy sił przekrojowych w belce prostej. Belka jest wykonana z drewna i ma przekrój prostokątny. Jest on pochylony o kąt 13 stopni w stosunku do pionu. Przedstawia to rysunek Z9/3.2. Zaprojektować przekrój pręta przyjmując, że h=2,9∙b, a następnie wykonać wykres naprę-

żenia normalnego σX w najbardziej obciążonym przekroju oraz w przekroju nad podporą C. Wytrzymałość drewna, z którego wykonana jest belka wynosi 35 MPa.

12,0 kN

24,0 kN/m

A

C

D

B

51,0 kN

33,0 kN

6,0

2,0

2,0

[m]

51,0

12,0

T(x) [kN]

2,760

3,240

21,0

,0

M(x) [kNm]

0,0

18

0

7

24,0

0,

63,3

2,760

3,240

Rys. Z9/3.1. Wykresy sił przekrojowych w belce b

h

h=2,9∙b

Y=Ygl

130

Z=Zgl

Rys. Z9/3.2. Położenie przekroju pręta w stosunku do płaszczyzny obciążenia Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z9/3. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 3

2

Z9/3.2. Zaprojektowanie przekroju pręta Na podstawie wykresów sił przekrojowych możemy stwierdzić, że wartość bezwzględna ekstre-malnego momentu zginający na długości belki wynosi M EXT=63,37 kNm=6337 kNcm .

(Z9/3.1)

Y

Wartości bezwzględne składowych tego momentu po kierunkach osi głównych wynoszą

∣ M Y∣=6337⋅ cos18°=6027 kNcm , (Z9/3.2)

∣ M Z∣=6337⋅ sin18°=1958 kNcm .

(Z9/3.3)

Zgodnie z rysunkiem Z9/3.2 główne momenty bezwładności przekroju prostokątnego wynoszą b⋅ h 3

J = J =

,

(Z9/3.4)

Y

Ygl

12

h⋅ b 3

J

.

(Z9/3.5)

Z = J Zgl = 12

Przekrój prostokątny posiada dwie osie symetrii więc wskaźniki wytrzymałości względem osi Y dla włókien dolnych i górnych są takie same i wynoszą b⋅ h 3

12

b⋅ h 2

W =

=

.

(Z9/3.6)

Y

h

6

2

Analogicznie wskaźniki wytrzymałości względem osi Z dla włókien lewych i prawych są sobie równe i wynoszą

h⋅ b 3

12

h⋅ b 2

W =

=

.

(Z9/3.7)

Z

b

6

2

Wykorzystując zależność pomiędzy wysokością a szerokością przekroju prostokątnego otrzymamy następujące wskaźniki wytrzymałości

b⋅2,9⋅ b2

W =

=1,402⋅ b 3 ,

(Z9/3.8)

Y

6

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z9/3. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 3

3

2,9⋅ b⋅ b 2

W =

=0,4833⋅ b 3 .

(Z9/3.9)

Z

6

Ekstremalne naprężenia normalne zgodnie ze wzorem (9.10) wynoszą 6175

1426

4404 2951 7355

 X =



=



=

1,402⋅ b 3

0,4833⋅ b 3

b 3

b 3

b 3

.

(Z9/3.10)

Wytrzymałość drewna wynosi

kN

R=35 MPa=3,5

.

(Z9/3.11)

cm 2

Otrzymamy więc warunek wytrzymałościowy w postaci 7355

kN

≤3,5

b 3

cm 2 .

(Z9/3.12)

Szerokość przekroju musi więc spełniać warunek 3,5⋅ b 3≥7355 kNcm ,

(Z9/3.13)

Który możemy zapisać w postaci

b 3≥2101 cm 3 .

(Z9/3.14)

Ostatecznie szerokość przekroju musi spełniać warunek b≥12,81 cm .

(Z9/3.15)

Przyjmiemy szerokość równą 13,0 cm natomiast wysokość przekroju prostokątnego wynosi h=2,9⋅13,0=37,7 cm .

(Z9/3.16)

Przekrój ten przedstawia rysunek Z9/3.3. Wartości głównych momentów bezwładności przekroju belki wynoszą

13,0⋅37,73

J = J =

=58050 cm 4 ,

(Z9/3.17)

Y

Ygl

12

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z9/3. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 3

4

13,0

Y=Ygl

37,7

Z=Z

[cm]

gl

Rys. Z9/3.3. Wymiary przekroju prostokątnego 6337 kNcm 130

1426 kNcm

Y=Ygl

6175 kNcm

130

Z=Zgl

Rys. Z9/3.4. Składowe momentu zginającego po kierunkach osi głównych w najbardziej obciążonym przekroju 37,7⋅13,03

J = J

=

=6902 cm 4 .

(Z9/3.18)

Z

Zgl

12

Z9/3.3. Wykres naprężenia normalnego w najbardziej obciążonym przekroju Najbardziej obciążonym przekrojem jest ten przekrój, w którym moment zginający ma wartość ekstremalną. Moment ten rozciąga dolną część pręta. Rysunek Z9/3.4 przedstawia składowe wypadkowego wektora momentu zginającego po kierunkach osi głównych. Moment zginający MY jest dodatni natomiast MZ ujemny. Ich wartości wynoszą więc

M =6337⋅ cos13°=6175 kNcm , (Z9/3.19)

Y

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z9/3. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 3

5

M =−6337⋅ sin 13°=−1426 kNcm .

(Z9/3.20)

Z

Funkcja naprężenia normalnego, zgodnie z (9.7) ma postać

−1426

6175

 =−

⋅ y

⋅ z=0,2066⋅ y 0,1064⋅ z .

(Z9/3.21)

X

6902

58050

Równanie osi obojętnej ma postać

0,2066⋅ y0,1064⋅ z=0 .

(Z9/3.22)

Możemy je przedstawić w postaci

0,1064⋅ z=−0,2066⋅ y .

(Z9/3.23)

Ostatecznie równanie osi obojętnej będzie miało postać z=−1,942⋅ y .

(Z9/3.24)

Kąt nachylenia osi obojętnej do osi Y=Ygl wynosi więc

= arc tan−1,942=−62,75 ° .

(Z9/3.25)

Położenie osi obojętnej przedstawia rysunek Z9/3.5. Jak widać na nim najdalej oddalonymi punktami od osi obojętnej są punkty 1 i 2. Naprężenie normalne w tych punktach wynosi kN

1=−0,2066⋅6,50,1064⋅18,85=3,349

=33,49 MPa

X

,

(Z9/3.26)

cm 2

kN

2=−0,2066⋅−6,50,1064⋅−18,85=−3,349

=−33,49 MPa

X

.

(Z9/3.27)

cm 2

Wykres naprężenia normalnego w przekroju odnosimy na prostej prostopadłej do osi obojętnej. Wykres ten przedstawia rysunek Z9/3.6. Jak widać jest to wykres liniowy a wartości bezwzględne największych naprężeń normalnych nie przekraczają wytrzymałości 35 MPa.

Z9/3.4. Wykres naprężenia normalnego w przekroju nad podporą C

Zgodnie z wykresem momentu zginającego w przekroju nad podporą C działa moment zginający rozciągający górną część belki a jego wartość bezwzględna wynosi

∣ MY∣=24,0 kNm=2400 kNcm .

(Z9/3.28)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z9/3. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 3

6

2

62,750

Y=Ygl

1

Z=Zgl

Rys. Z9/3.5. Położenie osi obojętnej w najbardziej obciążonym przekroju 2

62,750

6337 kNcm

130

Y=Ygl

[MP

a]

33,49

1

Z=Zgl

33,49

σX

Rys. Z9/3.6. Wykres naprężenia normalnego w najbardziej obciążonym przekroju Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z9/3. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 3

7

130 2338 kNcm

Y=Ygl

2400 kNcm

539,9 kNcm

130

Z=Zgl

Rys. Z9/3.7. Składowe momentu zginającego po kierunkach osi głównych w przekroju nad podporą C

Rysunek Z9/3.7 przedstawia składowe wypadkowego wektora momentu zginającego po kierunkach osi głównych w przekroju nad podporą C. Moment zginający MY jst ujemny natomiast MZ dodatni. Ich wartości wynoszą więc

M =−2400⋅ cos13°=−2338 kNcm , (Z9/3.29)

Y

M =2400⋅ sin 13°=539,9 kNcm .

(Z9/3.30)

Z

Funkcja naprężenia normalnego, zgodnie z (9.7) ma postać 539,9

−2338

 =−

⋅ y

⋅ z=−0,07822⋅ y−0,04028⋅ z .

(Z9/3.31)

X

6902

58050

Równanie osi obojętnej ma postać

−0,07822⋅ y −0,04028⋅ z=0 .

(Z9/3.32)

Możemy je przedstawić w postaci

0,04028⋅ z=−0,07822⋅ y .

(Z9/3.33)

Ostatecznie równanie osi obojętnej będzie miało postać z=−1,942⋅ y .

(Z9/3.34)

Kąt nachylenia osi obojętnej do osi Y=Ygl wynosi więc

= arc tan−1,942=−62,75° .

(Z9/3.35)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z9/3. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 3

8

2

62,750

Y=Ygl

1

Z=Zgl

Rys. Z9/3.8. Położenie osi obojętnej w przekroju nad podporą C

2

62,750

130 2400 kNcm

Y=Ygl

[MP

a]

12,68

1

Z=Zgl

12,68

σX

Rys. Z9/3.9. Wykres naprężenia normalnego w przekroju nad podporą C

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z9/3. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 3

9

Jak widać wartość ta jest w przybliżeniu równa wartości wyznaczonej ze wzoru (Z9/3.11). Położenie osi obojętnej przedstawia rysunek Z9/3.8. Jak widać na nim najdalej oddalonymi punktami przekroju od osi obojętnej są punkty 1 i 2. Naprężenie normalne w tych punktach wynosi kN

1=−0,07822⋅6,5−0,04028⋅18,85=−1,268

=−12,68 MPa

X

,

(Z9/3.36)

cm 2

kN

2

X =−0,07822⋅−6,5−0,04028⋅−18,85 =1,268

=12,68 MPa .

(Z9/3.37)

cm 2

Rysunek Z9/3.9 przedstawia wykres naprężenia normalnego w przekroju nad podporą C.

Dr inż. Janusz Dębiński

Document Outline

• Z9/3.1. Zadanie 3
• Z9/3.2. Zaprojektowanie przekroju pręta
• Z9/3.3. Wykres naprężenia normalnego w najbardziej obciążonym przekroju
• Z9/3.4. Wykres naprężenia normalnego w przekroju nad podporą C