Dynamika układów hamiltonowskich
UKŁAD DYNAMICZNY
Z punktu widzenia fizyki N-wymiarowym układem dynamicznym jest każdy układ fizyczny,
którego:
1. stan opisany jest N zmiennymi
− oznaczmy je x
1
, x
2
, ..., x
N
(UWAGA! W tym momencie
nie mówimy nic o fizycznym sensie zmiennych x
1
, x
2
, ..., x
N
. Jak pokażemy dalej rozważając
na przykład dynamikę cząstki w wielowymiarowej jamie potencjału, jedne z tych zmiennych
będą składowymi położenia, a inne składowymi pędu tej cząstki. W innych układach mogą to
być zupełnie inne wielkości fizyczne np. temperatura, ciśnienie, ładunek itp.)
2. ewolucja, w więc czasowe zmiany zmiennych determinujących stan, opisana jest układem
N równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego:
dx
1
/dt = f
1
(x
1
, x
2
, ..., x
N
),
(1.)
dx
2
/dt = f
2
(x
1
, x
2
, ..., x
N
),
...
dx
N
/dt = f
N
(x
1
, x
2
, ..., x
N
),
UKŁAD HAMILTONOWSKI
Wśród układów dynamicznych jednymi z najstarszych i najlepiej zbadanych są układy
hamiltonowskie.
Dla układów tych N jest parzyste: N=2n; gdzie n jest dowolną liczbą naturalną.
n zmiennych, oznaczanych zazwyczaj jako q
1
, q
2
, ..., q
n
, określanych jest jako położenia.
uogólnione.
n pozostałych zmiennych, oznaczanych jako p1, p2, ..., pn, określanych jest jako pędy
uogólnione.
Ewolucja układu hamiltonowskiego opisana jest N równaniami, mającymi postać:
dq
1
/dt =
∂H(q
1
, q
2
, ...q
n
, p
1
, p
2
, ..., p
n
)/
∂p
1
(2.)
dq
2
/dt =
∂H(q
1
, q
2
, ...q
n
, p
1
, p
2
, ..., p
n
)/
∂p
2
...
dq
n
/dt =
∂H(q
1
, q
2
, ...q
n
, p
1
, p
2
, ..., p
n
)/
∂p
n
dp
1
/dt =
− ∂H(q
1
, q
2
, ...q
n
, p
1
, p
2
, ..., p
n
)/
∂q
1
dp
2
/dt =
− ∂H(q
1
, q
2
, ...q
n
, p
1
, p
2
, ..., p
n
)/
∂q
2
...
dp
n
/dt =
− ∂H(q
1
, q
2
, ...q
n
, p
1
, p
2
, ..., p
n
)/
∂q
n
Mamy tu więc n równań opisujących ewolucję położeń i n równań opisujących ewolucję
pędów.
Funkcja H(q
1
, q
2
, ..., q
n
, p
1
, p
2
, ...,p
n
), której znajomość pozwala na sformułowanie równań
ruchu układu, nazywana jest jego hamiltonianem.
Zmienne q
k
i p
k
nazywane są w skrócie zmiennymi sprzężonymi.
CZĄSTKA W TRÓJWYMIAROWEJ JAMIE POTENCJAŁU
Rozważmy najprostszy przykład hamiltonowskiego układu dynamicznego. Jest nim cząstka o
masie m poruszająca się bez tarcia w 3-wymiarowej jamie potencjału:
(.3.)
U(q
1
, q
2
, q
3
),
gdzie q
1
, q
2
, q
3
oznaczają współrzędne kartezjańskie (x, y, z) położenia cząstki, a U oznacza
jej energię potencjalną. Sprawdźmy, że istotnie równania ruchu można w tym przypadku
sprowadzić do podanej wyżej postaci.
Siła F
r
działająca na cząstkę związana jest z funkcją energii potencjalnej U równaniem:
(.4.)
U
grad
F
−
=
r
Napiszmy równanie to nieco dokładniej:
k-ta składowa siły działającej na cząstkę równa jest:
(5.)
F
k
=
− ∂U/∂q
k
.
Tak więc
k-tą składową newtonowskiego równania ruchu:
(6.)
m a
k
=
F
k
gdzie
a
k
= d
v
k
/d
t oznacza k-tą składową przyspieszenia, można zapisać jako:
(7.)
m dv
k
/d
t =
− ∂U/∂q
k.
Jeśli przypomnimy sobie, że związek między pędem a prędkością dany jest wzorem:
(8.) m
v
k
=
p
k
to równanie to przechodzi w
(9.) d
p
k
/d
t =
− ∂U/∂q
k
Energia kinetyczna cząstki wynosi:
(10.)
K = mv
1
2
/2 +
mv
2
2
/2 +
mv
3
2
/2
co można zapisać jako:
(11.)
K(p
1
,
p
2
,
p
3
) =
p
1
2
/2
m + p
2
2
/2
m + p
3
2
/2
m,
skąd
k-tą składową prędkości cząstki można określić jako:
(12.) d
q
k
/d
t = p
k
/
m=
∂K/dp
k
.
Podsumowując powyższe fakty łatwo zauważyć, że jeśli zdefiniujemy funkcję Hamiltona
H(q
1
,
q
2
,
q
3
,
p
1
,
p
2
,
p
3
) jako:
(13.)
H(q
1
,
q
2
,
q
3
,
p
1
,
p
2
,
p
3
) =
K(p
1
,
p
2
,
p
3
) +
U(q
1
,
q
2
,
q
3
),
a więc jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej cząstki, to równania (9) i (12) można
zapisać jako:
(14.) d
q
k
/d
t =
∂H/∂p
k
,
d
p
k
/d
t =
− ∂H/∂q
k
,
k = 1, 2, 3,
a więc mają one żądaną postać charakterystyczną dla układów hamiltonowskich.
CAŁKI RUCHU UKŁADÓW HAMILTONOWSKICH
Cechą układów hamiltonowskich jest to, iż podczas ich ewolucji określonej równaniami
ruchu wartość funkcji Hamiltona
H(q
1
,
q
2
, ...
q
n
,
p
1
,
p
2
, ...,
p
n
) pozostaje stała. Aby przekonać
się o tym, sprawdźmy wartość jej pochodnej po czasie:
(15.) d
H/dt =
∑(∂H/∂q
k
)(d
q
k
/d
t) +
∑(∂H/∂p
k
)(d
p
k
/d
t) =
∑(∂H/∂q
k
)(
∂H/∂p
k
) +
∑ (∂H/∂p
k
)(-
∂H/∂q
k
) = 0.
Jeśli więc, tak jak jest to w przypadku cząstki w jamie potencjału, funkcja Hamiltona oznacza
całkowitą energię układu, to podczas ewolucji określonej równaniami ruchu energia ta
pozostaje stała
− jest całką ruchu. Z fizycznego punktu widzenia, jeśli funkcja Hamiltona
układu jest jego całkowitą energią, to układ podczas swej ewolucji zachowuje jej wartość, jest
więc, jak mówimy, układem zachowawczym.