2. Dynamika układów liniowych
Str.
16
2
DYNAMIKA UKŁADÓW LINIOWYCH
Podstawową formą opisu dynamiki elementów automatyki są równania róŜniczkowe. Inną
formą opisu dynamiki układów liniowych jest transmitancja operatorowa wynikająca z zastoso-
wania transformacji Laplace’a do równań róŜniczkowych liniowych. RównieŜ charakterystyka
czasowa będąca rozwiązaniem równania róŜniczkowego dla określonego sygnału wymuszającego
reprezentuje właściwości dynamiczne. Specjalną formą wyraŜania dynamiki są charakterystyki
częstotliwościowe. Opisują one parametry sygnału sinusoidalnego przechodzącego przez badany
element (amplitudę i przesunięcie fazowe).
2.1
Zwyczajne równania róŜniczkowe
Szczególne znaczenie w automatyce mają zwyczajne równania róŜniczkowe liniowe o stałych
współczynnikach, które mają rozwiązania analityczne (znane są metody rozwiązywania tych rów-
nań). ChociaŜ rzeczywiste obiekty regulacji są w róŜnym stopniu nieliniowe, jednak w wielu
przypadkach zupełnie wystarcza opis przybliŜony oparty na przyjęciu przybliŜonych równaniach
róŜniczkowych (zastosowanie linearyzacji).
W teorii regulacji wyjątkowe miejsce zajmują równania róŜniczkowe liniowe o stałych
współczynnikach. W ogólnym przypadku równanie róŜniczkowe liniowe ma postać:
)
t
(
x
b
dt
)
t
(
x
d
b
)
t
(
y
dt
)
t
(
dy
a
dt
)
t
(
y
d
a
o
m
m
m
1
n
n
n
+
+
=
+
+
+
L
L
(2.1)
Współczynniki:
o
1
1
m
m
o
1
1
n
n
b
,
b
,
b
,
b
,
1
a
,
a
,
a
,
a
L
L
−
−
=
+
są stałe, a rząd (m) najwyŜszej
pochodnej sygnału wejściowego x(t) nie jest większy od rzędu (n) najwyŜszej pochodnej sygnału
wyjściowego y(t), m
≤
n.
2.2
Transmitancja operatorowa
Transmitancję operatorową G(s) otrzymuje się przez zastosowanie przekształcenia Laplace’a
do równania róŜniczkowego liniowego o stałych współczynnikach. W celu wykonanie transfor-
maty Laplace’a mnoŜymy równanie (2.1) przez funkcję wykładniczą (
st
e
−
), następnie wykonu-
jemy całkowanie po czasie w granicach od t = 0 do t = ∞. Otrzymamy:
=
+
+
+
∫
∫
∫
∞
−
∞
−
∞
−
0
st
0
st
1
0
st
n
n
n
dt
e
)
t
(
y
dt
e
dt
)
t
(
dy
a
dt
e
dt
)
t
(
y
d
a
L
∫
∫
∞
−
∞
−
+
+
=
0
st
o
0
st
m
m
m
dt
e
)
t
(
x
b
dt
e
dt
)
t
(
x
d
b
L
(2.2)
2. Dynamika układów liniowych
Str.
17
Zakłada się, Ŝe wartości początkowe sygnałów oraz ich pochodnych są równe zero.
0
)
0
(
x
,
0
t
d
)
t
(
x
d
,
,
0
t
d
)
t
(
x
d
0
t
0
t
1
m
1
m
=
=
=
=
=
−
−
L
(2.3)
0
)
0
(
y
,
0
t
d
)
t
(
y
d
,
,
0
t
d
)
t
(
y
d
0
t
0
t
1
n
1
n
=
=
=
=
=
−
−
L
(2.4)
Po zastosowania przekształcenia Laplace’a występujące w równaniu (2.2) funkcje czasowe
x(t), y(t) przechodzą w funkcje operatorowe x(s), y(s). Zamiast symbolu pochodnej (d/dt) pojawi
się operator Laplace’a (s). Pierwszej pochodnej czasowej odpowiada mnoŜenie funkcji operato-
rowej przez „s”, drugiej pochodnej odpowiada mnoŜenie przez
2
s , pochodnej rzędu n - odpowia-
da mnoŜenie przez
n
s , i.t.d.. WyraŜenia odpowiadające warunkom początkowym są równe zero
na mocy przyjętych załoŜeń (2.3), (2.4) o ich zerowych wartościach.
)
s
(
x
b
)
s
(
x
s
b
)
s
(
y
)
s
(
y
s
a
)
s
(
y
s
a
o
m
m
1
n
n
+
+
=
+
+
+
L
L
Po uporządkowaniu otrzymamy równanie operatorowe (2.5)
)
s
(
x
)
b
s
b
s
b
(
)
s
(
y
)
1
s
a
s
a
(
o
1
m
m
1
n
n
+
+
+
=
+
+
+
L
L
(2.5)
Z równania (2.5) obliczamy operatorowy sygnał wyjściowy y(s), - równanie (2.6) oraz trans-
mitancję operatorową G(s), - równanie (2.7).
)
s
(
x
)
s
(
G
)
s
(
x
1
s
a
s
a
b
s
b
s
b
)
s
(
y
1
n
n
o
1
m
m
⋅
=
+
+
+
+
+
+
=
L
L
(2.6)
1
s
a
s
a
b
s
b
s
b
)
s
(
x
)
s
(
y
)
s
(
G
1
n
n
o
1
m
m
+
+
+
+
+
+
=
=
L
L
(2.7)
Równanie (2.7) przyjmujemy jako definicję transmitancji operatorowej.
Transmitancja operatorowa G(s) jest to iloraz operatorowego sygnału wyjściowego y(s) do opera-
torowego sygnału wejściowego x(s) i jest równa ilorazowi wielomianów operatorowych utworzo-
nych z prawej i lewej strony równania róŜniczkowego po wstawieniu operatora Lapace’a „s” w
miejsce pochodnych czasowych. Transmitancja operatorowa stanowi operatorową formę zapisu
równania róŜniczkowego; występują w niej współczynniki równania oraz operator Laplace’a w
potędze wskazującej na rząd pochodnej czasowej sygnału. Dzięki wprowadzeniu pojęcia transmi-
tancji moŜna nadać matematyczne znaczenie schematom blokowym układów regulacji. Wewnątrz
bloku wpisuje się transmitancję przyporządkowaną temu blokowi.
)
s
(
x
)
s
(
G
)
s
(
y
⋅
=
(2.8)
Sygnał wyjściowy y(s) w postaci operatorowej jest równy iloczynowi transmitancji
operatorowej G(s) i operatorowego sygnału wejściowego x(s). Przykłady obliczania
transmitancji podano w rozdziale 3 przy omawianiu elementów automatyki.
2. Dynamika układów liniowych
Str.
18
2.3
Łączenie elementów automatyki - transmitancja wypadkowa
Z pośród róŜnych połączeń elementów automatyki moŜna wyróŜnić trzy podstawowe: połą-
czenie szeregowe, połączenie równoległe i połączenie tworzące układ ze sprzęŜeniem zwrotnym.
Dla tych połączeń obliczamy transmitancję zastępczą (wypadkową).
2.3.1
Połączenie szeregowe elementów
Połączenie szeregowe dwóch elementów o transmitancjach:
)
s
(
G
i
)
s
(
G
2
1
polega na tym, Ŝe
sygnał wyjściowy z pierwszego elementu jest podawany na wejście drugiego elementu, (rys. 2.1).
Z równań:
)
s
(
x
)
s
(
G
)
s
(
x
1
1
⋅
=
)
s
(
x
)
s
(
G
)
s
(
y
1
2
⋅
=
otrzymamy
)
s
(
x
)
s
(
G
)
s
(
G
)
s
(
y
1
2
⋅
⋅
=
)
s
(
G
)
s
(
G
)
s
(
x
)
s
(
y
)
s
(
G
2
1
⋅
=
=
(2.9)
Transmitancja zastępcza połączenia szeregowego jest równa iloczynowi transmitancji połą-
czonych elementów.
2.3.2
Połączenie równoległe elementów
Połączenie równoległe
dwóch elementów (rys. 2.2) realizowane jest w ten sposób, Ŝe ten sam
sygnał wejściowy x jest podawany na wejścia dwóch elementów o transmitancjach
,
)
s
(
G
i
)
s
(
G
2
1
a ich sygnały wyjściowe są algebraicznie dodawane (ze znakiem + lub - ) w su-
matorze. Dla dodawania sygnałów
)
s
(
y
,
)
s
(
y
2
1
w sumatorze otrzymujemy układ równań:
)
s
(
x
)
s
(
G
)
s
(
y
1
1
⋅
=
)
s
(
x
)
s
(
G
)
s
(
y
2
2
⋅
=
)
s
(
y
)
s
(
y
)
s
(
y
2
1
+
=
z którego obliczamy transmitancję zastępczą G(s) połączenia równoległego:
[
]
)
s
(
x
)
s
(
G
)
s
(
G
)
s
(
y
2
1
⋅
+
=
)
s
(
G
)
s
(
G
)
s
(
x
)
s
(
y
)
s
(
G
2
1
+
=
=
(2.10)
x(s)
x
1
(s)
y(s)
G
1
(s)
G
2
(s)
.
G
1
(s) G
2
(s)
x(s)
y(s)
Rys. 2.1. Połączenie szeregowe elementów automatyki
2. Dynamika układów liniowych
Str.
19
Transmitancja zastępcza połączenia równoległego jest równa sumie transmitancji połączonych
elementów.
2.3.3
Układ z ujemnym sprzęŜeniem zwrotnym
Połączenie elementów tworzące układ z ujemnym sprzęŜeniem zwrotnym (rys. 2.3) opisują
następujące równania:
)
s
(
y
)
s
(
x
)
s
(
y
1
e
−
=
)
s
(
y
)
s
(
G
)
s
(
y
e
1
⋅
=
)
s
(
y
)
s
(
G
)
s
(
y
2
1
⋅
=
Obliczamy sygnał y(s).
[
]
)
s
(
y
)
s
(
G
)
s
(
x
)
s
(
G
)
s
(
y
2
1
−
⋅
=
[
]
)
s
(
x
)
s
(
G
)
s
(
y
)
s
(
G
)
s
(
G
1
1
2
1
⋅
=
+
)
s
(
x
)
s
(
G
)
s
(
G
1
)
s
(
G
)
s
(
y
2
1
1
⋅
+
=
Transmitancja zastępcza układu z ujemnym sprzęŜeniem zwrotnym jest równa:
)
s
(
G
)
s
(
G
1
)
s
(
G
)
s
(
x
)
s
(
y
)
s
(
G
2
1
1
+
=
=
(2.11)
Rys. 2.2. Połączenie równoległe elementów automatyki
+
+
y
1
(s)
y(s)
G
1
(s)
G
2
(s)
+
G
1
(s)
G
2
(s)
x(s)
y(s)
x(s)
x(s)
y
2
(s)
x(s)
Rys.2.3. Układ z ujemnym sprzęŜeniem zwrotnym
_
x(s)
y(s)
G
1
(s)
1 +
_____________
G
2
(s)
G
1
(s)
.
x(s)
y
1
(s)
y(s)
G
1
(s)
G
2
(s)
y
e
(s)
2. Dynamika układów liniowych
Str.
20
2.3.4
Układ z dodatnim sprzęŜeniem zwrotnym
Układ z dodatnim sprzęŜeniem zwrotnym
(rys. 2.4) opisują następujące równania:
)
s
(
y
)
s
(
x
)
s
(
y
1
e
+
=
)
s
(
y
)
s
(
G
)
s
(
y
e
1
⋅
=
)
s
(
y
)
s
(
G
)
s
(
y
2
1
⋅
=
Transmitancja zastępcza układu z dodatnim sprzęŜeniem zwrotnym jest równa.
)
s
(
G
)
s
(
G
1
)
s
(
G
)
s
(
x
)
s
(
y
)
s
(
G
2
1
1
−
=
=
(2.12)
2.3.5
Przestawienie węzłów zaczepowych i sumacyjnych względem bloku
ZłoŜone schematy blokowe moŜna przekształcać i upraszczać. Do podstawowych przekształ-
ceń naleŜy zaliczyć:
przestawienie węzła zaczepowego względem bloku i przestawienie sumatora
względem bloku. Obowiązujące zasady tych przekształceń przedstawiono w tabeli 2.1.
+
x(s)
y(s)
G
1
(s)
1
-
_____________
G
2
(s)
G
1
(s)
.
x(s)
y
1
(s)
y(s)
G
1
(s)
G
2
(s)
y
e
(s)
Rys.2.4. Układ z dodatnim sprzęŜeniem zwrotnym
2. Dynamika układów liniowych
Str.
21
Układ wyj
ś
ciowy
Układ równowa
Ŝ
ny
Rodzaj
operacji
P
rz
e
s
ta
w
ie
n
ie
w
ę
z
ła
z
a
c
z
e
p
o
w
e
g
o
P
rz
e
s
ta
w
ie
n
ie
w
ę
z
ła
s
u
m
a
c
y
jn
e
g
o
x
x
x
x
1
x
x
1
x
1
x
1
x
2
x
2
x
2
x
2
x
x
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
1
G
__
1
G
__
Tabela 2.1 Przestawienie w
ę
zła zaczepowego i sumacyjnego wzgl
ę
dem bloku
2. Dynamika układów liniowych
Str.
22
2.3.6
Zadania – schematy blokowe
Zadanie 2.1
Przekształcić schemat blokowy przedstawiony na rys. 2.5 do prostszej postaci.
R o z w i ą z a n i e i a n a l i z a z a d a n i a 2 . 1 .
Układ zawiera: 5 bloków o transmitancjach:
p
1
K
G
=
,
i
2
T
1
G
=
,
s
1
G
3
=
,
T
1
G
4
=
,
s
1
G
5
=
;
połączenia szeregowe, jedno połączenie równoległe, dwa połączenia ze sprzęŜeniem zwrotnym
ujemnym. Linia sygnałowa od punktu zaczepowego do sumatora nie zawierająca bloku ma do-
myślną transmitancję
1
G
6
=
. Kolejne etapy przekształcania schematu blokowego przedstawiono
na poniŜszych rysunkach.
y
w
y
e
K
p
x
r
_
_
y
_
1
s
_
1
s
T
i
__
1
1
T
__
1
1
1
G
1
G
2
G
3
G
4
G
5
G
6
G
6
G
6
Rys. 2.5a. Wstawienie domyślnych bloków o transmitancji
1
G
6
=
i rozdzielenie
dwóch obwodów sprzęŜeń zwrotnych przez przesunięcie węzła
zaczepowego na linii sygnału „y”.
Rys. 2.5. Rozwinięty schemat blokowy układu regulacji
y
w
y
e
K
p
x
r
_
_
y
_
1
s
_
1
s
T
i
__
1
1
T
__
G
1
G
2
G
3
G
4
G
5
2. Dynamika układów liniowych
Str.
23
y
w
y
e
K
p
x
r
_
_
y
1
Ts
__
1
1
T
i
s
__
1
1 +
G
9
G
8
Rys. 2.5c. Redukcja połączenia równoległego:
s
T
1
1
G
G
G
i
7
6
9
+
=
+
=
.
y
w
y
e
K
p
x
r
_
y
1
T
i
s
__
1
1 +
Ts
Ts
1
1
1
1
⋅
+
G
1
G
9
G
10
Rys. 2.5d. Redukcja wewnętrznego obwodu sprzęŜenia zwrotnego:
Ts
1
1
G
G
1
G
G
8
6
8
10
+
=
⋅
+
=
Rys. 2.5b. Redukcja dwóch połączeń szeregowych:
s
T
1
G
G
G
i
3
2
7
=
⋅
=
,
Ts
1
G
G
G
5
4
8
=
⋅
=
.
y
w
y
e
K
p
x
r
_
_
y
1
Ts
__
T
i
s
__
1
G
7
G
8
2. Dynamika układów liniowych
Str.
24
Wynik końcowy:
Zadanie 2.2
Obliczyć transmitancję wypadkową układu przedstawionego na rys. 2.6.
R o z w i ą z a n i e i a n a l i z a z a d a n i a 2 . 2 .
Splecione układy moŜna rozdzielić przez przestawienie węzłów sumacyjnych, lub przez uło-
Ŝ
enie układu równań opisujących wszystkie elementy i węzły sumacyjne i rozwiązać te równania
tak, aby obliczyć sygnał wyjściowy jako funkcję sygnału wejściowego. Zostaną przedstawione
obie metody. Przestawienie węzłów sumacyjnych pokazano na rys.2.6a.
Rys. 2.5e. Redukcja połączenia szeregowego.
y
w
y
e
_
y
1
1
1
1
+
⋅
+
Ts
)
s
T
(
K
i
p
Rys. 2.6. Schemat blokowy zawierający połączenie równoległe splecio-
ne obwodem sprzęŜenia zwrotnego
_
y
Ts
__
1
1
Ts
__
x
x
1
x
2
x
3
x
3
= x + x
1
- y
x
2
= x
1
- y
y
w
y
)
s
T
(
K
)
Ts
(
s
T
)
s
T
(
K
i
p
i
i
p
1
1
1
+
+
+
⋅
+
Rys. 2.5f. Redukcja sprzęŜenia zwrotnego:
2. Dynamika układów liniowych
Str.
25
Układ na rys.2.6a jest równowaŜny układowi z ras. 2.6, poniewaŜ sygnał
3
x w obu układach
jest taki sam.
Metoda upraszczania schematu blokowego przez rozwiązywania równań.
Piszemy równania elementów dla schematu z rys. 2.6:
x
Ts
1
x
1
⋅
=
y
x
x
1
2
−
=
x
x
x
2
3
+
=
3
x
Ts
1
y
⋅
=
Obliczamy:
y
x
Ts
Ts
1
x
)
y
x
Ts
1
(
x
)
y
x
(
x
x
x
1
2
3
−
⋅
+
=
+
−
⋅
=
+
−
=
+
=
)
y
x
Ts
Ts
1
(
Ts
1
x
Ts
1
y
3
−
⋅
+
⋅
=
⋅
=
y
)
Ts
(
x
)
Ts
1
(
y
)
Ts
(
)
Ts
(
⋅
−
⋅
+
=
⋅
⋅
x
)
1
Ts
(
y
)
1
Ts
(
)
Ts
(
⋅
+
=
⋅
+
⋅
x
y
)
Ts
(
=
⋅
Wynik końcowy:
x
Ts
1
y
⋅
=
_
y
Ts
__
1
1
Ts
__
x
1
x
4
x
3
x
3
= x
1
+ x - y
x
4
= x
1
+ x
x
Rys.2.6a. Rozdzielenie połączenia równoległego od układu
ze sprzęŜeniem zwrotnym.
Ts
__
1
1 +
1
1
+
Ts
x
x
4
y
x
y
Ts
__
1
Rys. 2.6b. Końcowe etapy przekształceń: redukcja połączenia równoległe-
go i układu ze sprzęŜeniem zwrotnym, redukcja połączenia sze-
regowego i końcowy wynik.
2. Dynamika układów liniowych
Str.
26
2.4 Charakterystyki czasowe
Charakterystyka czasowa wyraŜa nazywana dynamiczne właściwości elementu automatyki.
Definicja charakterystyki czasowej została wstępnie podana w rozdziale 1.3, (rys. 1.8). Charakte-
rystykę czasową moŜna zmierzyć lub obliczyć.
2.4.1
zaleŜności między charakterystykami czasowymi
JeŜeli znana jest transmitancja G(s) elementu automatyki oraz sygnał wymuszający, wówczas
z równania
)
s
(
x
)
s
(
G
)
s
(
y
⋅
=
obliczamy operatorowy sygnał wyjściowy y(s), następnie przy po-
mocy tablic funkcji operatorowych znajdujemy równanie charakterystyki czasowej y(t).
Jako sygnały wymuszające najczęściej stosuje się: skok jednostkowy
x(t) =
1(t), sygnał liniowo narastający
)
t
(
t
)
t
(
x
1
⋅
=
, lub sygnał impulsowy opisany impulsową
funkcją delta Diraca x(t) =
δ
(t), a odpowiadające im charakterystyki oznaczamy przez: h(t) – cha-
rakterystyka dla wymuszenia skokowego , f(t) – dla wymuszenia liniowego, g(t) – dla wymusze-
nia impulsowego. Pomiędzy charakterystykami h(t), f(t), g(t) zachodzą poniŜej przedstawione za-
leŜności:
Równanie charakterystyki impulsowej g(t)
obliczamy dla sygnału wymuszającego x(t) =
δ
(t), x(s) = 1, otrzymamy:
)
s
(
G
)
s
(
g
=
(2.13)
[
]
)
s
(
G
1
L
)
t
(
g
−
=
(2.14)
Charakterystyka czasowa impulsowa g(t) jest równa odwrotnej transformacji Laplace’a
transmitancji operatorowej G(s).
Rys. 2.7. Charakterystyka czasowa
x(s)
y(s)
x(t)
y(t)
t
t
G(s)
∆
x
2. Dynamika układów liniowych
Str.
27
Równanie charakterystyki skokowej h(t)
obliczamy dla sygnału wymuszającego x(t) =
1
(t), czyli x(s) = 1/s, otrzymamy:
)
s
(
g
s
1
)
s
(
G
s
1
)
s
(
h
⋅
=
⋅
=
.
(2.15)
Dzieleniu funkcji operatorowej g(s) przez „s” odpowiada całkowanie funkcji czasowej g(t),
wobec tego:
∫
=
t
0
dt
)
t
(
g
)
t
(
h
(2.16)
Charakterystyka czasowa skokowa h(t) jest równa całce charakterystyki impulsowej g(t).
Równanie charakterystyki f(t) dla wymuszenia liniowego obliczamy dla sygnału wymusza-
jącego x(t) = t
1(t), x(s) = 1/s
2
. Wstawiając tę funkcję do równania (2.8) i uwzględniając równanie
(2.15) otrzymamy:
)
s
(
h
s
1
2
s
1
)
s
(
G
)
s
(
f
⋅
=
⋅
=
(2.17)
Charakterystyka czasowa f(t) dla wymuszenia liniowego jest równa całce charakterystyki
skokowej h(t).
∫
=
t
0
dt
)
t
(
h
)
t
(
f
(2.18)
ZaleŜności pomiędzy charakterystykami moŜna równieŜ wyrazić przy pomocy pochodnych
)
t
(
f
t
d
d
)
t
(
h
=
(2.19)
)
t
(
h
t
d
d
)
t
(
g
=
(2.20)
JeŜeli znana jest charakterystyka impulsowa g(t), wówczas odpowiedź elementu na dowolne wy-
muszenie x(t) moŜemy obliczyć z twierdzenia o splocie.
∫
τ
τ
−
τ
=
t
0
d
)
t
(
x
)
(
g
)
t
(
y
(2.21)
Przykłady obliczania charakterystyk czasowych z transmitancji podano w rozdziale 3 przy
omawianiu elementów automatyki.
2. Dynamika układów liniowych
Str.
28
2.5 Charakterystyki częstotliwościowe
2.5.1
Definicja charakterystyki częstotliwościowej
JeŜeli na wejście elementu liniowego zostanie wprowadzony sygnał sinusoidalny
)
t
sin(
x
)
t
(
x
o
ω
=
o pulsacji
ω
i amplitudzie
o
x wówczas sygnał wyjściowy będzie sumą dwóch
sygnałów: składowej przejściowej
p
y i składowej okresowej sinusoidalnej (harmonicznej)
h
y .
Po zaniku składowej przejściowej pozostanie tylko składowa sinusoidalna
)
t
sin(
y
)
t
(
y
y(t)
o
h
ϕ
+
ω
=
=
o tej samej pulsacji
ω
; jaką ma sygnał wymuszający; o amplitu-
dzie
o
y , przesunięta o kąt
ϕ
względem sygnału wymuszającego. Pulsacja
ω
jest równa
f
2
T
2
o
π
=
π
=
ω
(2.22)
gdzie:
o
T jest okresem,
o
T
1
f
=
częstotliwością drgań.
Przesunięcie fazowe jest równe
ϕ
=
∆
t
⋅ω
(2.23)
gdzie
∆
t jest przesunięciem czasowym sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego
(rys. 2.8).
Aby badany obiekt pozostawał w strefie liniowości amplituda sygnału wymuszającego nie
powinna przekraczać 5% znamionowej wartości sygnału wejściowego (
zn
o
x
05
,
0
x
≤
).
Rys.2.8. Odpowiedź elementu liniowego na wymuszenie sinusoidalne
x(s)
y(s)
G(s) =
Ts
Ts + 1
______
0
10
20
30
40
50
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
T
o
∆
t
x
o
y
o
[s]
czas t
y
x
T
o
y
x
2. Dynamika układów liniowych
Str.
29
Na rys. 2.9 przedstawiono pełną odpowiedź elementu róŜniczkującego rzeczywistego o transmi-
tancji
1
Ts
Ts
)
s
(
G
+
=
, (T = 1 [s]) na wymuszenie sinusoidalne
)
t
sin(
x
)
t
(
x
o
ω
=
,
(
1
x
o
=
,
ω
= 0,5 [rad/s], okres sinusoidy
566
,
12
T
o
≅
[s]).
Sygnał wyjściowy
)
t
(
y
)
t
(
y
)
t
(
y
n
h
+
=
zawiera składową harmoniczną (sinusoidalną):
)
10715
,
1
t
5
,
0
sin(
4472
,
0
)
t
5
,
0
cos(
4
,
0
)
t
5
,
0
sin(
2
,
0
y
h
+
⋅
⋅
≅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
oraz składową nieharmoniczną (przejściową):
t
n
e
4
,
0
y
−
⋅
=
.
Składowa przejściowa po czasie t > 5T = 5 [s] (czyli po czasie krótszym od jednego okresu)
praktycznie zanika i pozostaje składowa harmoniczna o amplitudzie
4472
,
0
y
o
≅
przesunięta
względem sygnału wymuszającego o kąt
ϕ
= +1,10715 [rad] = 63,4 stopnia. Przesunięcie fazowe
ϕ
składowej harmonicznej jest dodatnie, poniewaŜ wszystkie okresy sygnału wyjściowego y(t)
począwszy od okresu drugiego wyprzedzają okresy sygnału wymuszającego o kąt
ϕ
= 63,4 stop-
nia. Tylko nieliczne elementy wprowadzają dodatnie przesunięcie fazowe. Większość elementów
wprowadza ujemne przesunięcie fazowe.
Stosunek amplitud
o
o
x
y
)
(
A
=
ω
oraz przesunięcie fazowe
ϕ
(
ω
) zaleŜą od pulsacji
ω
(często-
0.1
1.0
10.0
100.0
ω
0.1
1.0
-20
-10
0
0.1
1.0
10.0
100.0
ω
0
30
60
90
ϕ
-1
0
1
2
rad/s
rad/s
stopnie
Rys. 2.9. Charakterystyki częstotliwościowe: amplitudowa A(
ω
) oraz fazowa
ϕ(ω)
elementu róŜniczkującego rzeczywistego,
1
Ts
Ts
)
s
(
G
+
=
, T = 1 [s].
20 lg A(
ω
)
dB
A(
ω
)
lg
ω
T
ω
T = 1
A(
ω
)
ϕ
(
ω
)
2. Dynamika układów liniowych
Str.
30
tliwości) sygnału wymuszającego. Wykres stosunku amplitud A(
ω
) od częstotliwości
ω
jest na-
zwana
charakterystyką częstotliwościową amplitudową, a wykres przesunięcia fazowego
ϕ
(
ω
) od
częstotliwości –
charakterystyką częstotliwościową fazową, (rys.2.9).
Charakterystykę amplitudową sporządza się we współrzędnych logarytmicznych. Na osi po-
ziomej podawane są wartości funkcji log(
ω
) lub log(f), a na osi pionowej wartości funkcji
log[A(
ω
)] lub funkcji L(
ω
) = 20 log[A(
ω
)] określającej moc sygnału wyjściowego w dB (decybe-
lach).
Charakterystykę fazową sporządza się we współrzędnych półlogarytmicznych. Częstotliwość
jest podawana w skali logarytmicznej, a faza w skali liniowej. Obie te charakterystyki są rysowa-
ne, razem charakterystyka fazowa pod charakterystyką amplitudową, a podziałki częstotliwości są
jednakowe dla charakterystyki amplitudowej i fazowej.
UŜywana jest równieŜ
charakterystyka amplitudowo – fazowa przedstawiona w postaci parame-
trycznej na płaszczyźnie liczb zespolonych (w układzie współrzędnych biegunowych; rys.2. 10).
Długość wektora poprowadzonego z początku układu współrzędnych do punktu na charakte-
rystyce przedstawia stosunek amplitud A(
ω
), a kąt między osią poziomą (osią liczb rzeczywi-
stych) i wektorem – przedstawia kąt przesu-
nięcia fazowego
ϕ
(
ω
). Pulsacja (
ω
) jest para-
metrem zmieniającym się wzdłuŜ charaktery-
styki od (
ω
= 0) do (
ω
= ∞). Charakterystyka
amplitudowo – fazowa nazwana jest
charakte-
rystyką Nyquista.
Charakterystyka amplitudowo fazowa jest
równocześnie wykresem sporządzonym na
płaszczyźnie liczb zespolonych. Wynika to ze
związku między transmitancją operatorową i
odpowiedzią elementu na wymuszenie sinuso-
idalne (następny punkt 2.6.2).
Re[G(i
ω
)]
Im[G(i
ω
)]
ϕ
A
ω = 0
ω
P(
ω
)
1
0.5
0
0
0.5
Q(
ω
)
∞
=
ω
Rys. 2.10. Charakterystyka częstotliwościowa
amplitudowo - fazowa (charaktery-
styka Nyqwista) elementu róŜniczku-
jącego rzeczywistego
2. Dynamika układów liniowych
Str.
31
2.5.2.
Wyprowadzenie równań wiąŜących transmitancję operatorową
z charakterystyką częstotliwościową
JeŜeli na wejście elementu o transmitancji G(s) zostanie wyprowadzony sygnał sinusoidalny
)
t
sin(
x
)
t
(
x
o
ω
=
, wówczas sygnał wyjściowy y(t) moŜe być obliczony w następujący sposób:
Sygnałowi czasowemu
)
t
sin(
x
)
t
(
x
o
ω
=
odpowiada funkcja operatorowa
2
2
o
s
x
)
s
(
x
ω
+
ω
⋅
=
(2.24)
Obliczamy sygnał wyjściowy w postaci operatorowej
)
i
s
)(
i
s
(
x
)
s
(
G
s
x
)
s
(
G
)
s
(
x
)
s
(
G
)
s
(
y
o
2
2
o
ω
+
ω
−
ω
⋅
⋅
=
ω
+
ω
⋅
⋅
=
=
(2.25)
Rozkładając funkcję y(s) na ułamki proste otrzymamy:
)
s
(
y
i
s
1
C
i
s
1
B
)
i
s
)(
i
s
(
x
)
s
(
G
)
s
(
y
)
s
(
y
)
s
(
y
n
o
n
h
+
ω
+
+
ω
−
=
ω
+
ω
−
ω
⋅
=
+
=
(2.26)
Sygnał wyjściowy zawiera składowe harmoniczne reprezentowane przez funkcję operatorową:
ω
+
+
ω
−
=
i
s
1
C
i
s
1
B
)
s
(
y
h
(2.27)
i składowe nieharmoniczne reprezentowane przez funkcję
)
s
(
y
n
.
Składowa nieharmoniczna
)
s
(
y
n
w mianowniku nie zawiera pierwiastków urojonych
ω
±
=
i
s
, ani dodatnich, wobec tego odpowiadająca jej funkcja czasowa
)
t
(
y
n
po pewnym cza-
sie zanika, w rezultacie pozostaje tylko składowa harmoniczna
)
t
(
y
h
. W celu obliczenia współ-
czynników: B oraz C przy składowej harmonicznej wykonujemy następujące działania:
W celu obliczenia współczynnika B mnoŜymy równanie (2.27) przez
)
i
-
(s
ω
, następnie pod-
stawiamy
ω
=
i
s
, w wyniku otrzymamy
)
i
(
G
2
x
i
B
o
ω
−
=
(2.28)
W podobny sposób obliczamy współczynnik C.
)
i
(
G
2
x
i
C
o
ω
−
=
(2.29)
2. Dynamika układów liniowych
Str.
32
Funkcja G(i
ω
) otrzymana z transmitancji operatorowej G(s) w wyniku podstawienia
ω
=
i
s
jest nazywana
transmitancją widmową. Transmitancja widmowa jak kaŜda funkcja zespolona ma
składową rzeczywistą P(
ω
) i składową urojoną Q(
ω
).
)
(
Q
i
)
(
P
)]
i
(
G
Im[
i
)]
i
(
G
Re[
)
G(i
ω
+
ω
=
ω
+
ω
=
ω
(2.30)
Transmitancja widmowa sprzęŜona G(-i
ω
) ze względu na symetrię liczb zespolonych sprzę-
Ŝ
onych ma tę samą składową rzeczywistą co transmitancja G(i
ω
),
)
(
P
)]
i
(
G
Re[
ω
=
ω
−
i składową
urojoną ze znakiem przeciwnym
)
(
Q
)
i
(
G
Im[
ω
−
=
ω
−
)
(
Q
i
)
(
P
)]
i
(
G
Im[
i
)]
i
(
G
Re[
)
i
G(-
ω
−
ω
=
ω
−
+
ω
−
=
ω
(2.31)
Po wstawieniu (2.28), (2.29) do (2.27) otrzymujemy sygnał wyjściowy składowej okresowej
w postaci operatorowej:
ω
+
ω
−
+
ω
−
ω
−
=
i
s
)
i
(
G
i
i
s
)
i
(
G
i
2
x
)
s
(
y
o
h
(2.32)
W celu wyeliminowania liczb urojonych wykonujemy przekształcenia:
[
] [
]
ω
+
ω
−
ω
+
ω
−
ω
+
ω
−
=
i
s
)
(
Q
i
)
(
P
i
i
s
)
(
Q
i
)
(
P
i
2
x
)
s
(
y
o
h
(2.33)
[
]
[
]
ω
−
ω
−
ω
+
ω
−
ω
+
ω
+
ω
+
ω
−
ω
+
ω
−
=
i
s
i
s
i
s
)
(
Q
i
)
(
P
i
i
s
i
s
i
s
)
(
Q
i
)
(
P
i
2
x
)
s
(
y
o
h
[
] [
]
ω
+
ω
−
ω
−
−
+
ω
+
ω
−
ω
+
+
−
=
2
2
2
2
o
h
s
Q
P
i
Q
s
i
P
s
i
s
Q
P
i
Q
s
i
P
s
i
2
x
)
s
(
y
Ostatecznie otrzymujemy
ω
+
ω
ω
+
ω
=
2
2
o
h
s
)
(
P
)
(
Q
s
x
)
s
(
y
(2.34)
W tablicy funkcji operatorowych znajdziemy funkcję czasową
)
t
(
y
h
odpowiadającą funkcji
operatorowej
)
s
(
y
h
, (2.34).
[
]
)
t
cos(
)
(
Q
)
t
sin(
)
(
P
x
)
t
(
y
o
h
ω
ω
+
ω
ω
=
(2.35)
Składową harmoniczną (2.35) moŜemy przedstawić w postaci:
)
t
sin(
y
)
t
(
y
o
h
ϕ
+
ω
=
(2.36)
2. Dynamika układów liniowych
Str.
33
W tym celu korzystamy z toŜsamości trygonometrycznej.
)
t
cos(
)
sin(
)
t
sin(
)
cos(
)
t
sin(
ω
⋅
ϕ
+
ω
⋅
ϕ
=
ϕ
+
ω
(2.37)
Łącząc równania: (2.35), (2.36) oraz (2.37) otrzymamy:
[
]
[
]
)
t
cos(
)
(
Q
)
t
sin(
)
(
P
x
)
t
cos(
)
sin(
)
t
sin(
)
cos(
y
o
o
ω
ω
+
ω
ω
=
ω
⋅
ϕ
+
ω
⋅
ϕ
(2.38)
ToŜsamości (2.38) jest spełniona w kaŜdej chwili t wówczas, gdy zachodzą związki:
[
]
[
]
)
t
cos(
)
(
Q
)
t
sin(
)
(
P
x
)
t
cos(
)
sin(
)
t
sin(
)
cos(
y
o
o
ω
ω
+
ω
ω
=
ω
⋅
ϕ
+
ω
⋅
ϕ
)
(
P
x
)
cos(
y
o
o
ω
=
ϕ
(2.39)
)
(
Q
x
)
sin(
y
o
o
ω
=
ϕ
(2.40)
Z tych dwóch równań moŜemy obliczać stosunek amplitud oraz przesunięcie fazowe składo-
wej harmonicznej sygnału wyjściowego.
)
(
Q
)
(
P
)
i
(
G
)
(
A
x
y
2
2
o
o
ω
+
ω
=
ω
=
ω
=
(2.41)
[
]
ϕ
ω
=
ω
=
ω
cos
)
(
A
)
i
(
G
Re
)
(
P
(2.42)
[
]
ϕ
ω
=
ω
=
ω
sin
)
(
A
)
i
(
G
Im
)
(
Q
(2.43)
)
(
P
)
(
Q
)]
(
[
tg
ω
ω
=
ω
ϕ
(2.44)
[
]
ω
ω
=
ω
=
ω
ϕ
)
(
P
)
(
Q
arct
)
i
(
G
arg
)
(
(2.45)
Wzory: (2.41), ..., (2.45), wyraŜają związki pomiędzy składowymi charakterystyki częstotli-
wościowej i transmitancji widmowej. Stosunek amplitud jest równy wartości bezwzględnej
transmitancji widmowej, a przesunięcie fazowe argumentowi transmitancji widmowej.
JeŜeli wykorzystamy wzór (2.46)
)
(
i
e
)]
(
sin[
i
)]
(
cos[
ω
ϕ
=
ω
ϕ
+
ω
ϕ
(2.46)
to transmitancję widmową G(i
ω
) moŜemy przedstawić w postaci wykładniczej, wzór (2.47).
)
(
i
e
)
(
A
)
(
Q
i
)
(
P
)
G(i
ω
ϕ
ω
=
ω
+
ω
=
ω
(2.47)