Pomocnik: Dynamika układów pierwszego i drugiego rzędu – wpływ rozmieszczenia biegunów
Układ pierwszego rzędu
Standardowa postać transmitancji:
( )
( )
( )
s
T
K
s
U
s
Y
s
G
b
p
+
=
=
1
K
p
– współczynnik wzmocnienia
T
b
– stała czasowa bezwładności (inercji)
Odpowiadające podanej transmitancji równanie różniczkowe
( ) ( )
( )
( )
0
0
=
=
+
y
;
t
u
K
t
y
t
y
dt
d
T
p
b
Dalej będziemy rozważali przypadek K
p
= 1.
Dla K
p
= 1 transmitancję podaną wyżej możemy zapisać
( )
a
\
s
a
T
\
s
T
s
G
b
b
+
=
+
=
1
1
1
Odpowiedź układu pierwszego rzędu o jednostkowym wzmocnieniu na skok jednostkowy wynosi
( )
at
e
t
y
−
−
= 1
Przedstawia ją rysunek 1.
a
4
T
4
b
=
a
5
T
5
b
=
a
2
T
2
b
=
a
3
T
3
b
=
1
r
T
a
1
T
b
=
y(t)
dla t = T
b
63% wartości końcowej
a
T
b
=
1
Początkowe nachylenie =
Rys.1
Biegun układu
b
T
a
s
1
1
=
=
Parametry odpowiedzi skokowej (patrz rys.1)
Czas narastania
, rozumiany jako czas zmiany odpowiedzi na skok jednostkowy od wartości 0.1
wartości końcowej do wartości 0.9 wartości końcowej
1
r
T
b
r
T
.
a
.
T
2
2
1
2
2
1
=
≅
Czas ustalenia
, rozumiany jako czas osiągnięcia odpowiedzi na skok jednostkowy 0.99 wartości
ustalonej
s
T
b
s
T
6
.
4
a
1
6
.
4
T
=
≅
Czas ustalenia
, rozumiany jako czas osiągnięcia odpowiedzi na skok jednostkowy 0.98 wartości
ustalonej
s
T
b
s
T
a
T
4
1
4
=
≅
Czas ustalenia
, rozumiany jako czas osiągnięcia odpowiedzi na skok jednostkowy 0.95 wartości
ustalonej
s
T
b
s
T
a
T
3
1
3
=
≅
Układ drugiego rzędu
Standardowa postać transmitancji
( )
( )
( )
2
2
2
2
n
n
n
p
s
s
K
s
U
s
Y
s
G
ω
ςω
ω
+
+
=
=
K
p
– współczynnik wzmocnienia
ω
n
– pulsacja drgań nietłumionych
ζ - współczynnik tłumienia
Odpowiadające podanej transmitancji równanie różniczkowe
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
0
0
2
2
2
2
2
=
=
=
+
+
y
dt
d
,
y
;
t
u
K
t
y
t
y
dt
d
t
y
dt
d
n
p
n
n
ω
ω
ςω
Dalej będziemy rozważali przypadek K
p
= 1.
Dla K
p
= 1 transmitancję podaną wyżej możemy zapisać
( )
( )
( )
2
2
2
2
n
n
n
s
s
s
U
s
Y
s
G
ω
ςω
ω
+
+
=
=
Bieguny:
Ogólna postać
2
2
2
1
1
1
ς
ω
ςω
ς
ω
ςω
−
−
−
=
−
+
−
=
n
n
n
n
j
s
,
j
s
Używane oznaczenia
n
d
ςω
σ
=
- stała tłumienia
2
1
ς
ω
ω
−
=
n
d
- pulsacja drgań tłumionych
Bieguny w ogólnej postaci wówczas
d
d
d
d
j
s
,
j
s
ω
σ
ω
σ
−
−
=
+
−
=
2
1
Zobrazowanie biegunów przedstawione jest na rys. 2
s ‐ płaszczyzna
n
d
ςω
σ
−
=
−
2
1
ς
ω
ω
−
−
=
−
n
d
2
1
ς
ω
ω
−
=
+
n
d
Rys. 2
Przypadki
a.
0
=
ς
- układ nietłumiony
Dwa bieguny urojone
n
n
j
s
,
j
s
ω
ω
−
=
=
2
1
Transmitancja redukuje się do postaci
( )
( )
( )
(
)(
)
n
n
n
n
n
j
s
j
s
s
s
U
s
Y
s
G
ω
ω
ω
ω
ω
+
−
=
+
=
=
2
2
2
2
b.
1
0
<
<
ς
- układ niedotłumiony
Dwa bieguny zespolone sprzężone
2
2
2
1
1
1
ς
ω
ςω
ς
ω
ςω
−
−
−
=
−
+
−
=
n
n
n
n
j
s
,
j
s
Odpowiedź skokowa dla tego przypadku przedstawiona jest na rys. 3
Rys. 3
Opierając się na zależnościach podanych i uwidocznionych na rys. 2 oraz 3 można podać przebieg na
s-płaszczyźnie linii stałych wartości współczynnika tłumienia ς (rys. 4), pulsacji drgań tłumionych ω
d
(rys.
5), pulsacji drgań nietłumionych ω
n
(rys. 6) oraz stałej tłumienia σ
d
(rys. 7)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
−
t
sin
t
cos
e
t
y
d
d
t
d
ω
ς
ς
ω
σ
2
1
1
Czas
t
d
e
σ
−
−
1
t
d
e
σ
−
+
1
Rys. 4.
Rys. 5.
Rys. 6.
2
d
σ
−
1
d
σ
−
2
d
1
d
0
σ
σ
<
<
Rys. 7.
Posiadając określoną transmitancję układu drugiego rzędu
( )
( )
( )
b
as
s
b
s
2
s
s
U
s
Y
s
G
2
2
n
n
2
2
n
+
+
=
+
+
=
=
ω
ςω
ω
możemy określić pulsację drgań nietłumionych ω
n
oraz współczynnik tłumienia ς.
Mamy
n
2
n
2
a
,
b
ςω
ω
=
=
zatem
b
2
a
,
b
n
=
=
ς
ω
c.
1
=
ς
- układ krytycznie tłumiony
Podwójny biegun rzeczywisty
n
,
s
ω
=
2
1
Transmitancja redukuje się do postaci
( )
( )
( )
(
)
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
s
s
s
s
U
s
Y
s
G
ω
ω
ω
ω
ω
+
=
+
+
=
=
d.
1
>
ς
- układ przetłumiony
Dwa bieguny rzeczywiste
1
1
2
2
2
1
−
+
−
=
−
−
−
=
ς
ω
ςω
ς
ω
ςω
n
n
n
n
s
,
s
Odpowiedzi impulsowe (impuls jednostkowy) układu drugiego rzędu o jednostkowym wzmocnieniu dla
różnych wartości współczynnika tłumienia przedstawione są na rys. 8
Rys. 8
Odpowiedzi skokowe (skok jednostkowy) układu drugiego rzędu o jednostkowym wzmocnieniu dla różnych
wartości współczynnika tłumienia przedstawione są na rys. 9
Rys.9
Obrazowe przedstawienie czterech wyróżnionych przypadków pokazane jest na rys. 10
Przetłumiony
y(t)
Krytycznie tłumiony
y(t)
Niedotłumiony
y(t)
Nietłumiony
s - płaszczyzna
s - płaszczyzna
s - płaszczyzna
s - płaszczyzna
y(t)
Odpowiedź skokowa
Bieguny
Rys. 10.
Parametry odpowiedzi skokowej (patrz rys.11) – dla układów niedotłumionych
OS = y
max
– y
ust
= M
p
- y
ust
δ=(0
.01 lub 0.02 lub 0,05)y
ust
δ=(0
.01 lub 0.02 lub 0,05)y
ust
T
r1
T
r
0.1y
ust
0.9y
ust
(0.99 lub 0.98 lub 0.95)y
ust
(1.01 lub 1.02 lub 1,05)y
ust
y
ust
y
max
= M
p
y(t)
Rys.11.
Oszacowania parametrów odpowiedzi skokowej dla układów niepotłumionych przeprowadzane są w
oparciu o wyrażenie określające tą odpowiedź podaną na rys. 3.
Uchyb ustalony e
ust
– różnica pomiędzy wartością zadaną a wartością ustaloną odpowiedzi y
ust
obliczana
zwykle w oparciu o twierdzenie o wartości końcowej
Czas osiągnięcia maksymalnej wartości y
max
odpowiedzi T
p
2
n
d
p
1
T
ς
ω
π
ω
π
−
=
=
Maksymalna wartość odpowiedzi M
p
( )
2
d
d
1
p
max
p
e
1
e
1
T
y
y
M
ς
ς
π
ω
σ
π
−
−
−
+
=
+
=
=
=
Wartość przeregulowania OS
( )
2
d
d
1
p
ust
p
ust
max
e
e
1
M
y
T
y
y
y
OS
ς
ς
π
ω
σ
π
−
−
−
=
=
−
=
−
=
−
=
Procentowa wartość przeregulowania %OS
2
d
d
1
e
100
e
100
100
OS
OS
%
ς
ς
π
ω
σ
π
−
−
−
×
=
×
=
×
=
Zwrócić należy uwagę, że wartość maksymalna odpowiedzi, a stad i przeregulowanie i procentowa
wartość przeregulowania zależą tylko od wartości współczynnika tłumienia. Bez dowodu podaję, że
dotyczy to również wszystkich kolejnych wartości maksymalnych i minimalnych odpowiedzi.
Podane zależności pozwalają określić wartość przeregulowania lub procentową wartość przeregulowania
dla danej wartości współczynnika tłumienia. pozwalają one też ustalić zależność odwrotną
( )
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
+
−
=
100
OS
%
ln
100
OS
%
ln
OS
ln
OS
ln
2
2
2
2
π
π
ς
Wykres zależności wartości procentowej przeregulowania i współczynnika tłumienia otrzymany z podanych
wyżej zależności podany jest na rys. 12.
P
rocentowe przeregulow
anie %OS
Współczynnik tłumienia ζ
Rys. 12.
Czas ustalenia
, rozumiany jako czas osiągnięcia odpowiedzi na skok jednostkowy przedziału [(1-
δ)y
ust
,(1+δ)y
ust
]
s
T
(
)
(
)
n
ζω
zęściej stosuje się przybliżenie tej zależności, przyjmujące, że czas ustalenia to czas, kiedy obwiednia
odpowiedzi osiąga ustalony przedział. Wówczas
i stąd
2
d
2
s
1
ln
1
ln
T
ζ
δ
σ
ζ
δ
−
−
=
−
−
=
C
δ
σ
=
−
s
d
T
e
n
d
s
T
ζω
ln
ln
δ
σ
δ
−
=
−
=
W oparciu o takie oszacowanie otrzymuje się dla najczęstszych przypadkówi:
Czas ustalenia
, rozumiany jako czas osiągnięcia odpowiedzi na skok jednostkowy przedziału
±0.99
wartości ustalonej
s
T
n
d
s
.
.
T
ςω
σ
605
4
605
4
=
≅
1
1
Czas ustalenia
, rozumiany jako czas osiągnięcia odpowiedzi na skok jednostkowy przedziału
±0.98
wartości ustalonej
s
T
n
d
s
.
.
T
ςω
σ
912
3
912
3
=
≅
1
1
Czas ustalenia
, rozumiany jako czas osiągnięcia odpowiedzi na skok jednostkowy przedziału
±0.95
wartości ustalonej
s
T
n
d
s
.
.
T
ςω
σ
995
2
995
2
=
≅
1
1
zas narastania
, rozumiany jako czas zmiany odpowiedzi na skok jednostkowy od wartości
początkowej do pierwszego osiągnięcia wartości końcowej
r
T
C
n
d
r
2
2
T
ζω
θ
π
ω
θ
π
+
=
+
=
ζ
θ
1
sin
,
gdzie
−
=
Czas narastania
, rozumiany jako czas zmiany odpowiedzi na skok jednostkowy od wartości 0.1
ności tej wielkości od współczynnika tłumienia
ζ oraz pulsacji drgań tłumionych
d
lub nietłumionych
ω
n
jest niemożliwe. Można to zrobić na drodze numerycznej uzyskując wyniki
rzedstawione na rys. 13.
1
r
wartości końcowej do wartości 0.9 wartości końcowej
Ustalenie analityczne zależ
T
ω
p
Rys.13.
Jeżeli oznaczymy określoną rys. 13 zależność przez f,
Współczynnik tłumienia ζ
Czas narastania T
r1
× Pulsacja drgań nietłumionych ω
n
Czas T
r1
×
Pulsacja drga
ń
ω
n
Wsp
tłumienia ζ
ółczynnik
( )
ζ
ω
f
T
n
r
=
×
1
wówczas
( )
n
r
f
T
ω
ζ
=
1
iejsca geometryczne biegunów jednakowych procentowych wartości przeregulowania %OS,
współczynnika tłumienia ς (rys. 4), pulsacji drgań tłumionych ω
d
(rys. 5), pulsacji drgań oraz stałej
umienia σ
d
(rys. 7) możemy określić miejsce geometryczne tych pierwszych. Przedstawione to zostało na
rys. 14.
M
czasu ustalania T
s
oraz czasu osiągnięcia maksymalnej wartości T
p
Porównanie postaci zależności określających procentowe wartości przeregulowania %OS, czas ustalania
T
s
oraz czas osiągnięcia maksymalnej wartości T
p
z miejscami geometrycznymi biegunów jednakowej
wartości
tł
Rys. 14.
Na zakończenie podamy wpływ przesuwania się biegunów wzdłuż linii stałych wartości omawianych
wielkości na przebieg odpowiedzi skokowej. Przedstawiają to rys. 15 – 17.
σ
d1
<
σ
d2
T
s1
> T
s2
ω
d1
<
ω
d2
T
p1
> T
p2
ζ
1
>
ζ
2
%OS
1
< %OS
2
s - płaszczyzna
Rys. 15.
Rys. 16.
Rys. 17.