1
Równania Maxwella
i fale elektromagnetyczne
Strumie
ń
pola magnetycznego
B
przez powierzchni
ę
S
(analogicznie jak strumie
ń
pola elektrycznego
E
)
∫
=
S
B
S
B d
φ
Poniewa
ż
linie pola
B
s
ą
krzywymi zamkni
ę
tymi, wi
ę
c
dowolna powierzchnia zamkni
ę
ta otaczaj
ą
ca
ź
ródło pola
magnetycznego jest przecinana przez tyle samo linii
wychodz
ą
cych ze
ź
ródła co wchodz
ą
cych do niego.
strumie
ń
pola magnetycznego przez
zamkni
ę
t
ą
powierzchni
ę
jest równy zeru
0
d
=
∫
S
S
B
prawo Gaussa dla pola magnetycznego
Nie udało si
ę
zaobserwowa
ć
w przyrodzie
pojedynczych biegunów magnetycznych
analogicznych do ładunków elektrycznych.
Prawo Gaussa dla pola magnetycznego
RÓWNANIA MAXWELLA
2
Indukowane pole magnetyczne (uogólnione prawo Ampère'a)
Gdy ładujemy lub rozładowujemy kondensator to do okładek dopływa (lub z nich ubywa)
ładunek i w konsekwencji zmienia si
ę
pole elektryczne
E
w kondensatorze.
Płyn
ą
cy w obwodzie pr
ą
d I jest "uzupełniony„
polem
E
zmieniaj
ą
cym si
ę
mi
ę
dzy okładkami w
kondensatorze (kondensator si
ę
ładuje).
Do
ś
wiadczenie pokazuje,
ż
e pomi
ę
dzy
okładkami kondensatora powstaje pole
magnetyczne wytworzone przez zmieniaj
ą
ce si
ę
pole elektryczne.
∫
=
I
r
0
d
µ
µ
l
B
pole
B
pr
ą
du I
pole
B
równie
ż
w kondensatorze
Linie pola, maj
ą
kształt okr
ę
gów
tak jak linie pola
wokół
przewodnika z
pr
ą
dem.
∫
+
=
I
t
E
r
r
d
d
d
0
0
φ
ε
ε
µ
µ
l
B
Pole magnetyczne mo
ż
e by
ć
wytwarzane zarówno przez przepływ pr
ą
du (prawo Ampère'a) jak
i przez zmienne pole elektryczne.
Maxwell uogólnił prawo Ampère'a do postaci
0
0
0
r
r
r
E
S
Q
CU
C Ed
Ed
S E
d
ε ε
ε ε
ε ε φ
=
=
=
=
=
t
t
Q
I
E
r
p
d
d
d
d
0
φ
ε
ε
=
=
pr
ą
d przesuni
ę
cia
Zmianom pola elektrycznego towarzyszy zawsze powstanie pola magnetycznego.
3
Nat
ęż
enia kołowego pola elektrycznego jest zwi
ą
zane z indukowan
ą
sił
ą
elektromotoryczn
ą
∫
=
l
E d
ε
całkowanie odbywa si
ę
po
konturze wzdłu
ż
linii pola
elektrycznego
r
E
π
ε
2
=
Indukowane wirowe pole elektryczne (prawo Faradaya)
• Je
ż
eli w zmiennym polu magnetycznym umie
ś
cimy przewodz
ą
c
ą
kołow
ą
p
ę
tl
ę
(obwód) to
w tym obwodzie popłynie pr
ą
d (prawo Faradaya).
• Obecno
ść
p
ę
tli (obwodu) nie jest konieczna. Je
ż
eli go nie b
ę
dzie, to nie b
ę
dziemy obserwowa
ć
przepływu pr
ą
du jednak indukowane pole elektryczne
E
b
ę
dzie nadal istnie
ć
.
• Indukowane pole elektryczne nazywamy (ze wzgl
ę
du na kształt linii)
wirowym polem elektrycznym
∫
−
=
=
t
B
d
d
)
(
d
Φ
ε
l
E
Cyrkulacja wektora nat
ęż
enia pola
E
po dowolnym zamkni
ę
tym konturze jest równa szybko
ś
ci
zmiany strumienia magnetycznego przechodz
ą
cego przez ten kontur.
Prawo
Równanie
1
prawo Gaussa dla elektryczno
ś
ci
2
prawo Gaussa dla magnetyzmu
3
uogólnione prawo Faradaya
4
uogólnione prawo Ampère'a
0
d
r
Q
ε ε
=
∫
E S
∫
=
0
d S
B
∫
−
=
t
B
d
d
d
φ
l
E
0
0
0
d
d
d
E
r
r
r
I
t
φ
µ µ ε ε
µ µ
=
+
∫
B l
Wszystkie powy
ż
sze prawa w przypadku statycznym
(pola niezale
ż
ne od czasu) jak i w przypadku pól zale
ż
nych od czasu.
Równania Maxwella
w o
ś
rodku jednorodnym tzn.
µ
r
i
ε
r
niezmienne w przestrzeni
B
v
E
F
×
+
=
q
q
siła w polu elektromagnetycznym:
4
∫
−
=
t
B
d
d
d
φ
l
E
0
0
d
d
d
E
r
r
t
φ
µ µ ε ε
=
∫
B l
Ka
ż
da zmiana w czasie pola elektrycznego wywołuje
powstanie zmiennego pola magnetycznego, które z kolei
indukuje wirowe pole elektryczne itd.
Taki ci
ą
g sprz
ęż
onych pól elektrycznych i magnetycznych
tworzy fal
ę
elektromagnetyczn
ą
.
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
Dla
I=0
(np. pró
ż
nia lub dielektryk).
2
2
2
2
2
1
t
y
x
y
∂
∂
∂
∂
v
=
równanie dla struny:
2
2
0
0
2
2
z
z
r
r
B
B
x
t
∂
∂
µ µ ε ε
∂
∂
=
2
2
0
0
2
2
y
y
r
r
E
E
x
t
∂
∂
µ µ ε ε
∂
∂
=
Pola E i B s
ą
do siebie prostopadłe i prostopadłe do kierunku rozchodzenia si
ę
fali.
Równanie falowe
równanie fali elektromagnetycznej (z równa
ń
Maxwella):
Fala
poprzeczna
s
m
.
8
0
0
10
9979
2
1
⋅
=
=
ε
µ
c
0
0
y
z
E
c
B
=
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
Pola E i B s
ą
do siebie prostopadłe i
prostopadłe do kierunku rozchodzenia si
ę
fali.
Równanie falowe
Fala
poprzeczna
0
0
cos(
)
cos(
)
y
y
z
z
E
E
kx
t
B
B
kx
t
ω
ω
=
−
=
−
(
)
0
(
)
0
e
e
i kx
t
y
y
i kx
t
z
z
E
E
B
B
ω
ω
−
−
=
=
2
2
0
0
2
2
z
z
r
r
B
B
x
t
∂
∂
µ µ ε ε
∂
∂
=
2
2
0
0
2
2
y
y
r
r
E
E
x
t
∂
∂
µ µ ε ε
∂
∂
=
0
0
1
v
r
r
k
ω
µ µ ε ε
= =
gdzie:
lub
Re{
}
Re{
}
y
y
z
z
E
E
B
B
=
=
2
2
2
2
2
1
t
y
x
y
∂
∂
∂
∂
v
=
równanie dla fali
elektromagnetycznej:
równanie dla struny:
rozwi
ą
zanie:
Pr
ę
dko
ść
fazowe fali elektromagnetycznej:
pr
ę
dko
ść
ś
wiatła w pró
ż
ni
z równa
ń
Maxwella
5
Antena słu
ż
y do wypromieniowanie energii elektromagnetycznej do otaczaj
ą
cej przestrzeni.
Je
ż
eli ró
ż
nica potencjałów pomi
ę
dzy mi
ę
dzy drutami
zmienia si
ę
sinusoidalnie to taka antena zachowuje si
ę
jak dipol elektryczny, którego moment dipolowy zmienia
si
ę
co do wielko
ś
ci jak i kierunku.
Fala elektromagnetyczna emitowana
przez drgaj
ą
cy dipol elektryczny
Rozchodzenie si
ę
fal elektromagnetycznych w pró
ż
ni
W 1888 roku Hertz potwierdził do
ś
wiadczalnie prawdziwo
ść
istnienia hipotetycznie przyjmowanego
dot
ą
d promieniowania elektromagnetycznego, a w roku 1893 Tesla zaprezentował publicznie
eksperyment potwierdzaj
ą
cy istnienie fal radiowych.
Fala elektromagnetyczna emitowana przez antenę nadawczą odbierana jest przez dostrojony odbiornik.
antena dipolowa
warunek
rezonansu:
LC
1
0
=
=
ω
ω
220V ->10,000V.
0
1
2
1
2
1
1
L C
L C
ω
=
=
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
C U
C U
=
2
1
2
1
2
1
U
C
L
U
C
L
=
=
GENERATOR TESLI
6
Szybko
ść
przepływu energii przez jednostkow
ą
powierzchni
ę
płaskiej fali elektromagnetycznej opisujemy
wektorem
S
zwanym wektorem Poyntinga
B
E
S
×
=
0
1
µ
µ
r
Kierunek wektora
S
pokazuje kierunek przenoszenia
energii. Wektory
E
i
B
s
ą
chwilowymi warto
ś
ciami pola
elektromagnetycznego w rozpatrywanym punkcie.
Przykład : Radiostacja o mocy P
0
= 30 kW wysyła fale EM izotropowo. Obliczamy nat
ęż
enie
sygnału (moc na jednostk
ę
powierzchni) w odległo
ś
ci r = 10 km od nadajnika.
ś
rednia warto
ść
wektora Poyntinga w
odległo
ś
ci r od
ź
ródła
2
2
0
m
/
µ
W
24
4
=
=
r
P
S
π
2
0
0
1
1
E
c
EB
S
µ
µ
=
=
2
1
4
2
0
0
2
0
E
c
r
P
S
µ
π
=
=
m
/
V
13
.
0
2
1
0
0
0
=
=
π
µ
cP
r
E
cB
E
=
2
2
0
2
E
E
=
fala sinusoidalna
T
10
4
10
0
0
−
⋅
=
=
c
E
B
Wektor Poyntinga
Podział tradycyjny
Długość
fali[m]
Częstotliwość
[MHz]
Uwagi dotyczące propagacji fali na Ziemi
Zastosowanie
fale bardzo długie
100000 -
10 000
0.003 - 0.03
słabo tłumiona fala powierzchniowa i fale jonosferyczne
(2,3,4)
radionawigacja,
radiotelegrafia
dalekosiężna
fale długie
10 000 -
1 000
0.03 - 0.3
fala powierzchniowa tłumiona, fala jonosferyczna (2,3)
radiotelegrafia,
radiolatarnie, radiofonia
fale średnie
1000 - 75
0.3 - 4
zależność od pory dnia: w dzień fala powierzchniowa, w
nocy fala jonosferyczna, zjawiska zaniku selektywnego,
interferencji (4)
radiofonia,
radiokomunikacja lotnicza
i morska
fale krótkie
75 - 10
4 - 30
dominuje fala jonosferyczna, wielokrotnie odbita (5)
radiofonia i
radiokomunikacja
fale ultrakrótkie
10-0.3
30 - 1000
fala nadziemna, głównie w obszarze widoczności
nadajnika (1) fala w przestrzeni kosmicznej (6)
telewizja, radiofonia,
radiokomunikacja,
łączność kosmiczna
mikrofale
0.3 -
0.0001
1 000 -3 000 000
fala nadziemna, głównie w obszarze widoczności
nadajnika (1) fala w przestrzeni kosmicznej (6)
radiolokacja, łączność
kosmiczna, GPS, GSM,
kuchenka mikrofalowa
fale radiowe i mikrofale
7
Widmo fal elektromagnetycznych
Promieniowanie gamma: krótsze od 10
-10
m, źródło: reakcje jądrowe oraz promieniowanie kosmiczne.
Promieniowanie rentgenowskie: od 10
-13
m do około 5x10
-8
m, źródło: elektrony hamujące w polu elektrycznym
(lampa rentgenowska) oraz wzbudzone atomy.
Promieniowanie ultrafioletowe UV: (od 10 do 400 nm) ciała rozgrzane do bardzo wysokich temperatur (Słońce
jest sinym źródłem UV) lub wzbudzone atomy.
Promieniowanie widzialne: (od 400 do 700 nm) rozgrzane ciała i wzbudzone atomy, widzialne dla oka
ludzkiego.
Promieniowanie podczerwone IR zwane inaczej promieniowaniem cieplnym: (od 700 nm do 2 mm) emitowane
przez rozgrzane ciała ( do około 400°C emitowana jest praktycznie tylko podczerwień).
Fale radiowe (powyżej 30 cm) i mikrofale (od 10
-4
m do 30 cm, 1 - 300 GHz) wypromieniowane przez
elektroniczne układy drgające.
Rozkład pola elektrycznego
i magnetycznego w kablu
koncentrycznym w danej
chwili t.
Przykładowy rozkład pól
E, B
dla
prostok
ą
tnego falowodu.
Rozkład pól nie musi by
ć
sinusoidalnie zmienny.
Rozchodzenie si
ę
fal elektromagnetycznych kablach i falowodach
8
15
linia długa słu
ż
y do przesyłania
sygnałów od układu generuj
ą
cego
sygnały do układu odbiornika (np.
kabel koncentryczny).
linia jednorodna – parametry na jednostk
ę
długo
ś
ci nie
zale
żą
od współrz
ę
dnej x
Kabel
koncentryczny
Linia długa
16
schemat zast
ę
pczy krótkiego odcinka linii długiej
Linia długa
Uwaga oznaczamy
G=1/R (tzw. admitancja)
Stosuj
ą
c prawa Kirchhoffa otrzymujemy:
I( , )
U( , )
I( , )
U(
, )
0
z t
z t
R z
z t
L z
z
z t
t
∂
− ∆ ⋅
− ∆ ⋅
−
+ ∆
=
∂
0
)
,
I(
)
,
U(
)
,
U(
)
,
I(
=
∆
+
−
∂
∆
+
∂
⋅
∆
−
∆
+
⋅
∆
−
t
z
z
t
t
z
z
z
C
t
z
z
z
G
t
z
9
17
( )
( )
( )
( )
( )
( )
U ,
I ,
I ,
U ,
I ,
,
U ,
z t
z t
z t
z t
R
z t
L
G
z t
C
z
t
z
t
∂
∂
∂
∂
=− ⋅
+
=− ⋅
+
∂
∂
∂
∂
I( , )
U( , )
I( , )
U(
, )
0
z t
z t
R z
z t
L z
z
z t
t
∂
− ∆ ⋅
− ∆ ⋅
−
+ ∆
=
∂
0
)
,
I(
)
,
U(
)
,
U(
)
,
I(
=
∆
+
−
∂
∆
+
∂
⋅
∆
−
∆
+
⋅
∆
−
t
z
z
t
t
z
z
z
C
t
z
z
z
G
t
z
( )
(
)
( )
U
,
U
,
U
,
lim
x
z t
z
z t
z t
z
z
→∞
∂
+ ∆
−
=
∂
∆
I otrzymujemy równania telegrafistów:
( )
(
) ( )
,
,
,
lim
x
I z t
I z
z t
I z t
z
z
→∞
∂
+ ∆
−
=
∂
∆
obliczamy:
18
Dla sygnału sinusoidalnego w dowolnym miejscu z mamy:
( , )
( ) e
i
t
U z t
U z
ω
=
⋅
( , )
( ) e
i
t
I z t
I z
ω
=
⋅
równania telegrafistów przyjmuj
ą
posta
ć
:
( )
(
)
( )
(
)
d
d
( )
,
( )
d
d
U z
I z
R
i L
I z
G
i C U z
z
z
ω
ω
= −
+
⋅
= −
+
⋅
I dalej:
( )
( )
2
2
2
2
2
2
d
d
( )
0
,
( )
0
d
d
U z
I z
U z
I z
z
z
γ
γ
−
⋅
=
−
⋅
=
(
) (
)
i
R
i L
G
i C
γ α
β
ω
ω
= +
=
+
⋅
+
0
0
( )
e
e
z
z
U z
U
U
γ
γ
→
−
←
+
=
⋅
+
⋅
0
0
( )
e
e
z
z
I z
I
I
γ
γ
→
−
←
+
=
⋅
+
⋅
rozwi
ą
zanie:
10
(
)
(
)
0
0
0
0
( , ) [
e
e
] e
e
e
e
e
z i z
z i z
i t
z
i
t
z
z
i
t
z
U z t
U
U
U
U
α
β
α
β
ω
α
ω β
α
ω β
→
− −
←
+
→
−
−
−
←
+
=
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅ ⋅
Rozwi
ą
zanie zale
ż
ne od czasu:
(
)
(
)
0
0
( , )
e
e
e
e
z
i
t
z
z
i
t
z
I z t
I
I
α
ω β
α
ω β
→
−
−
−
←
+
=
⋅
⋅
+
⋅ ⋅
Otrzymujemy fale tłumione poruszaj
ą
ce si
ę
w prawo i w lewo:
0
0
0
0
( , ) Re{ ( , ) }
e
cos(
)
e
cos(
)
( , ) Re{ ( , ) }
e
cos(
)
e
cos(
)
z
z
z
z
U z t
U z t
U
t
z
U
t
z
I z t
I z t
I
t
z
I
t
z
α
α
α
α
ω β
ω β
ω β
ω β
→
−
←
→
−
←
=
=
⋅
⋅
−
+
⋅ ⋅
+
=
=
⋅
⋅
−
+
⋅ ⋅
+
α
– współczynnik tłumienie fali (wzdłu
ż
linii),
β
– to liczba falowa
długo
ść
fali:
2
π
λ
β
⋅
=
pr
ę
dko
ść
fazowa:
v
f
ω
β
=
1
v
f
L C
=
⋅
0
α
=
C
L
⋅
ω
=
β
Dla linii bezstratnej R=0 i G =0 mamy:
(
) (
)
i
R
i L
G
i C
γ α
β
ω
ω
= +
=
+
⋅
+