1
Równania Maxwella
i fale elektromagnetyczne
Strumie
ń
pola magnetycznego
B
przez powierzchni
ę
S
(analogicznie jak strumie
ń
pola elektrycznego
E
)
∫
=
S
B
S
B d
φ
Poniewa
Ŝ
linie pola
B
s
ą
krzywymi zamkni
ę
tymi, wi
ę
c
dowolna powierzchnia zamkni
ę
ta otaczaj
ą
ca
ź
ródło pola
magnetycznego jest przecinana przez tyle samo linii
wychodz
ą
cych ze
ź
ródła co wchodz
ą
cych do niego.
strumie
ń
pola magnetycznego przez
zamkni
ę
t
ą
powierzchni
ę
jest równy zeru
0
d
=
∫
S
S
B
prawo Gaussa dla pola magnetycznego
Nie udało si
ę
zaobserwowa
ć
w przyrodzie
pojedynczych biegunów magnetycznych
analogicznych do ładunków elektrycznych.
Prawo Gaussa dla pola magnetycznego
RÓWNANIA MAXWELLA
2
Nat
ęŜ
enia kołowego pola elektrycznego jest zwi
ą
zane z indukowan
ą
sił
ą
elektromotoryczn
ą
∫
=
l
E d
ε
całkowanie odbywa si
ę
po drodze, na której
działa siła tj. wzdłu
Ŝ
linii pola elektrycznego
r
E
π
ε
2
=
∫
−
=
=
t
B
d
d
)
(
d
φ
ε
l
E
Cyrkulacja wektora nat
ęŜ
enia pola
E
po dowolnym zamkni
ę
tym konturze jest równa szybko
ś
ci
zmiany strumienia magnetycznego przechodz
ą
cego przez ten kontur.
Indukowane wirowe pole elektryczne (prawo Faradaya)
• Je
Ŝ
eli w zmiennym polu magnetycznym umie
ś
cimy przewodz
ą
c
ą
kołow
ą
p
ę
tl
ę
(obwód) to
w tym obwodzie popłynie pr
ą
d (prawo Faradaya).
• Obecno
ść
p
ę
tli (obwodu) nie jest konieczna. Je
Ŝ
eli go nie b
ę
dzie, to nie b
ę
dziemy obserwowa
ć
przepływu pr
ą
du jednak indukowane pole elektryczne
E
b
ę
dzie nadal istnie
ć
.
• Indukowane pole elektryczne nazywamy (ze wzgl
ę
du na kształt linii)
wirowym polem elektrycznym
Indukowane pole magnetyczne (uogólnione prawo Ampère'a)
Gdy ładujemy lub rozładowujemy kondensator to do okładek dopływa (lub z nich ubywa)
ładunek i w konsekwencji zmienia si
ę
pole elektryczne
E
w kondensatorze.
Zmieniaj
ą
cy si
ę
w obwodzie pr
ą
d I jest
"uzupełniony„ polem
E
zmieniaj
ą
cym si
ę
mi
ę
dzy
okładkami w kondensatorze.
Do
ś
wiadczenie pokazuje,
Ŝ
e pomi
ę
dzy
okładkami kondensatora powstaje pole
magnetyczne wytworzone przez zmieniaj
ą
ce si
ę
pole elektryczne.
∫
=
I
r
0
d
µ
µ
l
B
pole
B
pr
ą
du I
pole
B
równie
Ŝ
w kondensatorze
3
Linie pola, maj
ą
kształt
okr
ę
gów tak jak linie pola
wokół przewodnika z pr
ą
dem.
E
r
r
r
E
S
E
d
d
S
E
Cd
CU
Q
φ
ε
ε
ε
ε
ε
ε
0
0
0
=
=
=
=
=
t
t
Q
I
E
r
p
d
d
d
d
0
φ
ε
ε
=
=
pr
ą
d przesuni
ę
cia
∫
+
=
I
t
E
r
r
d
d
d
0
0
φ
ε
ε
µ
µ
l
B
Pole magnetyczne mo
Ŝ
e by
ć
wytwarzane zarówno przez przepływ pr
ą
du (prawo Ampère'a) jak
i przez zmienne pole elektryczne.
Maxwell uogólnił prawo Ampère'a do postaci
Zmianom pola elektrycznego towarzyszy zawsze powstanie pola magnetycznego.
Prawo
Równanie
1
prawo Gaussa dla elektryczno
ś
ci
2
prawo Gaussa dla magnetyzmu
3
uogólnione prawo Faradaya
4
uogólnione prawo Ampère'a
∫
=
0
d
ε
ε
r
Q
S
E
∫
=
0
d S
B
∫
−
=
t
B
d
d
d
φ
l
E
I
t
r
E
r
r
0
0
0
d
d
d
µ
µ
φ
ε
ε
µ
µ
+
=
∫
l
B
Wszystkie powy
Ŝ
sze prawa s
ą
słuszne zarówno w przypadku statycznym
(pola niezale
Ŝ
ne od czasu) jak i w przypadku pól zale
Ŝ
nych od czasu.
Równania Maxwella
4
∫
−
=
=
t
B
d
d
)
(
d
φ
ε
l
E
t
E
d
d
d
0
0
φ
ε
µ
=
∫
l
B
Ka
Ŝ
da zmiana w czasie pola elektrycznego wywołuje
powstanie zmiennego pola magnetycznego, które z kolei
indukuje wirowe pole elektryczne itd.
Taki ci
ą
g sprz
ęŜ
onych pól elektrycznych i magnetycznych
tworzy fal
ę
elektromagnetyczn
ą
.
s
m
.
8
0
0
10
9979
2
1
⋅
=
=
ε
µ
c
0
0
B
E
c
=
Pola E i B s
ą
do siebie prostopadłe i prostopadłe do
kierunku rozchodzenia si
ę
fali.
Fala poprzeczna
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
w pró
Ŝ
ni:
2
2
2
2
2
1
t
B
c
x
B
z
z
∂
∂
∂
∂
=
2
2
2
2
2
1
t
E
c
x
E
y
y
∂
∂
∂
∂
=
fala elektromagnetyczna
(spolaryzowana):
2
2
2
2
2
1
t
y
x
y
∂
∂
∂
∂
v
=
struna:
Równanie falowe
Widmo fal elektromagnetycznych
5
Rozkład pola elektrycznego
i magnetycznego w kablu
koncentrycznym w danej
chwili t.
Pola te poruszaj
ą
si
ę
wzdłu
Ŝ
kabla z pr
ę
dko
ś
ci
ą
c.
Przykładowy rozkład pól
E, B
dla
prostok
ą
tnego falowodu.
Rozkład pól nie musi by
ć
sinusoidalnie zmienny.
Rozchodzenie si
ę
fal elektromagnetycznych
Elektromagnetyczna linia transmisyjna mo
Ŝ
e by
ć
zako
ń
czona w sposób umo
Ŝ
liwiaj
ą
cy
wypromieniowanie energii elektromagnetycznej do otaczaj
ą
cej przestrzeni.
antena dipolowa
Je
Ŝ
eli ró
Ŝ
nica potencjałów pomi
ę
dzy mi
ę
dzy drutami
zmienia si
ę
sinusoidalnie to taka antena zachowuje si
ę
jak dipol elektryczny, którego moment dipolowy zmienia
si
ę
co do wielko
ś
ci jak i kierunku.
Energia jest wypromieniowywana przez anten
ę
w postaci fali elektromagnetycznej.
Fala elektromagnetyczna emitowana
przez drgaj
ą
cy dipol elektryczny
Fale elektromagnetyczne mog
ą
rozchodzi
ć
si
ę
w pró
Ŝ
ni
λ
f
c
=
0
0
B
E
k
c
=
=
ω
6
Szybko
ść
przepływu energii przez jednostkow
ą
powierzchni
ę
płaskiej fali
elektromagnetycznej opisujemy wektorem
S
zwanym wektorem Poyntinga
B
E
S
×
=
0
1
µ
µ
r
Kierunek wektora
S
pokazuje kierunek przenoszenia
energii. Wektory
E
i
B
s
ą
chwilowymi warto
ś
ciami pola
elektromagnetycznego w rozpatrywanym punkcie.
Przykład : Radiostacja o mocy P
0
= 30 kW wysyła fale EM izotropowo. Obliczamy nat
ęŜ
enie
sygnału (moc na jednostk
ę
powierzchni) w odległo
ś
ci r = 10 km od nadajnika.
ś
rednia warto
ść
wektora Poyntinga w
odległo
ś
ci r od
ź
ródła
2
2
0
m
/
µ
W
24
4
=
=
r
P
S
π
m
/
V
13
.
0
2
1
0
0
0
=
=
π
µ
cP
r
E
2
0
0
1
1
E
c
EB
S
µ
µ
=
=
cB
E
=
2
1
4
2
0
0
2
0
E
c
r
P
S
µ
π
=
=
2
2
0
2
E
E
=
fala sinusoidalna
T
10
4
10
0
0
−
⋅
=
=
c
E
B
Wektor Poyntinga