1
Drgania elektromagnetyczne
przeł
ą
cznik do pozycji (a)
/
(1
)
Rt L
I
e
R
ε
−
=
−
Obwód RL
Obwód RC
)
1
(
/ RC
t
e
C
Q
−
−
=
ε
C
Q
R
dt
dQ
+
=
ε
dt
dI
L
IR
ε
+
=
L
R
U
U
+
=
ε
C
R
U
U
+
=
ε
/
t RC
dQ
I
e
dt
R
ε
−
=
=
/
Rt L
L
dI
U
L
e
dt
ε
−
=
=
Wł
ą
czanie i wyłaczanie napi
ę
cia (szeregowe RC i RL)
/
(1
)
t RC
C
U
e
ε
−
=
−
przeł
ą
cznik do pozycji (b)
L
Rt
e
R
I
/
−
=
ε
/
t RC
C
U
e
ε
−
=
dt
dI
L
IR
+
=
0
C
Q
R
dt
dQ
+
=
0
RC
t
e
C
Q
/
−
=
ε
/
t RC
I
e
R
ε
−
= −
/
Rt L
L
U
e
ε
−
= −
2
Drgania w obwodzie LC
C
Q
W
E
2
2
=
2
2
Li
W
B
=
Opis ilo
ś
ciowy
0
=
+
C
L
U
U
(prawo Kirchhoffa)
0
=
+
C
Q
dt
dI
L
0
1
2
2
=
+
Q
LC
dt
Q
d
równanie drga
ń
w obwodzie LC
W obwodzie LC mamy do czynienia z oscylacjami (drganiami)
ładunku
(
pr
ą
du
).
Zmienia si
ę
zarówno warto
ść
jak i znak (kierunek) ładunku na kondensatorze i pr
ą
du
w obwodzie.
Równanie opisuj
ą
ce oscylacje ładunku ma identyczn
ą
posta
ć
jak równanie drga
ń
swobodnych masy zawieszonej na spr
ęż
ynie,
ładunek Q , napięcie U →
przesunięcie x, siła F;
pojemność C ( U = Q/C ) → odwrotność współczynnika sprężystości 1/k (F = kx);
prąd I = d Q /dt
→
prędkość
v
= dx/dt.
indukcyjność L (U = L dI/dt) → masa m (F = m d
v
/dt) ;
.
t
Q
Q
0
0
cos
ω
=
t
ω
I
t
ω
ω
Q
t
d
dQ
I
0
0
0
0
0
sin
sin
−
=
−
=
=
LC
1
0
=
ω
cz
ę
sto
ść
k
ą
towa drga
ń
0
2
0
2
2
=
+
Q
dt
Q
d
ω
3
W obwodzie LC ładunek na
kondensatorze, nat
ęż
enie pr
ą
du
i napi
ę
cie zmieniaj
ą
si
ę
sinusoidalnie
tak jak dla drga
ń
harmonicznych.
Mi
ę
dzy napi
ę
ciem i nat
ęż
eniem
pr
ą
du istnieje ró
ż
nica faz, równa
π
/2.
t
C
Q
U
o
C
ω
cos
0
=
t
ω
I
I
0
0
sin
−
=
LC
1
0
=
ω
Obwód szeregowy RLC
Ka
ż
dy obwód ma pewien opór R (np. opór drutu z którego nawini
ę
to cewk
ę
).
Obecno
ść
oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci wydzielaj
ą
cego si
ę
ciepła.
Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania tłumione analogiczne do
drga
ń
tłumionych spr
ęż
yny, przy czym współczynnik tłumienia
β
= R/2L.
0
=
+
+
IR
C
Q
dt
dI
L
0
2
2
0
2
2
=
+
+
Q
dt
dQ
dt
Q
d
ω
β
0
2
2
=
+
+
LC
Q
dt
dQ
L
R
dt
Q
d
t
e
Q
Q
t
ω
β
cos
0
−
=
2
2
0
β
ω
ω
−
=
małe
tłumienie
t
e
C
Q
U
t
c
ω
β
cos
0
−
=
4
Drgania w obwodzie RLC mo
ż
na podtrzyma
ć
je
ż
eli
obwód b
ę
dziemy zasila
ć
zmienn
ą
SEM ze
ź
ródła
zewn
ę
trznego wł
ą
czonego do obwodu.
t
ω
U
C
Q
RI
dt
dI
L
sin
0
=
+
+
)
sin(
)
(
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
0
( )
sin(
')
Q t
Q
t
ω φ
=
+
t
ω
L
U
LC
Q
t
d
dQ
L
R
t
d
Q
d
sin
0
2
2
=
+
+
t
ω
α
x
ω
t
d
x
d
β
t
d
x
d
sin
2
0
2
0
2
2
=
+
+
'
1
R
tg
L
C
φ
ω
ω
=
−
2
2
0
2
ω
ω
βω
ϕ
−
−
=
tg
2
/
1
2
2
2
2
2
0
0
]
4
)
[(
ω
β
ω
ω
α
+
−
=
A
2
2
2
2
0
0
1
−
+
=
L
C
R
U
Q
ω
ω
dt
dQ
t
I
=
)
(
0
sin(
)
I
I
t
ω φ
=
−
2
2
0
0
1
−
+
=
L
C
R
U
I
ω
ω
1
L
C
tg
R
ω
ω
φ
−
=
'
/ 2
φ φ π
= − −
2
2
0
0
0
1
−
+
=
=
C
L
R
U
Z
U
I
ω
ω
2
2
1
−
+
=
C
L
R
Z
ω
ω
1
L
C
tg
R
ω
ω
φ
−
=
0
sin(
)
I
I
t
ω φ
=
−
)
sin(
0
t
U
U
ω
=
R
Z
=
C
X
Z
C
ω
1
−
=
=
L
X
Z
L
ω
=
=
trójk
ą
t impedancji
X– reaktancja
R –rezystancja
Z – impedancja
5
Rezonans
Drgania ładunku, pr
ą
du i napi
ę
cia w obwodzie odbywaj
ą
si
ę
z cz
ę
sto
ś
ci
ą
zasilania
ω
(cz
ę
sto
ś
ci
ą
wymuszaj
ą
c
ą
).
Analogicznie jak dla mechanicznych drga
ń
wymuszonych
amplituda tych drga
ń
zale
ż
y od
ω
i osi
ą
ga maksimum dla
pewnej charakterystycznej warto
ś
ci tej cz
ę
sto
ś
ci.
Warunek rezonansu :
LC
1
0
=
=
ω
ω
Nat
ęż
enie pr
ą
du osi
ą
ga warto
ść
maksymaln
ą
R
U
I
0
0
=
Nat
ęż
enie pr
ą
du w obwodzie jest takie,
jak gdyby był w nim tylko opór
R
.
2
2
0
0
1
−
+
=
C
L
R
U
I
ω
ω
Moc w obwodzie pr
ą
du zmiennego
[
][
]
0
0
( )
( ) ( )
sin
sin(
)
p t
U t I t
U
t I
t
ω
ω ϕ
=
=
−
2
0 0
0 0
1
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
sin 2
sin )
2
p(t) U I
ωt (
ωt
ωt
) U I (
ωt
ωt
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
−
=
−
0
0
0
1
( )
cos
2
T
U I
P
p t dt
T
φ
=
=
∫
Moc czynna
to średnia moc tracona w obwodzie,
tj. moc, którą odbiornik pobiera ze źródła i
zamienia na pracę lub ciepło.
moc chwilowa:
0 0
0 0
cos
(1 cos 2
)
sin
sin 2
2
2
U I
U I
p(t)
ωt
ωt
ϕ
ϕ
=
−
−
0 0
sin
2
U I
Q
ϕ
=
Moc bierna to
moc, która nie zamienia się w
odbiornikach w inny rodzaj mocy (pulsuje między
źródłem a odbiornikiem).
(1 cos 2
)
sin 2
p(t)
P
ωt
Q
ωt
=
−
−
2
1 cos(2 )
sin
2
x
x
−
=
6
Moc w obwodzie pr
ą
du zmiennego
Moc czynna
zale
ż
y od przesuni
ę
cia fazowego
pomi
ę
dzy napi
ę
ciem i pr
ą
dem.
ś
rednia moc
tracona na
oporze R
2
2
2
2
0
0
0
0
1
1
sin (
)
2
T
T
R
I R
P
I Rdt
RI
t
dt
P
T
T
ω φ
=
=
−
=
=
∫
∫
•Cała moc wydziela si
ę
na oporze R
(jest to moc czynna)
, na kondensatorze i cewce
nie ma strat mocy. Gdy w obwodzie znajduje si
ę
tylko pojemno
ść
lub indukcyjno
ść
(nie
ma oporu omowego) to przesuniecie fazowe jest równe
π
/2, a poniewa
ż
cos(
π
/2) = 0 to
ś
rednia moc jest równa zeru.
2
0 0
0
cos
2
2
U I
RI
P
ϕ
=
=
Moc czynna:
2
0 0
0
sin
2
2
U I
XI
Q
ϕ
=
=
Moc bierna:
cos
|
|
R
Z
ϕ
=
2
0 0
0
0
0
(|
|
)
cos
2
2
|
|
2
U I
Z I I
I R
R
P
Z
ϕ
=
=
=
moc
ś
rednia
wydzielana w
całym obwodzie
sin
|
|
X
Z
ϕ
=
2
2
sk
sk
U
P
I
R
R
=
=
dla pr
ą
du stałego
dla pr
ą
du zmiennego
warto
ść
skuteczna
nat
ęż
enia pr
ą
du
zmiennego
0
2
R
sk
I
I
=
0
2
R
sk
U
U
=
warto
ść
skuteczna
napi
ę
cia
zmiennego
Mierniki pr
ą
du zmiennego takie jak amperomierze i woltomierze odczytuj
ą
wła
ś
nie warto
ś
ci skuteczne.
2
2
0
0
2
2
R
R
I R
U
P
R
=
=
Warto
ść
skuteczna pr
ą
du zmiennego (lub jego napi
ę
cia)
jest tak
ą
warto
ś
ci
ą
pr
ą
du (napi
ę
cia) stałego, która w ci
ą
gu czasu równego okresowi pr
ą
du
zmiennego spowoduje ten sam efekt cieplny, co dany sygnał pr
ą
du zmiennego.
0
0
R
I
I
=
cos
sk
sk
P
U I
ϕ
=
Moc czynna:
sin
sk
sk
Q
U I
ϕ
=
Moc bierna: