WM
Z9/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2
1
Z9/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2
Z9/2.1. Zadanie 2
Rysunek Z9/2.1 przedstawia wykresy sił przekrojowych w belce złożonej. Belka jest wykonana
z dwóch ceowników tworzących przekrój skrzynkowy. Jest on pochylony o kąt 12 stopni w stosunku do
pionu. Przedstawia to rysunek Z9/2.2. Wykorzystując Tablice do projektowania prętów zginanych ukośne
zaprojektować przekrój pręta a następnie wykonać wykres naprężenia normalnego
σ
X
w najbardziej obciążo-
nym przekroju oraz w przekroju, w którym moment zginający osiąga ekstremalną wartość w przedziale CD.
Wytrzymałość stali, z której wykonana jest belka wynosi 215 MPa.
A
B
C
D
E
8,0 kNm
16,0 kN/m
24,0 kN/m
12,0 kN
4,0
2,0
3,0
1,0
[m]
14,0 kN
82,0 kN
52,0 kN
T(x) [kN]
M(x) [kNm]
14
,0
50
,0
32,0
40
,0
12,0
8,
0
0,
0
0,
0
12
,0
0,875
3,125
0,875
3,125
1,333
1,667
1,333
1,667
14
,1
3
21
,3
3
64
,0
Rys. Z9/2. Wykresy sił przekrojowych w belce
12
0
Y=Y
gl
Z=Z
gl
Rys. Z9/2.2. Położenie przekroju pręta w stosunku do płaszczyzny obciążenia
Z9/2.2. Zaprojektowanie przekroju pręta
Na podstawie wykresów sił przekrojowych możemy stwierdzić, że ekstremalny moment zginający na
długości belki działa w przekroju znajdującym się nad podporą przegubowo-przesuwną B. Wartość
bezwzględna tego momentu wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z9/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2
2
M
Y
EXT
=
64,0 kNm=6400 kNcm
.
(Z9/2.1)
W Tablicy T9.11 dla przekroju skrzynkowego składającego się z dwóch ceowników w kolumnie odpo-
wiadającej nachyleniu 12 stopni odnajdujemy pierwszy przekrój, którego nośność jest większa niż ekstre-
malny moment zginający (Z9/2.1). Przekrojem tym jest skrzynka zbudowana z dwóch ceowników 200,
której nośność wynosi
M
R
=
65,99 kNm
.
(Z9/2.2)
Nie musieliśmy stosować współczynnika (T9.7), ponieważ wytrzymałość stali wynosi 215 MPa.
Rysunek Z9/2.3 przedstawia podstawowe wymiary pojedynczego ceownika. Pole powierzchni
odczytane w Tablicach do projektowania konstrukcji metalowych wynosi
A
1
=
A
2
=
32,2 cm
2
.
(Z9/2.3)
Wartości głównych momentów bezwładności dla każdego z ceowników wynoszą
J
Y01
=
J
Y02
=
1910 cm
4
,
(Z9/2.4)
J
Z01
=
J
Z02
=
148,0 cm
4
.
(Z9/2.5)
Y
01
Z
01
10
,0
10
,0
7,5
5,49
2,01
Z
02
[cm]
10
,0
10
,0
7,5
5,49
2,01
Y
02
sc
1
sc
2
Rys. Z9/2.3. Wymiary ceownika 200
Rysunek Z9/2.4 przedstawia wymiary przekroju skrzynkowego. Środek ciężkości znajduje się w punkcie
przecięcia się osi symetrii przekroju. Osie środkowe są także osiami głównymi dla tego przekroju. Współ-
rzędne środka ciężkości ceownika numer 1 oraz 2 w układzie osi głównych przekroju skrzynkowego
wynoszą
y
01
=
5,49 cm , z
01
=
0,0 cm
,
(Z9/2.6)
y
02
=−
5,49cm , z
02
=
0,0 cm
.
(Z9/2.7)
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z9/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2
3
Y=Y
01
=Y
02
=Y
gl
Z=Z
gl
Z
02
Z
01
[cm]
10
,0
10
,0
7,5
7,5
5,49 5,49
2,01
2,01
sc
1
sc
2
sc
Rys. Z9/2.4. Wymiary przekroju skrzynkowego
Wartości głównych momentów bezwładności przekroju skrzynkowego wynoszą
J
Y
=
J
Ygl
=
19100,0
2
⋅
32,219100,0
2
⋅
32,2=3820 cm
4
,
(Z9/2.8)
J
Z
=
J
Zgl
=
148,05,49
2
⋅
32,2148,0
−
5,49
2
⋅
32,2=2237 cm
4
.
(Z9/2.9)
Z9/2.3. Wykres naprężenia normalnego w najbardziej obciążonym przekroju
Najbardziej obciążonym przekrojem jest ten przekrój, w którym moment zginający ma wartość
ekstremalną. Moment ten rozciąga górną część pręta. Rysunek Z9/2.5 przedstawia składowe wypadkowego
wektora momentu zginającego po kierunkach osi głównych. Moment po kierunku osi Y=Y
gl
ma zwrot
przeciwny do zwrotu tej osi czyli jest ujemny natomiast po kierunku osi Z=Z
gl
ma zwrot zgodny czyli jest
dodatni. Wartości ich wynoszą odpowiednio
M
Y
=−
6400⋅cos
12
°
=−
6260 kNcm
,
(Z9/2.10)
M
Z
=
6400⋅sin
12
°
=
1331 kNcm
.
(Z9/2.11)
12
0
Y=Y
gl
Z=Z
gl
6260 k
Ncm
1331
kNcm
6400 kNcm
12
0
Rys. Z9/2.5. Składowe momentu zginającego po kierunkach osi głównych w najbardziej obciążonym przekroju
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z9/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2
4
Funkcja naprężenia normalnego, zgodnie z (9.7) ma postać
X
=−
1331
2237
⋅
y
−
6260
3820
⋅
z=−0,5950⋅y−1,639⋅z
.
(Z9/2.12)
Równanie osi obojętnej ma postać
−
0,5950⋅y−1,639⋅z=0
.
(Z9/2.13)
Możemy je przedstawić w postaci
−
1,639⋅z=0,5950⋅y
.
(Z9/2.14)
Ostatecznie równanie osi obojętnej będzie miało postać
z=−0,3630⋅y
.
(Z9/2.15)
Kąt nachylenia osi obojętnej do osi Y=Y
gl
wynosi więc
=
arc tan
−
0,3630
=−
19,95°
.
(Z9/2.16)
Położenie osi obojętnej przedstawia rysunek Z9/2.6. Jak widać na nim najdalej oddalonymi punktami od osi
obojętnej są punkty 1 i 2. Naprężenie normalne w tych punktach wynosi
X
1
=−
0,5950⋅
−
7,5
−
1,639⋅
−
10,0
=
20,85
kN
cm
2
=
208,5 MPa
,
(Z9/2.17)
X
2
=−
0,5950⋅
7,5
−
1,639⋅
10,0
=−
20,85
kN
cm
2
=−
208,5 MPa
.
(Z9/2.18)
12
0
Y=Y
gl
Z=Z
gl
19,95
0
1
2
Rys. Z9/2.6. Położenie osi obojętnej w najbardziej obciążonym przekroju
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z9/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2
5
Wykres naprężenia normalnego w przekroju odnosimy na prostej prostopadłej do osi obojętnej. Wykres ten
przedstawia rysunek Z9/2.7. Jak widać jest to wykres liniowy a wartości bezwzględne największych
naprężeń normalnych nie przekraczają wytrzymałości 215 MPa.
12
0
Y=Y
gl
Z=Z
gl
19,95
0
2
1
σ
X
[MPa]
208,5
208,5
0,0
Rys. Z9/2.7. Wykres naprężenia normalnego w najbardziej obciążonym przekroju
Z9/2.4. Wykres naprężenia normalnego w miejscu ekstremalnego momentu zginającego
w przedziale CD
Zgodnie z wykresem momentu zginającego w miejscu ekstremalnego momentu zginającego
w przedziale CD działa moment zginający rozciągający dolną część belki a jego wartość bezwzględna
wynosi
∣
M
Y
∣
=
21,33 kNm=2133 kNcm
.
(Z9/2.19)
12
0
Y=Y
gl
Z=Z
gl
2086 k
Ncm
44
3,
5 k
Ncm
2133 kNcm
12
0
Rys. Z9/2.8. Składowe momentu zginającego po kierunkach osi głównych w miejscu ekstremalnego momentu
zginającego w przedziale CD
Rysunek Z9/2.8 przedstawia składowe wypadkowego wektora momentu zginającego po kierunkach
osi głównych w miejscu ekstremalnego momentu zginającego w przedziale CD. Moment po kierunku osi
Y=Y
gl
ma zwrot zgodny ze zwrotem tej osi czyli jest dodatni natomiast po kierunku osi Z=Z
gl
ma zwrot
przeciwny czyli jest ujemny. Wartości tych momentów wynoszą
M
Y
=
2133⋅cos
12
°
=
2086 kNcm
,
(Z9/2.20)
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z9/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2
6
M
Z
=−
2133⋅sin
12
°
=−
443,5 kNcm
.
(Z9/2.21)
Funkcja naprężenia normalnego, zgodnie z (9.7) ma postać
X
=−
−
443,5
2237
⋅
y
2086
3820
⋅
z=0,1983⋅y0,5461⋅z
.
(Z9/2.22)
Równanie osi obojętnej ma postać
0,1983⋅y0,5461⋅z=0
.
(Z9/2.23)
Możemy je przedstawić w postaci
0,5461⋅z=−0,1983⋅y
.
(Z9/2.24)
Ostatecznie równanie osi obojętnej będzie miało postać
z=−0,3631⋅y
.
(Z9/2.25)
Kąt nachylenia osi obojętnej do osi Y=Y
gl
wynosi więc
=
arc tan
−
0,3631
=−
19,96°
.
(Z9/2.26)
12
0
Y=Y
gl
Z=Z
gl
19,96
0
1
2
Rys. Z9/2.9. Położenie osi obojętnej w miejscu ekstremalnego momentu zginającego w przedziale CD
Jak widać wartość ta jest w przybliżeniu równa wartości kąta wyznaczonej ze wzoru (Z9/2.16). Położenie
osi obojętnej przedstawia rysunek Z9/2.9. Jak widać na nim najdalej oddalonymi punktami przekroju od osi
obojętnej są punkty 1 i 2. Naprężenie normalne w tych punktach wynosi
X
1
=
0,1983⋅
−
7,5
0,5461⋅
−
10,0
=−
6,948
kN
cm
2
=−
69,48 MPa
,
(Z9/2.27)
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z9/2. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 2
7
X
2
=
0,1983⋅
7,5
0,5461⋅
10,0
=
6,948
kN
cm
2
=
69,48 MPa
.
(Z9/2.28)
Rysunek Z9/2.10 przedstawia wykres naprężenia normalnego w miejscu ekstremalnego momentu zginają-
cego w przedziale CD.
12
0
Y=Y
gl
Z=Z
gl
19,96
0
2
1
σ
X
[MPa]
69,48
69,48
0,0
Rys. Z9/2.10. Wykres naprężenia normalnego w miejscu ekstremalnego momentu zginającego w przedziale CD
Dr inż. Janusz Dębiński
Document Outline