WM
Z13/2. STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH OSIOWO – ZADANIE 2
1
Z13/2. STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH OSIOWO – ZADANIE 2
Z13/2.1. Zadanie 2
Wyznaczyć siłę krytyczną pręta ściskanego osiowo przedstawionego na rysunku Z13/2.1. Pręt ten jest
zamocowany w obu płaszczyznach pokrywających się z osiami głównymi bezwładności w jednakowy
sposób. Wymiary przekroju pręta podane są w centymetrach natomiast długość pręta podana jest w metrach.
Przekrój pręta przedstawia rysunek Z13/2.2.
4,0
[m]
P
KR
Rys. Z13/2.1. Pręt ściskany osiowo
3,
0
2,
0
3,
0
3,0
6,0
[cm]
Y=Y
gl
Z=Z
gl
6,0
15,0
8,
0
Rys. Z13/2.2. Przekrój pręta ściskanego osiowo
Pręt został wykonany ze stali o granicy proporcjonalności
H
=
205,0 MPa
(Z13/2.1)
oraz granicy plastyczności
P
=
235,0 MPa
.
(Z13/2.2)
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z13/2. STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH OSIOWO – ZADANIE 2
2
Z13/2.2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
Główne momenty bezwładności przekroju słupa ściskanego osiowo względem osi Y=Y
gl
oraz Z=Z
gl
wynoszą
J
Y
=
J
Ygl
=
15,0⋅8,0
3
12
−
3,0⋅2,0
3
12
=
638,0 cm
4
,
(Z13/2.3)
J
Z
=
J
Zgl
=
8,0⋅15,0
3
12
−
2,0⋅3,0
3
12
=
2246 cm
4
.
(Z13/2.4)
Pole powierzchni przekroju słupa ściskanego osiowo wynosi
A=15,0⋅8,0 −3,0⋅2,0 =114,0 cm
2
.
(Z13/2.5)
Z13/2.3. Wyznaczenie siły krytycznej pręta ściskanego osiowo
Ponieważ pręt jest zamocowany w obu płaszczyznach pokrywających się z osiami głównymi bez-
władności w jednakowy sposób o wyboczeniu będzie decydował minimalny moment bezwładności. Porów-
nując główne momenty bezwładności (Z13/2.3) i (Z13/2.4) możemy stwierdzić, że będzie to moment
względem osi Y=Y
gl
czyli
J =J
Y
=
638,0 cm
4
.
(Z13/2.6)
Promień bezwładności przekroju wynosi
i=
638,0
114,0
=
2,366 cm
.
(Z13/2.7)
Długość wyboczeniowa pręta wynosi
L
W
=
0,5⋅4,0 m=200,0 cm
.
(Z13/2.8)
Smukłość pręta wynosi
=
200,0
2,366
=
84,53
.
(Z13/2.9)
Moduł Younga dla stali wynosi
E=205GPa=205000 MPa
.
(Z13/2.10)
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z13/2. STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH OSIOWO – ZADANIE 2
3
50
100
150
200
250
300
0
0
50
100
150
200
250
A
λ
σ
KR
[MPa]
σ
H
=205 MPa
σ
P
=235 MPa
σ
KR
=209,5 MPa
λ
GR
=9
9,3
5
λ
=
84
,53
Rys. Z13/2.3. Położenie punktu krytycznego
4,0
[m]
X
Z
P
KR
Y=Y
gl
Z=Z
gl
Rys. Z13/2.4. Postać wyboczeniowa pręta ściskanego osiowo
Smukłość graniczna pręta wynosi
GR
=⋅
205000
205,0
=
99,35
.
(Z13/2.11)
Smukłość (Z13/2.9) jest mniejsza niż smukłość graniczna (Z13/2.11) więc pręt pracuje w zakresie
sprężysto-plastycznym. Normalne naprężenie krytyczne wyznaczamy ze wzoru (13.11) i wynosi ono
KR
=
235,0−
235,0−205,0
99,35
⋅
84,53=209,5 MPa=20,95
kN
cm
2
.
(Z13/2.12)
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z13/2. STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH OSIOWO – ZADANIE 2
4
Siła krytyczna zgodnie z (13.20) wynosi
P
KR
=
20,95⋅114,0 =2388 kN
.
(Z13/2.13)
Rysunek Z13/2.3 przedstawia położenie punktu krytycznego (A) na wykresie zależności pomiędzy
normalnym naprężeniem krytycznym a smukłością pręta. Rysunek Z13/2.4 przedstawia postać wybocze-
niową pręta. Wyboczenie nastąpi w płaszczyźnie XZ, która to jest prostopadła do osi głównego mini-
malnego momentu bezwładności.
Dr inż. Janusz Dębiński