2.06.2001
r.
___________________________________________________________________________
1
Zadanie 1.
0
b
0
b
m
kul czarnych.
Powtarzamy n -
1.
jej do urny;
2. wrzucamy do urny 1
!
Niech
n
p
1
n
-
"!
(A)
1
0
)
/
1
(
1
n
n
m
b
p
(B)
n
n
m
m
b
p
)
/
1
1
)(
/
1
(
1
0
(C) )
/(
)
(
0
n
m
b
n
p
n
(D) )]
/(
][
/
)
[(
/
0
0
m
n
n
m
b
m
m
b
p
n
(E) )
/(
)
(
1
2
0
n
m
b
m
p
n
2.06.2001
r.
___________________________________________________________________________
2
Zadanie 2.
Niech
tZ
N
X
exp
, gdzie
N
parametrem
, Z
2
,
N
,
#N, t !$
2
)
(
)
(
X
E
X
Var
.
(A)
)
exp(
)
exp(
1
2
2
2
2
t
t
(B)
1
)
exp(
)
exp(
2
2
2
2
t
t
(C)
1
)
exp(
)
exp(
1
2
2
2
2
t
t
(D)
1
)
exp(
)
2
exp(
1
2
2
2
2
t
t
(E)
1
)
2
exp(
)
exp(
1
2
2
2
2
t
t
2.06.2001
r.
___________________________________________________________________________
3
Zadanie 3.
%&# #
9
2
1
,...,
,
X
X
X
& "
2
,
N
z
nieznanymi parametrami
i
2
!'()*
na poziomie
95
.
0
1
-Studenta.
#"
2
1.
& *
2
,
0
dla wariancji, na poziomie
95
.
0
1
;
2.
#
9
96
.
1
,
9
96
.
1
X
X
dla w
" !
$**
9
96
.
1
9
96
.
1
Pr
X
X
p
.
(A) 9
.
0
)
1
(
2
p
(B) 9975
.
0
1
2
p
(C) 95
.
0
1
p
'(
(D) prawdopodobie
p
nieznanych parametrów
(E) 99
.
0
p
2.06.2001
r.
___________________________________________________________________________
4
Zadanie 4.
Niech
1
W i
2
W
#
"
w
e
w
f
)
(
, dla
0
w
! $ "
"
t
W
W
t
W
W
t
2
1
2
1
2
)
,
min(
Pr
lim
.
(A) 1/3
(B)
2
/
1
(C) 1
(D)
)
1
/(
(E) 0
2.06.2001
r.
___________________________________________________________________________
5
Zadanie 5.
#
W
X
Y
2
, gdzie X i
W
# X ma
2
3
,
0
N
i
W
2
2
,
0
N
!+
U
Y
X
i zmienne Y i
U
#
(A)
2
/
1
(B)
20
/
9
(C)
1
(D)
0
(E)
2
/
1
2.06.2001
r.
___________________________________________________________________________
6
Zadanie 6.
R
#"
,...
,...,
1
n
X
X
#
normalnym
1
,
0
N
. Niech
1
1
3
2
2
1
...
n
n
n
n
n
X
X
X
X
X
X
X
X
S
Wybierz zdanie prawdziwe:
(A)
"
n
c
#
)
(
/
Pr
lim
a
a
c
S
n
n
n
#" a
(B)
)
(
/
Pr
lim
a
a
n
S
n
n
#" a
(C)
)
(
/
Pr
lim
a
a
n
S
n
n
#" a
(D)
)
(
2
/
Pr
lim
a
a
n
S
n
n
#" a
(E)
)
(
/
Pr
a
a
n
S
n
#" a #" n
""
)
1
,
0
(
N
.
Wskazówka:
+
10000
S
usuniemy co setny wyra
,,
zmiennych losowych.
2.06.2001
r.
___________________________________________________________________________
7
Zadanie 7.
-#
N
X
X ,...
1
! % #
i
X
##
N
! ##
i
X
"
x
e
x
f
)
(
, dla
0
x
. Zmienna
N
ma
. Zarówno
0
jak i
0
!
Obserwujemy tylko
&
N
X
X ,...
1
, które
),!.
!
) #/,
15, 23, 11, 32, 19.
Na podstawie tych danych oblicz
parametrów
i
.
(A)
e
5
ˆ
,
1
.
0
ˆ
(B)
e
5
ˆ
,
05
.
0
ˆ
(C) 5
ˆ
,
2
.
0
ˆ
(D) 50
ˆ
,
50
/
)
10
(ln
ˆ
(E) 10
ˆ
,
2
ˆ
e
2.06.2001
r.
___________________________________________________________________________
8
Zadanie 8.
Niech K
#
10
/
1
Pr
k
K
dla
10
,...,
2
,
1
k
. Niech
.
0
;
1
k
K
gdy
k
K
gdy
X
k
5
4
3
2
1
5
X
X
X
X
X
S
Oblicz
)
,
(
5
1
S
X
Cov
.
(A) 5
/
1
)
,
(
5
1
S
X
Cov
(B) 10
/
1
)
,
(
5
1
S
X
Cov
(C) 0
)
,
(
5
1
S
X
Cov
(D) 20
/
1
)
,
(
5
1
S
X
Cov
(E) 20
/
1
)
,
(
5
1
S
X
Cov
2.06.2001
r.
___________________________________________________________________________
9
Zadanie 9.
Niech
m
n
n
X
X
X
X
,...,
,
,...,
1
1
&"
2
,
N
z nieznanymi
parametrami
i
2
. Obserwujemy zmienne
n
X
X ,...,
1
zmiennych:
m
i
i
m
X
m
X
1
1
!%0
m
n
c
,
#
n
i
m
i
m
n
X
X
c
1
2
,
)
(
1
#
2
.
(A) )]
/(
2
1
[
,
n
m
n
c
m
n
(B) 1
,
m
c
m
n
(C)
2
2
,
/
)
(
1
m
n
m
n
c
m
n
(D)
m
n
c
m
n
1
1
,
(E)
m
n
n
c
m
n
/
1
/
1
1
,
2.06.2001
r.
___________________________________________________________________________
10
Zadanie 10.
Zmienne losowe
9
1
,...X
X
#
i
X
1
,
i
N
dla
9
,...,
2
,
1
i
!-#
0
:
0
H
i
0
:
1
H
.
1)23+.45
0
H przeciw
alternatywie
1
H
025
.
0
.
(A) TJNM nie istnieje
(B) TJNM odrzuca
0
H wtedy i tylko wtedy, gdy
0228
.
19
/
9
1
2
i
X
i
i
(C) TJNM odrzuca
0
H wtedy i tylko wtedy, gdy
88
.
5
9
1
i
i
X
(D) TJNM odrzuca
0
H wtedy i tylko wtedy, gdy
285
96
.
1
9
1
i
i
X
i
(E) TJNM odrzuca
0
H wtedy i tylko wtedy, gdy
45
96
.
1
9
1
i
i
X
i
2.06.2001
r.
___________________________________________________________________________
11
Egzamin dla Aktuariuszy z 2 czerwca 2001 r.
Arkusz odpowiedzi
*
' .................. K L U C Z O D P O W I E D Z I ........................................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
$0 Punktacja
1 B
2 C
3 E
4 E
5 B
6 B
7 A
8 E
9 D
10 E
*
Arkuszu odpowiedzi.