1.1 Операции над матрицами

Матрицей(числовой) размеров m×n будем называть совокупность m⋅n чисел расположенных в виде таблицы состоящей из m строк и n столбцов и записывать в виде:

.

Элементы матрицы - это числа a_ij (
) составляющие её, где i - номер строки, j - номер столбца на пересечении которых находится элемент матрицы.

Матрицы называются равными, если они имеют одинаковый размер и все их соответствующие элементы равны. Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой и обозначается О.

Матрица для которой число строк равно числу столбцов называется квадратной. В случае квадратной матрицы вводятся понятия главной диагонали (это числа —
) и побочной диагонали (это числа —
). Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы расположенные вне главной диагонали равны нулю.

Диагональная матрица называется единичной и обозначается
, если все элементы стоящие на главной диагонали равны единице т.е.
, где
- символ Кронекера.

Квадратная матрица называется симметричной, если
и кососимметрической, если .
.

1.Сложение матриц

Определяется для матриц одинакового размера. Суммой матриц A и B, обозначаемой A+B, называется матрица C, элементы которой определяются по формуле: c_ij=a_ij+b_ij, где a_ij и b_ij, c_ij - соответственно элементы матриц A , B и С.

2.Умножение матрицы на число

Произведением матрицы A и числа λ, обозначаемым λA, называется матрица B той же размерности, элементы которой b_ij=ၬa_ij, где a_ij элементы матрицы A, т.е. при умножении матрицы на число надо все элементы матрицы умножить на это число.

Свойства

Пусть A, B, C - матрицы одного размера, ၡ, β любые действительные числа, тогда:

1. A+ B= B+ A(коммутативность),

2. (A+ B)+ C= A+(B+ C)(ассоциативность)

3. 
   (существование нейтрального элемента)

4. 
   (существование противоположного)

5. ၡ(A+B)= ၡA+ၡB,

6. (ၡ+β)A=ၡA+βA,

7. (ၡβ)A=ၡ(βA),

8. 1А=А.

(-1)A - противоположная к A и обозначается - A.

Степени квадратной матрицы. . Пусть
квадратная матрица,

Понятие матричного многочлена. Пусть
квадратная матрица и

- многочлен. Значение многочлена при
называется матрица

3.Транспонирование матриц

Матрица A^T, полученная из данной матрицы A заменой её строк столбцами с теми же номерами называется транспонированной:

4.Умножение матриц

Произведением матриц A_{m× n} и B_{n× p} называется матрица C_{m× p}= A B (или AB), элементы которой
, где
,
- элементы матриц A и B. Произведение AB существует только в том случае, когда первый множитель матрица A имеет число столбцов, равное числу строк второго множителя матрицы B.

Свойства умножения

1. AB≠ BA даже если оба произведения определены.

2. если существуют матрицы A,B, такие что AB= BA, тогда они называются перестановочными.

E - перестановочная с любой квадратной матрицей того же размера, т.е. AE=EA=A.

3. Умножение матриц ассоциативно, т.е. если определены произведения AB и (AB)C, то определены BC и A(BC) и выполняется равенство:

(AB)C=A(BC).

4. Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению, т.е.:

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC.

5. Для любого числа λ:

λ(AB)=(ၬA)B=A(ၬB).

6. 5. Если существует AB, то существует B^ТA^Т и выполняется равенство: (AB)^Т= B^ТA^Т.

Пример. 1.1. Даны матрицы:
,
,
. Указать матрицы которые можно складывать? Найти их сумму.

Р е ш е н и е. Матрицу
можно сложить с матрицей
, так как они имеют одинаковый порядок —
, и нельзя их сложить с матрицей
, так как она имеет порядок
.

Так как при сложении матриц складываются соответствующие

элементы, то

.

Пример. 1.2. Дана матрица:
, Найти
.

Р е ш е н и е. Для того, чтобы умножить матрицу на число надо все коэффициенты матрицы умножить на этот число. Имеем

Пример. 1.3. Даны матрицы:
,
.Указать порядок в котором матрицы можно перемножить? Найти произведение матриц .

Р е ш е н и е. Так как матрица
имеет порядок
, а матрицей
имеет порядок
, то число столбцов матрицы
равно числу строк матрицы
, следовательно
, существует. Число столбцов матрицы
не равно числу строк матрицы
, следовательно
, не существует.

Произведение
имеет порядок
. Найдем его

.

Пример. 1.4 Известно, что
. Найти порядок матрицы
.

Р е ш е н и е. По правилу умножения матриц число столбцов матрицы
равно числу строк матрицы
, следовательно так как матрица
имеет порядок
, то есть число ее столбцов равно 5, то и число строк матрицы
равно 5. Порядок матрицы
равен порядку матрицы
, то есть
следовательно
. Матрица
имеет порядок
.

Пример. 1.5. Даны матрицы:
,
.Найти элемент

если
и элемент
если
.

Р е ш е н и е. Элемент
расположен на пересечении 2-ой строки и 3-го столбца , следовательно он получается перемножением 2-ой строки матрицы
и 3-го столбца матрицы
:

.

Элемент
расположен на пересечении 2-ой строки и 3-го столбца , следовательно он получается перемножением 2-ой строки матрицы
и 3-го столбца матрицы
:

.

Очевидно
, следовательно
, то есть произведение матриц не коммутативно.

Пример. 1.6 Матрицы
и
называются перестановочными если
.

Найти все матрицы перестановочные с матрицей
если
.

Р е ш е н и е. Очевидно перестановочными могут быть только квадратные матрицы одинаковых порядков. Обозначим
искомую матрицу.

Посчитаем
, затем

где
— любые числа. Все перестановочные матрицы с исходной имеют вид:
.

Пример.1.7 Дана матрица
, найти А³.

А² = АА =

 =
; A³ =

=
 

отметим, что матрицы
и
являются перестановочными.

Пример. 1.8 Найти
, если:
,
.

Р е ш е н и е. Согласно определению многочлена от матрицы

Пример. 1.9 Найти
.

Р е ш е н и е. Возведем в квадрат

Пусть при возведении в
-ую степень имеем
.

Докажем, что при возведению
-ую степень имеем

.

Используя известные формулы :

,

имеем
При возведении в
-ую степень имеем
.

Пример. 1.10 Найти
, если
,

Р е ш е н и е.
. По свойствам транспонирования
, по условию
, равно
, поэтому
.

Пример. 1.11 Найти
, если

Р е ш е н и е. По свойствам транспонирования

,
.

Задачи для самостоятельной работы

1.1. Какие элементы в матрице
составляют главную диагональ, а какие побочную .

1. 2. Укажите какие из матриц являются диагональными:

,
,
,
.

1.3. Написать единичную матрицу пятого порядка.

1. 4. Даны матрицы
и
. Найти
.

1. 5. Доказать, что сумма двух симметричных матриц является симметричной.

1. 7 Найти матрицу
, если
.

1. 8 Известно, что
. Найти
.

1. 9 Даны матрицы
и
. Найти
.

1.10 Даны матрицы
. Укажите все возможные произведения матриц.

1.11. Вычислить произведение
, где

.

1.12. Посчитать количество операций умножения и сложения при перемножении
матрицы
и
матрицы
.

1.13Показать, что матрица
является корнем многочлена

.

1.14 Найти все матрицы перестановочные с матрицей
если

.

1.15 Найти
.

1.16 Найти матрицу
если
.

1.17 Найти матрицу
если

.

1.18. Можно ли умножить строку длины
на столбец высоты
?

1.20. Можно ли умножить строку длины
на столбец высоты
?

1.21. транспонировать матрицу
.

---