PRZESTRZENIE METRYCZNE:

Niech x0 i niech każdej parze elementów x,yX przyporządkowana będzie liczba rzeczywista g(x,y), taka że:

(1) g(x,y)0 oraz g(x,y)=0 x=y

(2) g(x,y) = g(y,x)

(3) z X, g(x,y) g(x,z) + g(z,y)

Wtedy g(x,y) nazywamy odległością elementu x,y; G- metryka w X, a para (x,y) - przestrzeń metryczna

np. metryka Euklidesowa:

x=Rn X=(t1, t2, t3,..., tn) Y=(s1, s2, ..., sn) g(x,y) =

75. Definicja i własności granicy ciągu, ciąg ograniczony, warunek Cauchy'ego, przestrzeń metryczna zupełna.

Def. granicy ciągu

Ciąg elementów przestrzeni metrycznej X nazywamy zbieżnym jeżeli :

Własności podstawowe ciągu :

1. ciąg nie ma więcej niż jednej granicy

2. jeśli ciąg jest od pewnego miejsca stały tzn.

to ciąg jest zbieżny do c

3. jeśli w ciągu zbieżnym zamienić, dodać lub odjąć skończoną liczbę wyrazów to ciąg pozostanie zbieżny do tej samej granicy.

4. Podciąg nieskończony ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy (podciąg = ciąg wyrwany).

5. Ciąg jest zbieżny do wtedy i tylko wtedy gdy każdy ciąg z niego wyrwany zawiera podciąg zbieżny do .

Def. ciągu ograniczonego :

Ciąg nazywamy ograniczonym gdy istnieje kula K taka, że

Ciąg zbieżny jest ograniczony

Warunek Cauchy'ego:

Ciąg elementów przestrzeni metrycznej x spełnia warunek Cauchy'ego (jest

ciągiem Cauchy'ego) gdy dla:

Każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy'ego.

Przestrzeń metrycza zupełna

Przestrzeń metryczną X nazywamy zupełną, gdy każdy ciąg Cauchy'ego jej elementów jest zbieżny do pewnego jej elementu.

77. Własności ciągów zbieżnych, twierdzenie o średnich arytmetycznych, twierdzenie o średnich geometrycznych.

Własności ciągów zbieżnych:

1. Jeśli ciąg () jest ograniczony i () zbieżny do 0 to () *() jest zbieżny do 0.

2. Jeśli ciągi (),() są zbieżne (mają granicę) oraz istnieje , , to

3. Jeśli ciągi (),() są zbieżne to zbieżne są ciągi (+),(-),(*) oraz (c*) c=const

ponadto :

Jeśli ponadto założymy, że to ciągjest zbieżny.

Twierdzenie o średnich arytmetycznych

Jeżeli to ,

Tw. o średnich geometrycznych

Jeżeli to ,

82. Kryteria zbieżności szeregów.

1. Porównawcze

jeśli n>No

-zbieżność

-rozbieżność

2. Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego.

Jeżeli istnieje 0<Θ<1 taka, że dla n>No

Θ to to szereg jest zbieżny

Jeżeli 1 to szereg jest rozbieżny.

3. Kryterium de'Alemberta

Jeśli w ciągu to ciąg jest zbieżny

Ciąg elementów przestrzeni metrycznej <x,g> nazywamy zbieżnym do elementu xX, jeżeli:

Własności ciągów:

(1) Ciąg nie ma więcej niż jednej granicy.

(2) Jeżeli ciąg jest od pewnego miejsca stały, tzn. Xn = c to ciąg jest zbieżny do c

78. Ciągi liczbowe, def. Cauchy'ego granicy ciągu liczbowego, działania na ciągach zbieżnych , twierdzenie o 3 ciągach, ciągi monotoniczne.

Tw. o 3 ciągach :

Jeżeli dane są ciągi (an), (bn), (cn) i od pewnego miejsca istnieje N takie że n>N i zachodzi a_n a_n <= b_n <= c_n oraz to b_n jest zbieżny i = k

Ciągi motoniczne :

Ciąg ograniczony i motoniczny jest zbieżny R a_n+1- a_n > 0 to rosnący , a_n+1- a_n < 0 to malejący

a_{n+1 /}a_n >1 - rosnący, a_{n+1 /}a_n <1- malejący.

79. Granica niewłaściwa ciągu.

Ciąg a_n nazyw. rozbieżnym do ∞ (-∞) jeśli dla każdego a istnieje N, że dla każd. n > N a_n >A (a_n <A)

= ∞ (-∞)

Działania na ciagach rozbieżnych:

1) an->(-)+∞ i dla każd. n an ≠0 to (1/ an ) ->0 (n->∞)

2) an->0 i an>0 (an<0) to 1/an ->∞ (-∞)

3) an->+∞ i bn->+∞ lub bn zbiezny to an+bn ->+∞

4) an->-∞ i bn ->-∞ lub zbieżny to an-bn->-∞

5) an->+∞ i bn ->-∞ lub zbieżny to an-bn->+∞

6) an->-∞ i bn ->+∞ lub zbieżny to an-bn->-∞

7) ∞*∞=∞ ;∞*(-∞ )= - ∞; ∞*g = ∞; ∞*(-g) = -∞ (g>0)

Tw. Stoltza :

Niech bn rosnący - bn ->∞ i an jest taki że :

wtedy

81. Def. szeregów nieskończonych

Niech Sn = a₁+ a₂ +...+ a_n , jeśli Sn ( ciąg sum częsciowych ) jest zbieżny do S to liczbę S nazywamy sumą szeregu : - szereg zbieżny do S

Szereg geometryczny : Si = |x| <1

Szereg harmoniczny : nie jest zbieżny

Działania liniowe :

1) jeśli an i bn są zbieżne to oraz

Warunek konieczny zbieżności szeregu :

83. Szeregi o wyrazach dowolnych

Kryterium Abela zbieżności szeregów :

Jeśli an >=0 i nierosnący oraz szereg to szereg

Kryterium Dirichleta : jeśli ciąg an jest nierosnący i dąży do 0 oraz i S_n ograniczony to szereg

Szereg naprzemienny

Kryterium Leibnitza : warunkiem koniecznym i wystarczającym zbieznego szeregu naprzemiennego jest ; |a₁ |>=| a₂ |... >=|a_n|

Bezwzględna zbieżność szeregu - jeżeli zbieżny to wyjściowy zbieżny bezwzględnie else z kryt. Leibnitza (jeśli spełnione to warunkowo zbieżny else bezwzgędnie rozbieżny )

84. Mnożenie szeregów, tw. Cauchy'ego o mnoż. szeregów

85.Funkcje trygonometryczne, cyklometryczne, hiperboliczne - odwrotne do nich

;,x > 1

-1<x<1

cosh²x- sinh²x=1

86. DEF. GRANICY FUNKCJI:

- otoczenie punktu w przestrzeni metrycznej <X,gx> i niech y<Y,gy> będzie przestrzenią metryczną.

Element g Y nazywamy granicą funkcji f:-{ }Y w punkcie , gdy:

TW. O JEDNOZNACZNOśCI GRANICY:

Jeśli elementy g' i g'' są granicami funkcji f(), to g'=g''

Załóżmy, że g'g'' istnieje taka odległość (g',g'')>0

=0.5g(g',g'')

sprzeczność

Def . granicy wg Cauchy'ego:

Def. granicy wg Heinego:

Ciągłość funkcji:

Funkcję : nazywamy ciągłą w punkcie iff posiada granicę g w tym punkcie i g=f()

wg Cauchy'ego

wg Heinego:

Def. granicy:

(1) lewostronnej: Funkcja f ma granicę lewostronną w p. g, jeśli:

(2) prawostronnej:

(3) niewłaściwej w +∝ w p.,jeśli:

(4) niewłaściwą w -∝ w p., jeśli:

NIECIĄGŁOŚĆ FUNKCJI:

Niech funkcja f będzie określona i ograniczona w pewnym otoczeniu (-a, +a), a>0 punktu i niech będzie nieciągła w tym punkcie. Mówimy, że:

(1) funkcja f ma w nieciągłość pierwszego rodzaju, o ile ma granicę jednostronną f(x) lub ; przy tym jeśli f(x) ma granicę f(x), to nieciągłość w punkcie nazywamy usuwalną, a jeśli nie ma tej granicy, to nieciągłość tę nazywamy nieusuwalną.

(2) nieciągłość drugiego rodzaju, o ile nie istnieje choćby jedna z granic jednostronnych.

TW. O WŁASNOŚCI DARBOUX:

Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale I, gdzie , I i przyjmuje dwie różne wartości ,;<; y1=f(),y2=f() i to funkcja f w <,> przyjmuje wszystkie wartości pośrednie pomiędzy

Istnieje takie, że f()= i <,>

Symbole O-duże i o-małe

f(n)=o(g(n)), tzn. rzędu mniejszego od g(n)

f(n)=Og(n), tzn. f(n) jest rzędowo nie większe od g(n)

, f(n) i g(n) są rzędowo takie same

TW. O TRZECH CIĄGACH:

Jeżeli ciągi () i () są zbieżne do tej samej granicy g i jeśli () jest ciągiem, którego prawie wszystkie wyrazy spełniają nierówność podwójną , to także ciąg jest zbieżny, a jego granica jest równa g.

87. POCHODNA FUNKCJI W PUNKCIE:

Jeżeli istnieje granica ilorazu różnicowego, to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie .

Jeśli funkcja f ma pochodną w punkcie , to styczną do krzywej y=f(x) w punkcie nazywamy prostą przechodzącą przez punkt (,f()) o współczynniku kierunkowym f'(), natomiast normalną nazywamy prostą przechodzącą przez (,f()) i prostopadłą od stycznej.

styczna: y=f'(x)(x-)+f()

normalna: y =

TW. O RÓŻNICZKOWALNOSCI FUNKCJI:

Niech f będzie określone w pewnym otoczeniu p. o wartościach rzeczywistych lub zespolonych, f jest różniczkowalna w p. istnieje taka liczba a, że f(+h)=f()+h*a+h*(;h) dla dostatecznie małych h gdzie (;h) jest funkcją taką, że ;

Jeżeli warunek ten jest spełniony, to f'()=a

Wniosek: Jeśli f jest różniczkowalna w p. , to jest ciągła w punkcie .

TW. O POCHODNEJ FUNKCJI ZŁOŻONEJ:

Jeżeli funkcja g jest różniczkowalna w punkcie i g() = i funkcja f jest różniczkowalna w, to jest różniczkowalna w i f'(g())=f'(g())g'().

Niech f będzie określona , ciągła i ściśle monotoniczna w pewnym otoczeniu punktu i niech f posiada w otoczeniu p. pochodną f'()0, wtedy funkcja odwrotna posiada pochodną w punkcie równą f() i ()()=

88. Ekstremum lokalne funkcji, warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego, tw. Rolla, tw. Lagrange'a,

tw. Cauchy'ego, warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego przy pomocy pierwszej pochodnej.

TW. O EKSTREMUM LOKALNYM FUNKCJI:

Niech funkcja f o wartościach rzeczywistych będzie określona w pewnym otoczeniu punktu R (-a, +a), a>0. Mówimy, że funkcja f ma w p. maximum lokalne, gdy istnieje taka liczba >0, a, że jeżeli < to f(x)≤f(). Mówimy natomiast, że funkcja f ma w p. minimum lokalne, gdy istnieje taka liczba >0, że < f'(x)≥f().Jeśli w określeniach zmienimy nierówności na ostre, to mówimy o maksimum/minimum lokalnym właściwym.

WAR. KONIECZNY ISTNIENIA EKSTR. LOKALNEGO:

Jeżeli funkcja f o wartościach należących do R, określona w pewnym otoczeniu p. i mająca pochodną w p , posiada ekstremum lokalne w p. , to pochodna f'()=0.

TW. ROLLA:

Jeżeli f o wart. należących do R jest ciągła w <a,b>, ab i różniczkowalna w (a,b) oraz f(a) = f(b), to istnieje taki punkt (a,b), że f'()=0.

TW. LAGRANGE'A:

Jeżeli funkcja rzeczywista f jest ciągła w <a,b> oraz jest różniczkowalna w (a,b), to istnieje liczba c (a,b) taka, że f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).

TW. CAUCHY'EGO O WART. ŚREDNIEJ:

Jeżeli funkcje f i g o wartościach rzeczywistych są ciągłe i różniczkowalne w (a,b) oraz g'(x)0 w (a,b), to istnieje taka liczba(a,b),że:

TW. O MONOTONICZNOŚCI FUNKCJI:

Niech f o wart. rzeczywistych będzie różniczkowalna w każdym przedziale (a,b)

(1) f. niemalejąca, iff f'(x) ≥0 (2) f. nierosnąca iff f'(x) ≤0

(1a) f. rosnąca iff f'(x) >0 (2b) f. malejąca f'(x)<0

WARUNEK DOSTATECZNY ISTNIENIA EKSTREMÓW LOKALNYCH:(pierwsza poch.)

Niech f o wart. rzecz. będzie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu ,

(1) jeśli dla , to funkcja ma maksimum lokalne w p.

(2) jeśli dla , to funkcja ma minimum lokalne w p.

WARUNEK DOSTATECZNY ISTNIENIA EKSTREMÓW LOKALNYCH:

Załóżmy, że funkcja f posiada pochodną n-tego rzędu w punkcie i w otoczeniu punktu jest określona oraz f'() = f”() = ... = () = 0 natomiast (x)0.

Jeżeli n jest liczbą parzystą, to funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie ,przy czym:

(a) ()>0 minimum lokalne

(b) ()<0 maximum lokalne

Jeżeli n jest liczbą nieparzystą brak ekstremum

91. WZOR LEIBNITZA NA N-TĄ POTEGĘ ILOCZYNU

TW. TAYLORA Z RESZTA PEANO:

Jeżeli funkcja jest określona w otoczeniu p. o wartościach rzeczywisych, ma pochodną n-tego rzędu w p.

, to dla (n)<S zachodzi równość

Szereg McLaurena

92. Punkt przegięcia, war. dostateczny i konieczny istnienia, wypukłość i wklęsłość funkcji.

Niech f ma pochodną w pukcie , jeżeli istnieje *>0, że f(x)-f()-f'()*(x-)0 dla 0<x-<*

i f(x)-f()-f()*(x-)0 dla 0<x-<*

WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA PUNKTÓW PRZEGIĘCIA:

Jeżeli funkcja ma pochodną f”(x) w punkcie i jest punktem przegięcia f, to f”() =0.

WARUNEK DOSTATECZNY ISTNIENIA PUNKTÓW PRZEGIĘCIA:

Niech funkcja f ma n-tą pochodną w punkcie, niech f”() = ... = () = 0 i ()0

(a) Jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to funkcja ma punkt przegięcia w punkcie , jeżeli:

(1) ()>0, to funkcja przegina się z pod stycznej nad styczną

(2) ()<0, to funkcja przegina się z nad stycznej pod styczną

(b) Jeżeli n jest liczbą parzystą brak punktów przegięcia

TW. O WKLĘSŁOŚCI I WYPUKŁOŚCI

Niech f ma druga pochodną f” w przedziale (a,b), wtedy (1) f jest wypukła w (a,b) f”(x)0

(2) f jest wklęsła w (a,b) f”(x) 0

93. Różniczka funkcji, określenie, zastosowanie do obliczeń przybliżonych, rodzaje błędów, przykłady.

Niech będzie dana funkcja y=f(x) różnicznowalna w pewnym otoczeniu punktu S=(-a;+a) a>0

oraz przyrost x=x- ,+x S

y = f(+x)- f() (df(x))= f'()*x = f'()*dx df(x)= f'(x)dx f'(x)=

f(x+x) = f(x)+f'(x)*x f'(x)0

dx - błąd bezwzględny zmiennej x

dy - błąd bezwzględny zmiennej y

x - błąd max. zmiennej x

y - błąd max. zmiennej y

*y - błąd względny max. wartości funkcji f(x)

*y =

DEFINICJA CAŁKI NIEOZNACZONEJ:

Całką nieoznaczoną albo funkcją pierwotną z funkcji f w przedziale (a,b) nazywamy taką funkcję F różniczkowalna w (a,b), że F'(x)=f(x) axb. Jeżeli całka nieoznaczona w f istnieje, to f będzie funkcją całkowalną.

TW. O STAŁEJ CAŁKOWANIA:

1. Jeżeli F jest całką nieoznaczoną z f w (a,b), to G(x) = F(x) + C; C=const w (a,b)

2. Jeśli F i G są całkami nieoznaczonymi funkcji f w (a,b), to F(x) - G(x) = C; C=const w (a,b)

TW. O CAŁKOWALNOŚCI FUNKCJI CIAGŁEJ:

Jeżeli funkcja jest ciągła w <a,b>, to jest całkowalna w (a,b).

Jeżeli F'(x) = f(x), to F(x) =.∫f(x)dx

strona 8/1

---