Pochodne i różniczki
Pochodne i różniczki
funkcji jednej zmiennej
funkcji jednej zmiennej
Pochodne i różniczki
Pochodne i różniczki
funkcji jednej zmiennej
funkcji jednej zmiennej
Przyrost funkcji (przyrost
Przyrost funkcji (przyrost
zmiennej zależnej y).
zmiennej zależnej y).
)
(
)
(
0
0
x
f
x
x
f
y
Przyrost
Przyrost
zmiennej
zmiennej
niezależnej
niezależnej
(przyrost argumentu)
(przyrost argumentu)
0
0
x
x
x
Iloraz różnicowy
Iloraz różnicowy
DEF:
Ilorazem różnicowym funkcji f(x) między
punktami i nazywamy stosunek
przyrostu zmiennej zależnej do
przyrostu zmiennej niezależnej.
0
x
x
x
0
y
x
x
x
f
x
x
f
x
y
)
(
)
(
0
0
Przykład:
Oblicz iloraz różnicowy dla funkcji
w punkcie , i przyrostu .
1
2
)
(
3
x
x
x
f
2
0
x
x
Pewne interpretacje ilorazu
Pewne interpretacje ilorazu
różnicowego:
różnicowego:
• Iloraz różnicowy jest tangensem kąta
nachylenia siecznej AB, przechodzącej
przez punkty
i
z dodatnim kierunkiem osi Ox
.
• Traktując drogę S jako funkcję czasu t,
czyli S=f(t), można zinterpretować iloraz
różnicowy
jako
średnia
prędkość
poruszającego się ciała w odstępie czasu
.
• Traktując ładunek elektryczny jak Q, który
przepływa
przez
pewien
przekrój
przewodnika jako funkcję czasu t, czyli
Q=f(t), można powiedzieć, że iloraz
różnicowy oznacza średnie natężenie
prądu w odstępie czasu .
))
(
,
(
0
0
x
f
x
A
))
(
,
(
0
0
x
x
f
x
x
B
t
t
Pochodna funkcji
Pochodna funkcji
DEF:
Pochodną funkcji y=f(x) w punkcie nazywamy granicę
ilorazu różnicowego (o ile istnieje), przy założeniu, iż
przyrost zmiennej niezależnej dąży do zera.
0
x
x
)
(
,
),
(
0
0
0
x
y
dx
dy
x
f
x
x
Oznaczenia:
x
x
f
x
x
f
x
f
x
)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
Jeśli nie istnieje granica właściwa ilorazu różnicowego (***) to
mówimy, że pochodna nie istnieje.
)
(
'
0
x
f
Pewne interpretacje
Pewne interpretacje
pochodnej:
pochodnej:
1. Pochodna funkcji f(x) w danym punkcie jest tangensem
kąta nachylenia α, jaki styczna do wykresu funkcji w punkcie
tworzy z dodatnim kierunkiem osi 0x.
1. Granica ilorazu różnicowego (*) oznacza prędkość
poruszającego się ciała
0
x
))
(
,
(
0
0
x
f
x
A
(*)
)
(
)
(
0
0
t
t
f
t
t
f
t
S
3. Granica ilorazu różnicowego (**) oznacza natężenie prądu
w chwili
0
t
(**)
)
(
)
(
0
0
t
t
f
t
t
f
t
Q
DEF:
Pochodną prawostronną funkcji f(x)w punkcie , nazywamy
granicę ilorazu różnicowego przy założeniu, iż przyrost
zmiennej niezależnej dąży do zera przez wartości dodatnie.
0
x
x
x
x
f
x
x
f
x
f
x
)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
'
DEF:
Pochodną lewostronną funkcji f(x) w punkcie , nazywamy
granicę ilorazu różnicowego przy założeniu, iż przyrost
zmiennej niezależnej dąży do zera przez wartości ujemne.
0
x
x
x
x
f
x
x
f
x
f
x
)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
'
TW. 1
Warunkiem wystarczającym i koniecznym na to, aby funkcja f(x)
miała pochodną w punkcie , jest aby istniały w tym punkcie
obie pochodne jednostronne i były równe.
0
x
)
(
)
(
)
(
'
0
'
0
'
0
x
f
x
f
x
f
TW. 2
Jeżeli funkcja f(x) ma pochodna w punkcie , to jest w tym
punkcie ciągła.
0
x
Przykład:
Zbadaj istnienie pochodnej funkcji f(x)=|x|, w punkcie
0
0
x
DEF:
Jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie , to mówimy, że
funkcja ta jest różniczkowalna w tym punkcie.
0
x
DEF:
Funkcję f(x) nazywamy różniczkowalną w
przedziale otwartym(a,b) wtedy, gdy posiada
pochodną w każdym punkcie tego przedziału.
DEF:
Funkcję f(x) nazywamy różniczkowalną w przedziale
domkniętym <a,b> wtedy, gdy jest różniczkowalna
w przedziale otwartym (a,b) oraz istnieją pochodne
jednostronne i .
)
(
'
a
f
)
(
'
b
f
Gdy funkcja f(x) ma pochodną w każdym punkcie pewnego
Zbioru otwartego X, to każdemu punktowi
przyporządkowana jest dokładnie jedna wartość f’(x). Określono
więc funkcję, którą oznaczać będziemy symbolem f’(x) lub y’
i nazywać pochodną funkcji f(x).
Znajdowanie pochodnej funkcji f(x) nazywamy różniczkowaniem
funkcji f(x).
Ogólne reguły obliczania
Ogólne reguły obliczania
pochodnych
pochodnych
x
x
x
x
x
x
nx
x
c
n
n
sin
)'
(cos
cos
)'
(sin
1
)'
(ln
)'
(
0
)'
(
1
TW. 3
Jeżeli istnieje pochodna f’(x) funkcji f(x) w punkcie , to
dla każdego istnieje pochodna i wyraża się wzorem:
Df
x
R
c
]
)
(
[
x
cf
)
(
'
)]'
(
[
x
cf
x
cf
TW. 4
Jeżeli istnieją pochodne f’(x) i g’(x) w punkcie , to
istnieją pochodne i wyraża się
wzorem:
Dg
Df
x
)]'
(
)
(
[
,
)]'
(
)
(
[
,
)]'
(
)
(
[
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
.
0
)
(
,
)]
(
[
)
(
'
)
(
)
(
)
(
'
)
(
)
(
),
(
'
)
(
)
(
)
(
'
)]'
(
)
(
[
),
(
'
)
(
'
)]'
(
)
(
[
2
x
g
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
.
1
)'
(
,
1
)'
(
,
)'
(
,
)'
(
,
sin
1
)'
(
,
cos
1
)'
(
2
2
2
2
x
sh
cthx
x
ch
thx
shx
chx
chx
shx
x
ctgx
x
tgx
TW. 5
Jeżeli funkcja x=g(y) ciągła i ściśle monotoniczna w przedziale
(a,b) ma pochodną g’(y)≠0 w punkcie to funkcja y=f(x)
odwrotna do niej posiada pochodną w punkcie
i wyraża się wzorem:
),
,
(
0
b
a
y
)
(
0
y
g
x
).
(
,
)
('
1
)
(
'
0
0
0
0
x
f
y
y
g
x
f
.
1
1
)'
(
,
1
1
)'
(
,
1
1
)'
(arccos
,
1
1
)'
(arcsin
,
)'
(
2
2
2
2
x
arcctgx
x
arctgx
x
x
x
x
e
e
x
x
Przykład:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
)
1
cos
sin
(
cos
cos
cos
sin
cos
1
cos
cos
cos
1
1
)'
(
1
)'
(
1
1
)'
(ln
1
)'
(
x
y
tg
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
tgy
arctgx
e
y
y
y
e
x
x
TW. 6
Jeżeli funkcja g(x) jest różniczkowalna i przyjmuje wartość
w punkcie , zaś funkcja f(u) jest określona w otoczeniu
punktu i różniczkowalna w tym punkcie, to funkcja
złożona y=f[g(x)] jest różniczkowalna w punkcie , przy czym:
0
u
0
x
0
u
0
x
)
(
'
)
(
'
)]}'
(
[
'
{
)
(
'
0
0
0
0
x
g
u
f
x
g
f
x
y
DEF:
Pochodną logarytmiczną różniczkowalnej funkcji f(x) o dodatnich
wartościach nazywamy pochodna jej logarytmu naturalnego.
'
)
(
ln
)
(
)
(
'
)
(
)
(
'
'
)
(
ln
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
DEF:
Różniczką funkcji f(x) w punkcie w punkcie ze względu
na przyrost nazywamy iloczyn i oznaczamy
symbolem tzn.:
0
x
x
x
x
f
)
(
'
0
)
(
0
x
df
x
x
f
x
df
)
(
'
)
(
0
0
Można udowodnić wzór, który wykorzystywany przy obliczeniach przybliżonych,
przy czym popełnia się dowolnie mały błąd, jeżeli przyrost jest dostatecznie bliski zeru.
dx
x
f
x
f
dx
x
f
x
x
x
x
d
x
x
f
x
f
x
x
f
)
(
'
)
(
)
(
1
)'
(
)
(
)
(
'
)
(
)
(
Przykład:
Oblicz przybliżoną wartość wyrażeń:
4
2
,
0
3
17
31
sin
9
,
0
ln
19
,
26
o
e
Pochodne i różniczki wyższych
Pochodne i różniczki wyższych
rzędów
rzędów
DEF:
Jeżeli funkcja pochodna f’(x) ma pochodna w każdym punkcie
, to tę pochodną oznaczamy symbolem f’’(x) lub
i nazywamy
pochodną rzędu drugiego
.
X
x
)
(
)
2
(
x
f
)]'
(
'
[
:
)
(
''
x
f
x
f
Ogólnie:
,....
3
,
2
,
1
)]'
(
[
:
)
(
)
1
(
)
(
n
x
f
x
f
n
n
DEF:
Jeżeli funkcja f(x) posiada w pewnym punkcie pochodną (lub
zbiorze punktów) pochodną rzędu n, to mówimy, że jest ona
w tym punkcie (zbiorze punktów) n krotnie różniczkowalna.
DEF:
Różniczką rzędu n funkcji f(x) w punkcie dla przyrostu
(różniczki) zmiennej niezależnej x nazywamy różniczkę
różniczki rzędu (n-1), obliczoną dla tej funkcji przy tej samej
wartości .
0
x
x
x
x
x
f
x
df
)
(
'
)
(
0
0
n
n
n
x
x
f
x
f
d
x
x
f
x
f
d
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
df
)
)(
(
:
)
(
)
)(
(
''
:
)
(
)
(
''
)]'
(
'
[
]'
)
(
'
[
)]'
(
[
0
0
2
0
0
2
0
0
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ ;-)
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ ;-)