RACHUNEK RÓŻNICZKOWY JEDNEJ ZMIENNEJ
I JEGO ZASTOSOWANIA
Niech będzie dana funkcja f(x) określona w pewnym otoczeniu punktu x
0
.
Def. Ilorazem różnicowym funkcji f(x) w punkcie
X
x
0
o przyroście h (
)
r
;
x
(
U
h
x
0
0
)
nazywamy wyrażenie
h
)
x
(
f
)
h
x
(
f
)
h
,
x
(
R
0
0
0
Def. Pochodną funkcji f(x) w punkcie x nazywamy granicę skończoną ilorazu różnicowego przy h
dążącym do zera
h
0
h
0
df (x)
f (x
h) f (x)
f '(x)
lim R(x, h)
lim
dx
h
.
Na przykład pochodną funkcji
2
f (x)
2x
1
jest
x
4
'
y
, co można obliczyć korzystając z definicji
pochodnej:
x
4
)
h
2
x
4
(
lim
h
1
x
2
1
h
2
xh
4
x
2
lim
h
]
1
x
2
[
]
1
)
h
x
(
2
[
lim
0
h
2
2
2
0
h
2
2
0
h
.
Tw. Jeżeli istnieją
)
x
(
f
oraz
)
x
(
g
, to
)
x
(
'
g
)
x
(
'
f
)]'
x
(
g
)
x
(
f
[
)
x
(
f
)
x
(
'
g
)
x
(
g
)
x
(
'
f
)]'
x
(
g
)
x
(
f
[
jeśli
0
)
x
(
g
, to
)
x
(
g
)
x
(
f
)
x
(
'
g
)
x
(
g
)
x
(
'
f
)
x
(
g
)
x
(
f
2
'
Tw. (o pochodnej funkcji złożonej)
Jeżeli
)
x
(
g
u
ma pochodną
)
x
(
'
g
oraz
y
)
u
(
f
ma pochodną
)
u
(
'
f
, to funkcja złożona
y
))
x
(
g
(
f
ma pochodną w postaci:
)
x
(
'
g
))
x
(
g
(
'
f
))]'
x
(
g
(
f
[
'
y
Interpretacja geometryczna pochodnej (odpowiednie rysunki były przedstawione na
wykładzie)
Wartość ilorazu różnicowego funkcji f(x) obliczona w punkcie x
0
oraz dla przyrostu argumentu h jest
równa tangensowi nachylenia kąta siecznej wykresu przechodzącej przez punkty (x
0
,f(x
0
)) oraz
(x
0
+h,f(x
0
+h)). Gdy przyrost argumentu h dąży do zera, sieczna wykresu zbliża się do stycznej.
Interpretacja geometryczna pochodnej
Zapamiętajmy:
Wartość ilorazu różnicowego funkcji f(x) obliczona w punkcie x
0
oraz dla przyrostu
argumentu h jest równa tangensowi nachylenia kąta siecznej wykresu przechodzącej przez
punkty (x
0
,f(x
0
)) oraz ( x
0
+h,f(x
0
+h)).
Gdy przyrost argumentu h dąży do zera, sieczna wykresu zbliża się do stycznej.
Pochodną funkcji wyznaczamy licząc granicę ilorazu różnicowego przy h dążącym do zera.
Wartość pochodnej
)
x
(
'
f
funkcji
)
x
(
f
w punkcie x
0
równa się tangensowi kąta
nachylenia stycznej do wykresu funkcji
)
x
(
f
w punkcie (x
0
, f(x
0
)).
*
Pochodną funkcji y = sinx jest
x
cos
)
x
(
y
. Wartość pochodnej w punkcie x = 0 wynosi:
4
tg
1
)
0
(
'
y
, co oznacza, że sinusoida przechodzi przez punkt (0,0) pod kątem
4
do osi 0X.
*
Funkcja
x
y
jest określona dla
0
x
jej pochodna
x
2
1
'
y
jest określona dla x>0.
Oznaczmy
)
x
(
kąt nachylenia stycznej do wykresu w punkcie (x, y(x)).
)]
x
(
[
tg
lim
x
2
1
lim
)
x
(
'
y
lim
0
x
0
x
0
x
,
oznacza to, że wykres funkcji
x
y
„podchodzi” prostopadle do osi 0X w prawostronnym
otoczeniu punktu x
0
=0.
*
Funkcja
x
y
nie posiada pochodnej w punkcie x=0:
*
W punkcie, w którym funkcja nie jest ciągła nie istnieje pochodna tej
funkcji (ciągłość funkcji
jest warunkiem koniecznym istnienia pochodnej funkcji):
Styczną do wykresu funkcji f(x) w punkcie (x
0
, f(x
0
)) opisuje równanie
)
x
x
)(
x
(
'
f
)
x
(
f
y
0
0
0
,
które zapisane w postaci jawnej ma postać
)
x
)
x
(
f
)
x
(
f
(
x
)
x
(
f
y
0
0
0
0
. Współczynnik
kątowy stycznej ma wartość
)
x
(
f
0
, współczynnik przesunięcia
)
x
)
x
(
f
)
x
(
f
(
0
0
0
.
Np. styczna L
x
do wykresu funkcji
1
x
x
y
2
3
w punkcie o współrzędnej x = 1 jest opisana
wzorem: y = 5x– 4, który otrzymujemy z następujących obliczeń:
x
2
x
3
'
y
2
,
5
2
3
)
1
(
'
y
,
y(1) = 1,
y – 1 = 5(x–1) ostatecznie:
y = 5x–4.
Różniczka funkcji jednej zmiennej, obliczanie przybliżonych wartości wyrażeń:
Def. Różniczką df(x
0
) funkcji f(x) w punkcie x
0
dla przyrostu
x
zmiennej niezależnej x nazywamy
iloczyn
x
)
x
(
'
f
)
x
(
df
df
0
0
Jeżeli funkcja f(x) posiada pochodną
)
x
(
'
f
0
w punkcie x
0
, to przyrost funkcji
)]
x
(
f
)
x
x
(
f
[
0
określonej w pewnym otoczeniu
)
r
;
x
(
U
0
punktu x
0
, takim, że
)
r
;
x
(
U
)
x
x
(
0
0
można wyrazić w
postaci
)
(
)
(
'
)
(
)
(
0
0
x
o
x
x
f
x
f
x
x
f
f
, gdzie wartość
)
x
(
o
jest nieskończenie małą rzędu
wyższego niż
x
, tzn.
0
x
)
x
(
o
lim
0
x
(szybciej zbliża się do zera niż
x)
Dlatego dla małych wartości
x
przyrost wartości funkcji można przybliżyć różniczką funkcji
df
x
x
f
x
o
x
x
f
f
x
f
x
x
f
)
(
'
)
(
)
(
'
)
(
)
(
0
0
)
,
(
0
x
x
df
df
f
Różniczka funkcji zależna jest od argumentu x
0
oraz przyrostu argumentu
x.
Wykorzystując różniczkę można wyznaczyć przybliżoną wartość funkcji
df
)
x
(
f
f
)
x
(
f
)
h
x
(
f
f
)
x
(
f
)
h
x
(
f
0
0
0
0
0
)
,
(
)
(
)
(
0
0
0
h
x
df
x
f
h
x
f
Na przykład wartość y = x
2
w punkcie x
0
= 1,03:
1
x
03
,
1
x
0
, h = 0,03
różniczka
06
,
0
03
,
0
1
2
2
)
03
,
0
;
1
(
)
,
(
0
h
x
df
h
x
df
wartość funkcji obliczona w przybliżeniu
06
,
1
03
,
0
1
2
1
)
03
,
1
(
y
wartość funkcji obliczona dokładnie
0609
,
1
)
03
,
1
(
)
03
,
1
(
y
2
.
Błąd przybliżenia
0009
,
0
df
f
.
Błędem bezwzględnym
|
f
|
jest
|
)
x
;
x
(
df
|
0
,
błędem względnym jest iloraz
)
x
(
f
)
x
;
x
(
df
f
f
0
0
, który wygodnie jest wyrażać w procentach.
Definicja ekstremów funkcji f(x). Twierdzenie Rolle’a, Lagrange’a, warunki istnienia
ekstremów, monotoniczność funkcji
Def. Mówimy, że f(x) ma w punkcie x
0
maksimum (minimum) lokalne, jeżeli istnieje sąsiedztwo
punktu
)
r
;
x
(
S
,
x
0
0
takie, że
)
x
(
f
)
x
(
f
0
)
r
,
x
(
S
x
0
,
))
x
(
f
)
x
(
f
(
0
Tw. (Rolle’a) Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym
b
,
a
, ma pierwszą pochodną
wewnątrz tego przedziału oraz
)
b
(
f
)
a
(
f
, to istnieje taki punkt
)
b
,
a
(
c
, że
0
)
c
(
'
f
Twierdzenie, to orzeka, że gdy spełnione są założenia, to istnieje taki punkt wykresu funkcji
))
c
(
f
,
c
(
,
że styczna do wykresu w tym punkcie jest równoległa do osi 0X.
Tw.(war. konieczny istnienia ekstremum) Jeżeli f(x) ma ekstremum w punkcie x
0
oraz ma pochodną
w tym punkcie, to
0
)
x
(
'
f
0
.
Tw. (Lagrange’a) Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym
b
,
a
oraz ma pierwszą
pochodną wewnątrz tego przedziału
))
b
,
a
(
x
(
, to istnieje punkt
)
b
,
a
(
c
, że
)
a
b
)(
c
(
'
f
)
a
(
f
)
b
(
f
.
Teza tego twierdzenia mówi, że istnieje taki punkt c, że styczna do wykresu funkcji w punkcie (c,f(c))
jest równoległa do siecznej przechodzącej przez (a,f(a)) i (b,f(b)).
Wniosek: Monotoniczność funkcji w przedziale (a,b) jest równoważna określonemu znakowi
pochodnej funkcji f(x) w tym przedziale.
Niech x
1
i x
2
będą dowolnymi punktami przedziału A, oraz
2
1
x
x
. Zgodnie z twierdzeniem
Langrage’a
)
x
x
)(
c
(
f
)
x
(
f
)
x
(
f
1
2
1
2
, przy czym
)
x
,
x
(
c
2
1
. Ponieważ
0
)
x
x
(
1
2
, to:
1
o
0
)
x
(
f
)
x
(
f
0
)
c
(
f
1
2
(funkcja
rosnąca
w
przedziale
A).
2
o
0
)
x
(
f
)
x
(
f
0
)
c
(
f
1
2
(funkcja malejąca w przedziale A).
Tw. Jeżeli f(x) ma pochodną w zbiorze (a,b) oraz:
-
jeżeli
)
b
,
a
(
x
,
0
)
x
(
'
f
, to f(x) jest funkcją rosnącą w (a,b).
-
jeżeli
,
0
)
x
(
'
f
dla
)
b
,
a
(
x
, to f(x) jest funkcją malejącą w (a,b).
Definicja wklęsłości, wypukłości wykresu funkcji f(x), warunek istnienia punktu
przegięcia wykresu funkcji f(x)
Def. Krzywa o równaniu
)
x
(
f
y
nazywa się wklęsłą (wypukłą) w przedziale (a,b) jeżeli jest
położona nad (pod) styczną poprowadzoną w dowolnym punkcie
))
x
(
f
,
x
(
,
)
b
,
a
(
x
Tw. Krzywa o równaniu
)
x
(
f
y
, gdzie f(x) jest funkcją mającą drugą pochodną w przedziale (a,b)
jest:
wklęsła, gdy
0
)
x
(
f
,
wypukła, gdy
0
)
x
(
f
dla
)
b
,
a
(
x
.
Def. Gdy f(x) jest funkcją mającą ciągłą pierwszą i drugą pochodną w otoczeniu punktu
))
r
;
x
(
U
x
(
x
0
0
i jeśli f(x) jest wypukła dla
)
r
;
x
(
S
x
0
oraz wklęsła dla
)
r
;
x
(
S
x
0
(lub na
odwrót) to x
0
nazywamy punktem przegięcia krzywej o równaniu y = f(x).
Wniosek:
Jeśli x
0
jest punktem przegięcia krzywej o równaniu
)
x
(
f
y
, to
0
)
x
(
f
0
.
Dlatego, żeby znaleźć punkty przegięcia funkcji, należy znaleźć miejsca zerowania się drugiej
pochodnej tej funkcji.
Asymptoty funkcji. Twierdzenie de l’Hospitala
Def. Asymptotą ukośną (poziomą, gdy a = 0) funkcji (odpowiednio prawo lub lewostronną)
nazywamy prostą y=ax+b taką, że
0
)]
b
ax
(
)
x
(
f
[
lim
)
(
x
;
Tw. Współczynniki asymptoty ukośnej funkcji f(x) wyrażają się wzorami:
x
)
x
(
f
lim
a
)
(
x
;
]
ax
)
x
(
f
[
lim
b
)
(
x
Jeżeli granica funkcji przy
)
(
x
jest skończona i równa g, to prosta o równaniu y=g jest
asymptotą poziomą tej funkcji (odpowiednio prawo lub lewostronną).
Asymptoty ukośne mogą być wyznaczane, gdy granica funkcji przy
)
(
x
jest równa
)
(
.
Def. Asymptotą pionową (odpowiednio prawo lub lewostronną) nazywamy prostą o równaniu x = x
0
,
gdy
)
x
(
f
lim
)
x
(
x
x
0
0
)
(
Uwaga: Znając granice funkcji na krańcach dziedziny znamy asymptoty poziome i pionowe (o ile one
istnieją).
Obliczając granice funkcji lub wyznaczając asymptoty często pojawiają się tzw. wyrażenia
nieoznaczone. Ich sens poznaliśmy już przy okazji obliczania granic ciągów. Są one następujące:
1
,
,
0
,
,
0
,
,
0
0
0
0
W przypadku, gdy wystąpi wyrażenie typu
,
0
0
, wygodnie jest stosować następujące
twierdzenie:
Tw. (de l’Hospital’a) Jeżeli
1.
)
x
(
g
)
x
(
f
oraz
)
x
(
'
g
)
x
(
'
f
są określone w pewnym sąsiedztwie punktu x
0
2.
)
(
)
x
(
g
lim
)
x
(
f
lim
0
0
x
x
x
x
lub
0
)
x
(
g
lim
)
x
(
f
lim
0
0
x
x
x
x
3. istnieje granica
)
x
(
'
g
)
x
(
'
f
lim
0
x
x
(właściwa albo niewłaściwa) , to istnieje granica
)
x
(
g
)
x
(
f
lim
0
x
x
i zachodzi
równość
)
x
(
'
g
)
x
(
'
f
lim
)
x
(
g
)
x
(
f
lim
0
0
x
x
x
x
Tw. to jest twierdzeniem umożliwiającym łatwe obliczenie granicy funkcji, w której potrafimy
wyróżnić iloraz
)
x
(
g
)
x
(
f
, przy czym licznik i mianownik przy
0
x
x
jednocześnie dążą do
nieskończoności lub zera, np.:
2
H
x
x
x
2
2
2
1
ctgx
0
(ctgx) '
sin x
lim
lim
lim
1
0
1
x
x
2
2
H
x
0
x
0
sin x
0
cos x
lim
lim
1
x
0
1
Uwaga:
Nie zawsze reguła de l’Hospitala jest skuteczna, np.:
x
x
x
x
x
x
x
H
x
sin
1
cos
1
lim
cos
sin
lim
, granica otrzymanego wyrażenia nie istnieje. Jednak granica
funkcji
x
x
x
x
x
cos
sin
lim
istnieje, równa się 1 (łatwo ją wyznaczyć korzystając z twierdzenia o trzech
ciągach).
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji prowadzi do naszkicowania wykresu tej funkcji. Wykonując
kolejne etapy należy analizować wcześniejsze wyniki. Wygodnie jest rysować wykres etapami. Można
wszystkie wyniki zebrać w całość w tabeli, która da podstawę do naszkicowania wykresu.
Etapy badania zmienności funkcji:
1. Określenie D
f
.
2. Obliczenie granic na krańcach dziedziny.
3. Wyznaczenie asymptot.
4. Obliczenie pierwszej pochodnej funkcji.
5. Wyznaczenie przedziałów monotoniczności.
6. Wyznaczenie ekstremów funkcji.
7. Obliczenie drugiej pochodnej funkcji.
8. Zbadanie przedziałów wklęsłości i wypukłości funkcji oraz wyznaczenie punktów przegiecia.
Szkic wykresu funkcji (ew. na podstawie tabelki).
Document Outline