RACHUNEK RÓśNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Zad 1. Korzystając z definicji pochodnej funkcji znaleźć pochodną funkcji określonej wzorem: a. f(x)=cos2x w pkt x

0

1

b. f(x)=sin

x w pkt x

2

0

π

c. f(x)=cos2x w pkt x =

0

4

d. f(x)=x 2 -X+3 w pkt x =3

0

e. f(x)=

x w pkt x >0

0

Zad 2. Obliczyć pochodną funkcji:

1

3

13

a. y=

x 3 -

x 4 +

x 5 -2x 6

3

2

5

2

b. y=

- 3 x + 4 x

x

c. y= (3x+2) 1 − x

2

d. y=

2

x − 5 x + 1

3 x

f. y=

2

x + 1

g. y= sin 2 3 x

h. y= 3ctgx + ctg 3 x

i. y= e cos 2 x

j. y= lnsinx

k. y= x 3 .3 x

1

l. y= x.arctgx -

ln(x 2 +1)

2

2 x

m. y= arccos

2

1 − x + arctg

2

1 − x

n. y= log sinx

x

o. y= log lnx

x

p. y= sinhx + 2cosh 2 x

q. y= tgh 2 x − ctgh 2 x

r. y= x sin x

s. y= sinx cos x

t. y= (1+x 2 ) arcsin 2 x

u. y= 4 arcsin 2 x 5

5

1 − x cos 5 7x

Zad 3. Znaleźć równania stycznych do krzywych będących wykresem funkcji: x −1

a. y=arcsin

w punkcie przecięcia z osią Ox,

2

2

b. y= e x −2 w punkcie przecięcia z y=e 2

c. y= x x w punkcie o odciętej x=e ln x

d. y=

w punkcie o odciętej x=e

x

Zad 4. Znaleźć na krzywej y=lnx punkt w którym styczna jest równoległa do prostej x + 4y – 4=0.

Zad 5. Znaleźć równanie prostej normalnej do krzywej y= xlnx i równoległej do prostej 2x +2y +3 =0.

Zad 6. Wyznaczyć pochodną drugiego rzędu funkcji : 1

1

a. y= xarctgx -

ln(1 + x 2 ) -

(arctgx) 2

2

2

2

1 − x

b. y= arcsin

2

1 + x

c. y= t[sin(lnt) + cos(lnt)]

d. y= (arcsinx) 2

e. y= ln(1 + x 2 )

f. y= xe sin x

Zad 7. Wyznaczyć pochodną rzędu n-tego funkcji : a. y= e x

b. y= lnx

c. y= sinx

d. y= cosx

e. y= x n

Zad 8. Sprawdzić czy dana funkcja spełnia podane równanie : x

− x

e − e

a. y=

, y '' − y = 0

2

''

1

b. y= xsinx + cosxlncosx, y + y =

cox

c. y= e x cos x , y IV +4 y =0

Zad 9. Wyznaczyć różniczki danych funkcji : a. y= lncosx + arcctg 2 x + 1

ln x

b. y=

x

c. y=sin 2 3 x

2

d. y= x x

e. y= log ( arctgx)

x

Zad 10. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia korzystając z różniczki : a. arctg 1.05

b. arctg 0.97

c. tg 46 0

d. ln 1.02

e. 4 1 .

5 8

f.

4 82

g. 3 63

Zad 11. Sprawdzić, czy funkcja spełnia założenia twierdzenia Rolle’a. Jeśli tak, to wyznaczyć stałą c, o której mowa w twierdzeniu:

π 5

a. f(x)= lnsinx, x∈

,

6

π

6

2

2 − x

b. f(x)=

, x∈ − 1

,

1

4

x

c. f(x)= x , x∈ − ,

2 2

Zad 12. Nie znajdując pochodnej funkcji w(t)=( t + 2) ( t + 1 ) ( t – 3 ) t wykazać, że równanie w’(t)=0 ma dokładnie 3 pierwiastki rzeczywiste oraz wyznaczyć przedziały w których one się znajdują.

Zad 13. Sprawdzić, czy funkcja spełnia założenia twierdzenia Lagrange’a. Jeśli tak, to wyznaczyć stałą c, o której mowa w twierdzeniu: a. f(x)=

x , x∈ ,

1 4

b. f(x)= x - x 3 , x∈ − 1

,

2

Zad 14. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji: a. y= xlnx

2

b. y= x 2

x

e−

c. y= x 2 lnx

d. y= 3

2

x e − x

e. y= x x

Zad 15. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji: a. y= x 3 −12 x

b. y= 2x 3 −15 2

x + 36 x −14

c. y= x

2

1 − x

d. y= 2 3

5

x -5 3

2

x + 1

e. y= − x

2 x

e

+ e

f. y= 2 − x

x e

1

g. y=

x

xe

1

h. y= lnx +

ln x

i. y= (lnx) 2 - 2lnx

x

j. y=

ln x

k. y= 1 + arctg( x − )

1

l. y= x

x

Zad 16. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji: a. y= 4

x − 2 2

x + 5 na przedziale − ,

2 2

b. y= x − 2 x na przedziale

,

0 4

c. y= x 2 ln x na przedziale , 1 e

Zad 17.

a. W kulę o promieniu R wpisano walec o największej objętości. Znaleźć wymiary tego walca.

b. W kulę o promieniu R wpisano prostopadłościan, którego podstawa ma pole S.

Obliczyć wymiary prostopadłościanu o największej objętości.

c. W kulę o promieniu R wpisano walec obrotowy. Obliczyć przy jakiej wartości promienia r podstawy walca pole jego powierzchni bocznej S jest największe.

Zad 18. Wyznaczyć przedziały wklęsłości ,wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji: a. y= 4

x − 6 2

x − 6 x + 1

b. y= 3

x − 3 x − 2

c. y= ln(

2

1 + x )

d. y= (ln x ) 2 −2ln x

1

e. y= arctg

x

f. y=

5

3 − ( x + )7

2

g. y= 4 ( x − )5

1

+ 20 ( x − )3

1

1

h. y= ( x

) 1

1

−

−

x

e

Zad 19. Obliczyć granicę funkcji: e x −1

a. lim

x→ o sin x

e x − e− x

b. lim

x→ o

x

x − sin x

c. lim

3

x→ o

x

ln(ln x)

d. lim

x→∞

x

x

− x

e − e

e. lim

x

− x

x→∞ e + e

x − sin x

f. lim

x→∞ x + sin x

ln x

g. lim

+

x→ o ln sin x

 1

1 

h. li 

m

−



x→ o  x

sin x 

i. lim [ x( arcctgx − π )]

x→−∞

1

j. lim(ln x) x

x→∞

6

k.

1+2

x

lim x

ln

x→ +

o

1

2

 tgx  x

m. lim



x→0 x 

1



 x

2

n. lim

arccos x 

x→0 π



Zad.20 Wyznaczyć asymptoty funkcji:

x − 4

a. y=

ln x

1 − x

b. y=

1 + x

1

c. y=

2

x − 4 x − 5

1

d. y= xe x

1

2

e. y= xe x

1

f.

y= ( x − 2) x−2

e

g. y= xarctgx

x

h. y= 2x+arctg

2



1 

i.

y= xln  e +





x 