Parametry zbioru 

Parametry zbioru 

ziarn

ziarn



Wielkość ziarna. 

Wielkość ziarna. 



Skład ziarnowy materiału.

Skład ziarnowy materiału.

 

 



Analizy granulometryczne (składu 

Analizy granulometryczne (składu 

ziarnowego).

ziarnowego).



Gęstość nasypowa, porowatość i 

Gęstość nasypowa, porowatość i 

wilgotność materiału 

wilgotność materiału 

uziarnionego. 

uziarnionego. 



Analiza sedymentacyjna

Analiza sedymentacyjna

 

 

1

m                   10m                100m              1000m            1cm                    10cm       

1

10

100

1 000

10 000

100 000

Wielkość ziarna, 

m

Separatory strumieniowo-zwojowe

Płuczki strumieniowe, stożki Reicherta 

Stoły powietrzne                    

  (węgiel)

(rudy)

Stoły szlamowe

Stoły koncentracyjne 

węgiel 

Hydrocyklony                    

 

(węgiel)

Separator Bartles-Mozley

Sep. Tasmowy Bartles

Flotacja                                

(węgiel)

Floculacja selektywna

Mokra  separacja magnetyczna LI 

Mokra  separacja magnetyczna HI (wysokie natężenie) 

Sucha  separacja magnetyczna LI

Separacja elektryczna

Wychwytywanie

Osadazarki

wêgiel 

 os. 

promieniowe

Sortowanie (przebieranie)

Rospuszczalność

Hydrocyklony

      

Separatory głębokie      Separatory płytkie 

Przewodnictwo elektrycz.

Gęstość i wielkość ziarn 

podatność magnetyczna

własności powierzchniowe

Kolor, postać

Gęstość (ciecze ciężkie)

Wielkość ziarn

Mokre       Przesiewanie     Suche

Klasyfikacja hydrauliczna

 

 

Średnica ziarna d, m

Średnica ziarna d, m

średnia arytmetyczna: 

średnia arytmetyczna: 

 

 

średnia geometryczna:  

średnia geometryczna:  

średnia harmoniczna: 

średnia harmoniczna: 





3

c

b

a

d

g







2

c

b

a

d

a







1

h

c

1

b

1

a

1

3

1

d

































Rozmiary główne ziarna 3D:

Rozmiary główne ziarna 3D:

              

              

a - długość, m

a - długość, m

              

              

b - szerokość, m

b - szerokość, m

              

              

c - wysokość, m

c - wysokość, m

Jeżeli możliwy jest bezpośredni pomiar 

Jeżeli możliwy jest bezpośredni pomiar 

ziarna, to średnica może być okreslona 

ziarna, to średnica może być okreslona 

jako:

jako:

 

 

Średnica zastępcza ziarna:

Średnica zastępcza ziarna:

3

3

2407

,

1

6

z

z

z

V

V

d









Średnica ziarna d, m

Średnica ziarna d, m

gdzie:

gdzie:

 V

 V

z

z

 - 

 - 

objętość ziarna, m

objętość ziarna, m

3

3

Średnica zastępcza ziarna

Średnica zastępcza ziarna

 

 

odpowia-dająca  średnicy kuli o tej 

odpowia-dająca  średnicy kuli o tej 

samej objętości co rozpatrywane 

samej objętości co rozpatrywane 

ziarno:

ziarno:

Objętość  

Objętość  

kuli:

kuli:

6

3

d

V

K





 

 

Średnica zastępcza ziarna:

Średnica zastępcza ziarna:





z

z

A

d

Średnica ziarna d, m

Średnica ziarna d, m

gdzie:

gdzie:

 

 

A

A

z

z

 - pole powierzchni ziarna, 

 - pole powierzchni ziarna, 

m

m

Średnica zastępcza ziarna

Średnica zastępcza ziarna

 równa  

 równa  

średnicy kuli o tej samej powierz-

średnicy kuli o tej samej powierz-

chni co rozpatrywane ziarno:

chni co rozpatrywane ziarno:

 

 

pole powierzchni 

pole powierzchni 

kuli:

kuli:

2

K

d

A





 

 

Średnica projekcyjna ziarna:

Średnica projekcyjna ziarna:

Średnica ziarna d, m

Średnica ziarna d, m

gdzie:

gdzie:

 

 

A - pole powierzchni rzutu 

A - pole powierzchni rzutu 

             

             

ziarna na płaszczyznę

ziarna na płaszczyznę

Średnica projekcyjna jest 

Średnica projekcyjna jest 

średnicą koła, które ma takie 

średnicą koła, które ma takie 

samo pole powierzchni F jak rzut 

samo pole powierzchni F jak rzut 

prostopadły  ziarna na 

prostopadły  ziarna na 

płaszczyznę

płaszczyznę

A

1284

,

1

A

d

p









4

d

A

2





koło

 

 

Sferyczność ziarna 

Sferyczność ziarna 





 określa stosunek powierzchni kuli 

 określa stosunek powierzchni kuli 

o tej samej objętości co rozpatrywane ziarno do 

o tej samej objętości co rozpatrywane ziarno do 

powierzchni tego ziarna:

powierzchni tego ziarna:

      

      

        

        

A

A

K

K

 - pole powierzchni kuli

 - pole powierzchni kuli

        

        

A

A

z

z

 - pole powierzchni ziarna

 - pole powierzchni ziarna

1

A

A

z

K

V

V

z

K





















Wartości współczynników 

Wartości współczynników 

sferyczności wybranych figur:

sferyczności wybranych figur:

       

       

walec h=d                       0,874

walec h=d                       0,874

       

       

regularny ośmiościan     0,846

regularny ośmiościan     0,846

       

       

sześcian                         0,806

sześcian                         0,806

       

       

czworościan foremny     0,670

czworościan foremny     0,670

       

       

dysk d=10h                    0,471

dysk d=10h                    0,471

Sferyczność ziarna:

Sferyczność ziarna:

 

 

Współczynnik kształtu

Współczynnik kształtu

 ziarna 

 ziarna 

stanowi odwrotność sferycznosci:

stanowi odwrotność sferycznosci:

1

1







k

Dla procesów przesiewania

Dla procesów przesiewania

:

:

 stosuje się 

 stosuje się 

współczynnik kształtu oparty na wyznaczaniu 

współczynnik kształtu oparty na wyznaczaniu 

wymiarów głównych 

wymiarów głównych 

ziarn:

ziarn:

c

b

k 

b lub a - szerokość, długość, m.

b lub a - szerokość, długość, m.

c - wysokość, m

c - wysokość, m

 

 

1. Skład ziarnowy (rozkład wielkości ziarn)

1. Skład ziarnowy (rozkład wielkości ziarn)

2. Minimalna i maksymalna średnica ziarn

2. Minimalna i maksymalna średnica ziarn

3. Średni rozmiar ziarn

3. Średni rozmiar ziarn

4. Powierzchnia właściwa zbioru ziarn

4. Powierzchnia właściwa zbioru ziarn

5. Porowatość

5. Porowatość

6. Sferyczność zbioru ziarn

6. Sferyczność zbioru ziarn

Parametry zbioru ziarn

Parametry zbioru ziarn

 

 

Zbiór ziarn może być scharakteryzowany przez 

Zbiór ziarn może być scharakteryzowany przez 

średnicę reprezentatywną zbioru lub przez 

średnicę reprezentatywną zbioru lub przez 

funkcję opisującą rozkład wielkości ziarn

funkcję opisującą rozkład wielkości ziarn

 

 

wyrażonych masą, objętością, powierzchnią lub 

wyrażonych masą, objętością, powierzchnią lub 

pewną cechą morfologiczną ziarna. W praktyce 

pewną cechą morfologiczną ziarna. W praktyce 

rozkłady wielkości ziarn mineralnych wyrażamy  

rozkłady wielkości ziarn mineralnych wyrażamy  

najczęściej przez 

najczęściej przez 

rozkład ich masy

rozkład ich masy

, ze względu 

, ze względu 

na łatwość jej oszacowania.

na łatwość jej oszacowania.

   

   

Jeżeli zbiór ziarn o masie 

Jeżeli zbiór ziarn o masie 

Q

Q

 przesiejemy 

 przesiejemy 

kolejno na sitach o średnicach oczek: 

kolejno na sitach o średnicach oczek: 

d

d

m

m

>d

>d

m-

m-

1

1

>. . . >d

>. . . >d

i

i

. . . . >d

. . . . >d

2

2

>d

>d

1

1

, to otrzymamy n=m+1 

, to otrzymamy n=m+1 

podzbiorów ziarn o masach q

podzbiorów ziarn o masach q

i

i

. Średnice ziarn 

. Średnice ziarn 

zawarte w przedziale

zawarte w przedziale

     d

     d

i-1

i-1

÷ d

÷ d

i

i

 

 

nazywamy 

nazywamy 

klasą ziarnową

klasą ziarnową

 ,

 ,

 a ilość (masę) tych ziarn 

 a ilość (masę) tych ziarn 

wychodem

wychodem

 tej klasy. 

 tej klasy. 

Skład ziarnowy

Skład ziarnowy

 

 

=d

m

=d

m-1

=d

2

NADAWA, Q

+d

m

, q

m

(+d

m-1

-d

m

), q

m-1

Klasy ziarnowe:

Sita o coraz 
mniejszych 
otworach

=d

1

(+d

2

-d

3

), q

3

(+d

1

-d

2

), q

2

-d

1

, q

1

Badania składu ziarnowego - analiza ziarnowa 

Badania składu ziarnowego - analiza ziarnowa 

(granulometryczna, sitowa)

(granulometryczna, sitowa)

 

 

Aparat do wykonywania analiz 

Aparat do wykonywania analiz 

składu ziarnowego

składu ziarnowego

 

 

W analizach ziarnowych posługujemy się 

W analizach ziarnowych posługujemy się 

najczęściej 

najczęściej 

wychodami względnymi klasy:

wychodami względnymi klasy:

 

 

 

 

które możemy nazywać 

które możemy nazywać 

częstością klasy

częstością klasy

.

.

Posługujemy się też 

Posługujemy się też 

 funkcją 

 funkcją 

skumulowaną:

skumulowaną:

 







n

i

i

i

1

d

f

)

d

(

F

co oznacza:

co oznacza:

F(d

F(d

1

1

)=f(d

)=f(d

1

1

)

)

F(d

F(d

2

2

)=f(d

)=f(d

1

1

) + f(d

) + f(d

2

2

)

)

F(d

F(d

3

3

)=f(d

)=f(d

1

1

) + f(d

) + f(d

2

2

) + f(d

) + f(d

3

3

)

)

itd

itd







Q

i

i

q

)

d

(

f

 





max

min

d

f

)

(

F

d

d

i

i

i

d

d

d

 

 

Wartość argumentu  d

Wartość argumentu  d

i

i

 w funkcji F(d

 w funkcji F(d

i

i

) oznacza 

) oznacza 

prawostronną granicę przedziału wartości 

prawostronną granicę przedziału wartości 

reprezentującego i-tą klasę ziarnową czyli 

reprezentującego i-tą klasę ziarnową czyli 

dokładnie d

dokładnie d

i

i

F(d

F(d

0

0

)=0,  F(d

)=0,  F(d

n

n

)=1,  gdzie n - liczba klas 

)=1,  gdzie n - liczba klas 

ziarnowych

ziarnowych

Funkcje 

Funkcje 

F(d

F(d

i

i

)

)

f(d

f(d

i

i

)

)





(d

(d

i

i

) = 1-F(d

) = 1-F(d

i

i

)

)

nazywamy 

nazywamy 

krzywymi składu ziarnowego

krzywymi składu ziarnowego

, 

, 

            

            

charakterystykami ziarnowymi, 

charakterystykami ziarnowymi, 

     

     

charakterystykami granulometrycznymi

charakterystykami granulometrycznymi

 

 

Wyniki badania składu ziarnowego 

Wyniki badania składu ziarnowego 

(analizy ziarnowej)

(analizy ziarnowej)

Klasa

ziarnowa, mm

d

i -1

– 

d

i

Środek

przedziału

d

i

*

prawostronna

granica 

d

i

q

i

, g f(d

i

), %

F(d

i

)

 %

(d

i

),

%

-2,0+0,0

1,0

0,0

0,0

0,0

0,0

100,0

-5,0+2,0

3,5

2,0

3,0

4,1

4,1

95,9

-8,0+5,0

6,5

5,0

13,0

17,6

21,6

78,4

-10,0+8,0

9,0

8,0

28,0

37,8

59,5

40,5

-14,0+10,0

12,0

10,0

25,0

33,8

93,2

6,8

+14,0

14,0

5,0

6,8

100,0

0,0

suma

74,0

100,0

(

(

)

)









n

n

i=1

i=1

i

i

i

d

d

f

f

)

)

d

d

(

(

F

F





(d

(d

i

i

) = 100-F(d

) = 100-F(d

i

i

)

)

 

 

0

10

20

30

40

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

Wielkość ziarna d

i

 , mm

f(

d

i

),

 %

Rozkład wielkości ziarn: krzywa częstości f(d

Rozkład wielkości ziarn: krzywa częstości f(d

i

i

)

)

(

(

funkcja gęstości rozkładu wielkości ziarn

funkcja gęstości rozkładu wielkości ziarn

) 

) 

 

 

0

10

20

30

40

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

Wielkość ziarna d

i

 , mm

f(

d

i

),

 %

Rozkład wielkości ziarn: krzywa częstości f(d

Rozkład wielkości ziarn: krzywa częstości f(d

i

i

)

)

(

(

funkcja gęstości rozkładu wielkości ziarn

funkcja gęstości rozkładu wielkości ziarn

) 

) 

 

 

0

10

20

30

40

0

5

10

15

20

Wielkość ziarna d

i

 , mm

f(

d

i

),

 %

Rozkład wielkości ziarn: krzywa częstości f(d

Rozkład wielkości ziarn: krzywa częstości f(d

i

i

)

)

(

(

funkcja gęstości rozkładu wielkości ziarn

funkcja gęstości rozkładu wielkości ziarn

) 

) 

G

G

ęstość rozkładu określa udział cząstek w przedziale  

ęstość rozkładu określa udział cząstek w przedziale  

d

d

i-

i-

1

1

÷ d

÷ d

i

i

 

 

 

 

0

20

40

60

80

100

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

Wielkość ziarna d

i

, mm

f(

d

i

),

 F

(d

i

),

 %

f(d

i

)

F(d

i

)

Rozkład wielkości ziarn: krzywa częstości f(d

Rozkład wielkości ziarn: krzywa częstości f(d

i

i

)

)

 

 

i krzywa skumulowana F(d

i krzywa skumulowana F(d

i

i

)

)

 

 

0

20

40

60

80

100

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

Wielkość ziarna d

i

, mm

f(

d

i

),

 F

(d

i

),

 %

f(d

i

)

F(d

i

)

Rozkład wielkości ziarn: krzywa częstości f(d

Rozkład wielkości ziarn: krzywa częstości f(d

i

i

)

)

 

 

i krzywa skumulowana F(d

i krzywa skumulowana F(d

i

i

)

)

 

 

0

20

40

60

80

100

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

wielkość ziarna d

i

, mm

F

(d

i

),

 

(d

i

),

 %

Wykresy krzywych składu ziarnowego 

Wykresy krzywych składu ziarnowego 

F(d

F(d

i

i

) i 

) i 





(d

(d

i

i

)

)

(d

i

)

F(d

i

)

 

 

Opisywane krzywe składu ziarnowego F(d

Opisywane krzywe składu ziarnowego F(d

i

i

) 

) 

i 

i 





(d

(d

i

i

) są krzywymi całkowymi i można 

) są krzywymi całkowymi i można 

je zapisać w postaci:

je zapisać w postaci:

- funkcji rosnącej

- funkcji rosnącej

 

 

 









d

0

d

d

dx

x

f

dx

x

f

d

F

min

- funkcji malejącej

- funkcji malejącej

 

 

 

d

F

1

dx

x

f

d

max

d

d











 

 

W prognozowaniu procesów przeróbczych, 

W prognozowaniu procesów przeróbczych, 

badaniach teoretycznych i w analizach 

badaniach teoretycznych i w analizach 

statystycznych zjawisk fizycznych związanych z 

statystycznych zjawisk fizycznych związanych z 

przeróbką kopalin, ważną rolę odgrywają 

przeróbką kopalin, ważną rolę odgrywają 

modele matematyczne krzywych składu 

modele matematyczne krzywych składu 

ziarnowego

ziarnowego

.

.

Rozkład Gausa (normalny)

Rozkład Gausa (normalny)



















































x

2

G

dx

x

2

1

exp

2

1

)

x

(

F

Y

x - średnica ziarna
 - wartość średnia
 =

 =                            - odchylenie 

             standardowe zmiennej x

 







n

1

i

i

i

x

x

f

  













n

1

i

2

i

i

x

x

f

 

 

Rozkład Gatesa-Gaudina-Schumana

Rozkład Gatesa-Gaudina-Schumana

Y

Y

GGS

GGS

 = F(x) = x

 = F(x) = x

b

b

 ,          b>0

 ,          b>0

gdzie:

gdzie:

b - parametr kształtu funkcji

b - parametr kształtu funkcji

                

                

0 

0 





 x 

 x 





 1 

 1 

jest względną średnicą ziarna:

jest względną średnicą ziarna:

min

max

min

d

d

d

d

x







Parametr kształtu funkcji b można oszacować na 

Parametr kształtu funkcji b można oszacować na 

podstawie empirycznej krzywej składu 

podstawie empirycznej krzywej składu 

ziarnowego metodą największej wiarygodności:

ziarnowego metodą największej wiarygodności:

 























n

1

i

i

i

x

ln

x

f

1

b

gdzie:

gdzie:

    

    

f(x

f(x

i

i

) - częstość klasy ziarnowej

) - częstość klasy ziarnowej

 

 

Rozkład Rosina-Ramlera-Sperlinga (RRS)

Rozkład Rosina-Ramlera-Sperlinga (RRS)

 

 

(Rozkład Weibulla)

(Rozkład Weibulla)

gdzie    a – wielkość charakterystyczna ziarna

            x – względna lub bezwzględna średnica 
ziarn
            b – parametr kształtu określany analitycznie 

b

RRS

a

x

exp

1

)

x

(

F

Y

































 

0

b

,

632

,

0

e

1

1

x

F

x

a











Parametry równania RRS wyznacza się graficznie nanosząc 
dane punkty doświadczalne krzywej składu ziarnowego w 
układzie współrzędnych linearyzyjącym funkcję F(x): 
log x – log log       lub  ln x – ln ln

F

1

F

1

 

 

Średni rozmiar ziarna w zbiorze ziarn

Średni rozmiar ziarna w zbiorze ziarn

 

z

d

d

z

z

z

d

d

d

d

d

f

max

min







 

x

d

x

f

x

x

max

min

x

x











ROZKŁAD

ZASTOSOWANIE

N (normalny,

Gausa)

Mielenie zboża, produkty z

suszarek rozpylających

RRSB

Mielenie surowców mineralnych

(rozdrabnianie drobne)

GGS

Kruszenie surowców

(rozdrabnianie grube)

 

 

Powierzchnia właściwa zbioru ziarn

Powierzchnia właściwa zbioru ziarn

Powierzchnia zbioru ziarn odnoszona jest zwykle do ich 

Powierzchnia zbioru ziarn odnoszona jest zwykle do ich 

jednostki objętości lub masy. Bezwzględna wartość 

jednostki objętości lub masy. Bezwzględna wartość 

powierzchni zbioru N (

powierzchni zbioru N (

N=

N=





) ziarn kulistych opisywana jast 

) ziarn kulistych opisywana jast 

wzorem:

wzorem:

natomiast ich objętość zależnością:

natomiast ich objętość zależnością:

 

z

d

d

z

i

z

z

d

d

d

N

S

z

z

d

f

max

min

2









 

z

d

d

z

i

z

z

d

d

d

N

V

z

z

d

f

6

max

min

3









Powierzchnia właściwa 

Powierzchnia właściwa 

odniesiona do jednostki 

odniesiona do jednostki 

objętości:

objętości:

z

z

V

V

S

s 

 

 

Gęstość i gęstość nasypowa 

Gęstość i gęstość nasypowa 

materiału uziarnionego

materiału uziarnionego

3

s

s

s

m

kg

,

V

Q





3

,

m

N

g

V

g

s

s

s

s









Q

Ciężar 

Ciężar 

właściwy:

właściwy:

3

p

s

p

s

0

.

nas

m

kg

,

V

V

V















Q

Q

Q

Gęstość objętościowa

Gęstość objętościowa

 materiału 

 materiału 

uziarnionego

uziarnionego

 (nasypowa, usypowa, pozorna):

 (nasypowa, usypowa, pozorna):

gdzie: 

gdzie: 

     

     

Q

Q

s

s

 - 

 - 

masa ziarn (ciała stałego)

masa ziarn (ciała stałego)

     

     

Q

Q

p 

p 

- masa medium w porach między ziarnami.  

- masa medium w porach między ziarnami.  

Q

Q

s

s

 +

 +

 

 

Q

Q

p

p

 = 

 = 

Q

Q

     

     

V

V

s

s

 , 

 , 

V

V

p

p

 - 

 - 

objętość ziarn (ciała stałego) i porów,   

objętość ziarn (ciała stałego) i porów,   

V

V

s

s

 + 

 + 

V

V

p 

p 

V = 

V = 

V

V

     

     

Q, V

Q, V

 - masa i objętość ziarn wraz z  medium w porach

 - masa i objętość ziarn wraz z  medium w porach

     

     

g - przyspieszenie ziemskie

g - przyspieszenie ziemskie

 

 

Wilgotność materiału uziarnionego

Wilgotność materiału uziarnionego

Porowarość materiału uziarnionego

Porowarość materiału uziarnionego

V

V

p





Q

Q

 = 

 = 

Q

Q

s

s

+ 

+ 

Q

Q

p

p

 = 

 = 





s

s

V(1-

V(1-





)+ 

)+ 





 

 





p

p

V,

V,

V

0

Q









0

0

= 

= 





s

s

(1-

(1-





)

)

ponieważ 

ponieważ 





p

p

 

 





0

0

s

0

s













%

,

100

W

w

Q

Q



Q

Q

w

w

 - 

 - 

masa wody w próbce materiału, 

masa wody w próbce materiału, 

Q =

Q =

 

 

Q

Q

s 

s 

+

+

 

 

Q

Q

w

w

 

 

Określanie składu ziarnowego,  a zatem rozkładu 

Określanie składu ziarnowego,  a zatem rozkładu 

wielkości ziarn materiału ziarnistego dokonuje się 

wielkości ziarn materiału ziarnistego dokonuje się 

metodami bezpośrednimi oraz pośrednimi.

metodami bezpośrednimi oraz pośrednimi.

•

Metody bezpośrednie:

Metody bezpośrednie:

    

    

- 

- 

analiza sitowa

analiza sitowa

    

    

- pomiary liniowych rozmiarów ziarn: 

- pomiary liniowych rozmiarów ziarn: 

mechaniczne i  

mechaniczne i  

      

      

optyczne  (makro- lub mikroskopowa analiza 

optyczne  (makro- lub mikroskopowa analiza 

obrazu)

obrazu)

•

Metody pośrednie:

Metody pośrednie:

   

   

- 

- 

analizy sedymentacyjne

analizy sedymentacyjne

 (stacjonarne i 

 (stacjonarne i 

przepływowe)

przepływowe)

   

   

- optyczne (rozproszenie promieniow. laser., rtg, 

- optyczne (rozproszenie promieniow. laser., rtg, 

izotop.)

izotop.)

Dolną granicą wielkości ziarna jaka można w 

Dolną granicą wielkości ziarna jaka można w 

praktyce uzyskać za pomocą przesiewania 

praktyce uzyskać za pomocą przesiewania 

(analizy sitowe) jest klasa ± 0,025 mm. Już 

(analizy sitowe) jest klasa ± 0,025 mm. Już 

przesiewanie przez sita o średnicach otworów 

przesiewanie przez sita o średnicach otworów 

<0,05mm staje się bardzo trudne. Wówczas 

<0,05mm staje się bardzo trudne. Wówczas 

korzystnie jest zastosować 

korzystnie jest zastosować 

analizę 

analizę 

sedymentacyjną

sedymentacyjną

 

 

Na ziarno zanurzone w cieczy i znajdujące 

Na ziarno zanurzone w cieczy i znajdujące 

się w ruchu działają następujące siły:

się w ruchu działają następujące siły:

OPADANIE ZIARN W O

OPADANIE ZIARN W O

Ś

Ś

RODKACH P

RODKACH P

Ł

Ł

YNNYCH

YNNYCH

 

 

kie

ru

n

e

k

 

kie

ru

n

e

k

 

ru

ch

u

ru

ch

u

F

F

1

1

F

F

1

1

F

F

2

2

F

F

3

3

siła ciężkości:

siła ciężkości:

    F

    F

1

1

=V·

=V·





s

s

·g

·g

siła ciężkości:

siła ciężkości:

    F

    F

1

1

=V·

=V·





s

s

·g

·g

siła wyporu:

siła wyporu:

 

 

     

     

F

F

2

2

=V·

=V·





c

c

·g

·g

siła wyporu:

siła wyporu:

 

 

     

     

F

F

2

2

=V·

=V·





c

c

·g

·g

siła wyporu i ciężkości dają razem tzw.  

siła wyporu i ciężkości dają razem tzw.  

    

    

ciężar pozorny ziarna wywołujący jego 

ciężar pozorny ziarna wywołujący jego 

ruch

ruch

           

           

F

F

4

4

= V·g(

= V·g(





s

s

 -

 -





c

c

)

)

siła wyporu i ciężkości dają razem tzw.  

siła wyporu i ciężkości dają razem tzw.  

    

    

ciężar pozorny ziarna wywołujący jego 

ciężar pozorny ziarna wywołujący jego 

ruch

ruch

           

           

F

F

4

4

= V·g(

= V·g(





s

s

 -

 -





c

c

)

)

siła oporu hydrodynamicznego:

siła oporu hydrodynamicznego:

                    

                    

F

F

3

3

=0,5 

=0,5 





·V·

·V·





c

c

 v

 v

2

2

A

A

siła oporu hydrodynamicznego:

siła oporu hydrodynamicznego:

                    

                    

F

F

3

3

=0,5 

=0,5 





·V·

·V·





c

c

 v

 v

2

2

A

A

F

F

4

4

d

d

we wzorach tych:

we wzorach tych:

     

     

V – objętość ziarna,       v - prędkość ruchu ziarna

V – objętość ziarna,       v - prędkość ruchu ziarna

     

     





s

s

 

 

,

,





c

c

 – gęstość ziarna i ośrodka

 – gęstość ziarna i ośrodka

     

     

g – przyspieszenie ziemskie

g – przyspieszenie ziemskie

     

     

A – pole przekroju ziarna

A – pole przekroju ziarna

     

     





 – 

 – 

współczynnik oporu hydrodynamicznego

współczynnik oporu hydrodynamicznego

 

 

Wypadkowa sił:

Wypadkowa sił:

 

 

F

F

1

1

=V·

=V·





s

s

·g

·g

F

F

2

2

=V·

=V·





c

c

·g

·g

            

            

F

F

3

3

=0,5 

=0,5 





·V·

·V·





c

c

 v

 v

2

2

A

A

Siłę wywołującą ruch przyspieszony można 

Siłę wywołującą ruch przyspieszony można 

także

także

 

 

opisać równaniem: 

opisać równaniem: 

F

F

v

v

=V·

=V·

(

(





s

s

 - a

 - a





c 

c 

)

)

dt

dt

dv

dv

            

            

F

F

v

v

=F

=F

1

1

– F

– F

2 

2 

– F

– F

3

3

  

  

i

i

 

 

jeśli 

jeśli 





s

s

 > 

 > 





c

c

nadaje przyspieszenie ziarnu oraz pewnej 

nadaje przyspieszenie ziarnu oraz pewnej 

masie p

masie p

ł

ł

ynu poruszaj

ynu poruszaj

ą

ą

cej si

cej si

ę

ę

 wraz z 

 wraz z 

ziarnem

ziarnem

gdzie: a - współczynnik wyznaczany z 

gdzie: a - współczynnik wyznaczany z 

bilansu energetycznego przepływu 

bilansu energetycznego przepływu 

Gdy siła wywołującą ruch zrówna się z siłą oporu ziarno 

Gdy siła wywołującą ruch zrówna się z siłą oporu ziarno 

porusza się ze stałą prędkością końcową     =0

porusza się ze stałą prędkością końcową     =0

dt

dt

dv

dv

 

 

Współczynnik oporu hydrodynamicznego  jest funkcją liczby 

Współczynnik oporu hydrodynamicznego  jest funkcją liczby 

Reynoldsa. Liczba Reynoldsa wyraża  stosunek siły 

Reynoldsa. Liczba Reynoldsa wyraża  stosunek siły 

bezwładności do siły tarcia i określony jest wzorem: 

bezwładności do siły tarcia i określony jest wzorem: 







c

d

Re

v

Zależność oporu hydrodynamicznego 

Zależność oporu hydrodynamicznego 

od liczby Reynoldsa przedstawiono na 

od liczby Reynoldsa przedstawiono na 

wykresie 

wykresie 

Rayleigha:

Rayleigha:

 

 

Zgodnie z wykresem Rayleigha można przyjąć, ze 

Zgodnie z wykresem Rayleigha można przyjąć, ze 

znacznym przybliżeniem, że w określonych 

znacznym przybliżeniem, że w określonych 

zakresach liczby Reynoldsa funkcja 

zakresach liczby Reynoldsa funkcja 





=f(Re) wyraża 

=f(Re) wyraża 

się następującymi wzorami

się następującymi wzorami

1. Dla Re<0,2, zatem dla małych ziarn kulistych o 

1. Dla Re<0,2, zatem dla małych ziarn kulistych o 

średnicy 0,005 - 0,1 mm (

średnicy 0,005 - 0,1 mm (

ruch laminarny, zakres 

ruch laminarny, zakres 

Stokesa

Stokesa

)

)

Re

24





2. Dla 0,2<Re<5

2. Dla 0,2<Re<5

·

·

10

10

2

2

, zatem dla ziarn kulistych o średnicy 

, zatem dla ziarn kulistych o średnicy 

0,1 - 1,0 mm (

0,1 - 1,0 mm (

zakres przejściowy Allena

zakres przejściowy Allena

)

)

6

,

0

Re

5

,

18







3. Dla 5

3. Dla 5

·

·

10

10

2

2

 <Re< 3

 <Re< 3

·

·

10

10

5

5

, zatem dla ziarn kulistych o 

, zatem dla ziarn kulistych o 

średnicy >1,0 mm (

średnicy >1,0 mm (

zakres ruchu burzliwego 

zakres ruchu burzliwego 

Newtona-Rittingera

Newtona-Rittingera

)

)

44

,

0





 

 

OPADANIE ZIARN W O

OPADANIE ZIARN W O

Ś

Ś

RODKACH P

RODKACH P

Ł

Ł

YNNYCH

YNNYCH

 

 

   

   

Wzór  Stokesa  na  pr

Wzór  Stokesa  na  pr

ę

ę

dko

dko

ść

ść

  opadania  ziarna 

  opadania  ziarna 

kulistego  (dla  ruchu  laminarnego),  dotyczy  ziarn  o 

kulistego  (dla  ruchu  laminarnego),  dotyczy  ziarn  o 

rozmiarach   0,01 - 0,1 mm

rozmiarach   0,01 - 0,1 mm

, m/s





















c

s

2

1

c

s

2

d

k

d

18

g

v

gdzie:

gdzie:

d - 

d - 

ś

ś

rednica ziarna, m

rednica ziarna, m

v

v

 - ko

 - ko

ń

ń

cowa (sta

cowa (sta

ł

ł

a) prędko

a) prędko

ść

ść

 opadania ziarna , m/s

 opadania ziarna , m/s





s

s

 - gęsto

 - gęsto

ść

ść

 ziarna, kg/m

 ziarna, kg/m

3

3

 

 





c

c

 - gęsto

 - gęsto

ść

ść

 o

 o

ś

ś

rodka, kg/m

rodka, kg/m

3

3

 

 





 

 

- wspó

- wspó

ł

ł

czynnik lepko

czynnik lepko

ś

ś

ci dynamicznej, Ns/m

ci dynamicznej, Ns/m

2

2

k

k

1

1

, k

, k

2

2

,

,

 

 

k

k

3

3

 - wspó

 - wspó

ł

ł

czynniki oporu zale

czynniki oporu zale

ż

ż

ne od kszta

ne od kszta

ł

ł

tu ziarna oraz 

tu ziarna oraz 

od 

od 

     

     

charakteru ruchu ziarna wzgl

charakteru ruchu ziarna wzgl

ę

ę

dem cieczy, tj. od

dem cieczy, tj. od

 

 

charakteryzuj

charakteryzuj

ą

ą

cej

cej

     

     

dany ruch liczby Reynodsa

dany ruch liczby Reynodsa

 

 

Wzór 

Allena 

dla 

zakresu 

Wzór 

Allena 

dla 

zakresu 

przej

przej

ść

ść

iowego (ziarna 0,1-1,0 mm):

iowego (ziarna 0,1-1,0 mm):





3

c

2

c

s

2

d

k











v

Wzór Newtona - Rittingera dla ruchu 

Wzór Newtona - Rittingera dla ruchu 

burzliwego (ziarna >1 mm):

burzliwego (ziarna >1 mm):

 

 

, m/s

, m/s

c

c

s

3

d

k











v

 

 

Na ziarna o różnej masie zanurzone w 

Na ziarna o różnej masie zanurzone w 

cieczy i znajdujące się w ruchu działają 

cieczy i znajdujące się w ruchu działają 

siły:

siły:

OPADANIE ZIARN W O

OPADANIE ZIARN W O

Ś

Ś

RODKACH P

RODKACH P

Ł

Ł

YNNYCH

YNNYCH

 

 

siła ciężkości:

siła ciężkości:

    

    

F

F

1

1

=V·

=V·





s

s

·g

·g

siła ciężkości:

siła ciężkości:

    

    

F

F

1

1

=V·

=V·





s

s

·g

·g

siła wyporu:

siła wyporu:

 

 

     

     

F

F

2

2

=V·

=V·





c

c

·g

·g

siła wyporu:

siła wyporu:

 

 

     

     

F

F

2

2

=V·

=V·





c

c

·g

·g

ciężar pozorny ziarna 

ciężar pozorny ziarna 

                  

                  

F

F

4

4

= V·g(

= V·g(





s

s

 -

 -





c

c

)

)

ciężar pozorny ziarna 

ciężar pozorny ziarna 

                  

                  

F

F

4

4

= V·g(

= V·g(





s

s

 -

 -





c

c

)

)

siła oporu hydrodynamicznego:

siła oporu hydrodynamicznego:

             

             

F

F

3

3

=0,5 

=0,5 





·V·

·V·





c

c

 v

 v

2

2

A

A

siła oporu hydrodynamicznego:

siła oporu hydrodynamicznego:

             

             

F

F

3

3

=0,5 

=0,5 





·V·

·V·





c

c

 v

 v

2

2

A

A

gdzie:

gdzie:

     

     

V – objętość ziarna,  v - prędkość ruchu 

V – objętość ziarna,  v - prędkość ruchu 

ziarna

ziarna

     

     





s

s

 

 

,

,





c

c

 – gęstość ziarna i ośrodka

 – gęstość ziarna i ośrodka

     

     

g – przyspieszenie ziemskie

g – przyspieszenie ziemskie

     

     

A – pole przekroju ziarna

A – pole przekroju ziarna

     

     





 – 

 – 

współczynnik oporu hydrodynamicznego

współczynnik oporu hydrodynamicznego

      

      

m – masa ziarna

m – masa ziarna

kie

ru

n

e

k

 

kie

ru

n

e

k

 

ru

ch

u

ru

ch

u

F

F

1

1

F

F

1

1

F

F

2

2

F

F

3

3

F

F

4

4

d

1

d

2

Jeśli d

Jeśli d

1

1

> d

> d

2

2

 to 

 to 

przy 

przy 





s1

s1

 = 

 = 





s2

s2

m

m

1

1

 > m

 > m

2 

2 

,

,

 

 

a zatem  

a zatem  

v

v

1

1

>v

>v

2

2

 

 







c

s

d

g





2

18

v

Przekształcając wzór Stokesa:

Przekształcając wzór Stokesa:

Analiza sedymentacyjna

Analiza sedymentacyjna





g

c

s











v

d

18

lub do postaci ogólnej:

lub do postaci ogólnej:





v

d

v

k

d

c

s

1

k















Poszczególne ziarna w zawiesinie będą opadały z 

Poszczególne ziarna w zawiesinie będą opadały z 

różną prędkością w 

różną prędkością w 

zależności od ich masy, a zatem 

zależności od ich masy, a zatem 

od ich rozmiarów.

od ich rozmiarów.

Określanie składu ziarnowego ziarn < 0,1mm rozpro-

Określanie składu ziarnowego ziarn < 0,1mm rozpro-

szonych w wodzie w postaci zawiesiny 

szonych w wodzie w postaci zawiesiny 

polidyspersyjnej

polidyspersyjnej

 

 

Zasada działania 

Zasada działania 

wagi 

wagi 

sedymentacyjnej

sedymentacyjnej

Krzywa sedymentacji

Krzywa sedymentacji

,%

100

0

0

1

1

1

1

C

A

k

d

t

h











1

1

v

v

H

H

Po czasie t

Po czasie t

1    

1    

 

 

w punkcie D:

w punkcie D:

 

 

Na ziarna o jednakowej 

Na ziarna o jednakowej 

masie zanurzone w cieczy 

masie zanurzone w cieczy 

i znajdujące się w ruchu 

i znajdujące się w ruchu 

działają siły:

działają siły:

OPADANIE ZIARN W O

OPADANIE ZIARN W O

Ś

Ś

RODKACH P

RODKACH P

Ł

Ł

YNNYCH

YNNYCH

 

 

Jeśli d

Jeśli d

1

1

> d

> d

2

2

 to 

 to 

przy 

przy 





s1

s1

 < 

 < 





s2

s2

może się zdarzyć, że 

może się zdarzyć, że 

 m

 m

1

1

 = m

 = m

2

2

 

 

i wówczas  

i wówczas  

v

v

1

1

= v

= v

2 

2 

, 

, 

a ziarna nazywa się 

a ziarna nazywa się 

równoopadającymi

równoopadającymi

kie

ru

n

e

k 

kie

ru

n

e

k 

ru

ch

u

ru

ch

u

F

F

1

1

F

F

1

1

F

F

2

2

F

F

3

3

F

F

4

4

d

1

d

2

 

 

W

W

spó

spó

ł

ł

czynnik równoopadania

czynnik równoopadania

 

 

v

1

 = v

2

 np. dla ziarn grubych >1mm w wodzie,  

c

=1000 

kg/m

3

:

1000

1000

1000

1000

2

1

2

3

1

3







s

s

d

k

d

k







d

d

1

2

e

d

d

s

s









1

2

1

2

1000

1000





Jeśli     

Jeśli     

        

        

to im mniejsza warto

to im mniejsza warto

ść

ść

 

 

e

e

, 

, 

 tym 

 tym 

mniejsza jest ostro

mniejsza jest ostro

ść

ść

 rozdzia

 rozdzia

ł

ł

u

u

 

 

 

s

s

2

1

