Momentem bezwładności punktu materialnego 
względem bieguna (punktu), płaszczyzny lub osi 
nazywamy iloczyn masy tego punktu i kwadratu jego 
odległości od bieguna, płaszczyzny lub osi.

MOMENT BEZWŁADNOŚCI

Z powyższej definicji wynika, że istnieją trzy rodzaje momentów 
bezwładności:

1) biegunowe (momenty bezwładności względem punktu),

2) względem płaszczyzn,

3) względem osi (osiowe momenty bezwładności).

Jednostka momentu

 

 

Moment bezwładności ciała

 

 

Twierdzenie Steinera 

Załóżmy, że znamy moment bezwładności ciała 
względem pewnej osi obrotu, ale ciało obraca się 
względem innej osi, równoległej do niej: 

d

O

O’

m

Moment bezwładności ciała  względem dowolnej osi  równa się 
momentowi bezwładności  tego ciała względem innej, 
równoległej do niej osi , powiększonemu o iloczyn masy tego 
ciała przez kwadrat odległości między tymi osiami 

2

' md

I

I





Wniosek: Gdy środek masy ciała oddala się od osi 
obrotu, to moment bezwładności ciała względem 
tej osi wzrasta 

 

 

Momenty bezwładności wybranych brył

 

 

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI

Momenty bezwładności charakteryzują rozkład w 
przestrzeni masy danego układu punktów 
materialnych lub bryły.

Na skutek nierównomiernego rozkładu masy, przy 
tej samej masie występują różne rodzaje ruchu.

Moment bezwładności to miara bezwładności ciała w 
ruchu obrotowym. Im większy moment tym trudniej 
rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość 
obrotową.

 

 

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

Tarcza o promieniu r i masie m obraca się dookoła osi z 
prędkością ω

Prędkość punktu

Energia punktu

Energia kinetyczna całej tarczy

Moment bezwładności J

 

 

Praca i moc w ruchu obrotowym

Wprawienie ciała w ruch obrotowy związane jest z wykonaniem 
pracy.Również utrzymanie ciała w ruchu obrotowym 
jednostajnym, pokonując siły przeciwdziałające mu, wiąże się z 
wykonaniem pracy. Załóżmy, że na obwodzie tarczy obracającej 
się jednostajnie dookoła osi, dział stała siła F, pokonująca opory 
ruchu

Po  czasie  t  siła  pokonała  drogę  liniową  s. 
Wykonana  praca  przez  tę  siłę,  wyraża  się 
wzorem

Podstawiając do wzoru moment siły, otrzymujemy

Jeśli moment siły utrzymujący ciało w ruchu obrotowym 
zachowuje stałą wartość, to wykonana przez niego praca jest 
równa iloczynowi momentu siły i drogi kątowej

 

 

PRACA SIŁY W RUCHU OBROTOWYM

Praca siły w ruchu obrotowym równa jest 
iloczynowi momentu  siły względem osi obrotu i 
kąta, o jakie obróci się ciało

 

 

Moc  wyraża  się  stosunkiem  pracy  do  czasu,  w 
którym ta praca została wykonana

W ruchu obrotowym jednostajnym 

Podstawiając  to  wyrażenie  do  wzoru  na  moc, 
otrzymujemy: 

Moc w ruchu obrotowym jednostajnym jest 
iloczynem działającego na ciało momentu 
obrotowego i jego prędkości kątowej. 

 

 

Podstawowe równanie dynamiki ruchu obrotowego

Zgodnie  z  zasadą  bezwładności  tylko  siła  zewnętrzna  może 
zmienić  ruch  ciała.  Jeżeli  natomiast  działające  siły  równoważą 
się,  to  ciało  pozostaje  w  spoczynku  lub  porusza  się  ruchem 
jednostajnym.  Zasada  ta  obowiązuje  również  w  ruchu 
obrotowym, ale trochę w zmienionej treści:

Jeśli momenty wszystkich sił działających na ciało równoważą 
się wzajemnie, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się 
ruchem obrotowym jednostajnym (z prędkością kątową stałą 
co do wielkości i kierunku). 

 

 

Rozważmy przypadek, gdy na punkt materialny o masie m związany z 
osią obrotu i mogący się wokół niej obracać po torze o promieniu r, 
działa stała siła F (co do wielkości), której moment M wynosi F*r. Pod 
wpływem tej siły, punkt materialny uzyska przyspieszenie a

t

Podstawiamy zamiast a wyrażenie

Uzyskaliśmy  wzór  na  moment  siły,  działający  na 
ten  punkt  materialny.  Podobne  rozważanie 
moglibyśmy przeprowadzić dla każdego elementu 
ciała  obracającego  się  dookoła  osi  przechodzącej 
przez środek ciężkości, którego masa wynosi

aby  ciało  uzyskało  przyspieszenie  kątowe      ,  trzeba  na  nie 
działać  momentem  obrotowym  M,  równym  sumie  momentów 
obrotowych poruszających poszczególne elementy:

 ε 

 

 

podstawowe równanie dynamiki ruchu obrotowego

Niezrównoważony moment siły działając na ciało nadaje mu 
przyspieszenie kątowe, które jest wprost proporcjonalne do 
momentu bezwładności ciała, przy czym jest ono skierowane 
tak samo jak moment siły.

Porównując wzory dynamiki ruchu obrotowego i ruchu 
postępowego widzimy, iż:

•moment bezwładności w ruchu obrotowym spełnia taką samą 
rolę jak masa w ruchu postępowym, 

•moment siły odgrywa w ruchu obrotowym taką rolę jak siła w 
ruchu postępowym

 

 

ZASADA D’ALAMBERTA DLA RUCHU OBROTOWEGO

Ciało wykonuje ruch obrotowy z 
przyspieszeniem kątowym 

ε

 tylko wtedy , gdy 

działa moment obrotowy równy:

Przekształcenia wzorów

Moment sił bezwładności w ruchu obrotowym ciała

W ruchu obrotowym moment sił zewnętrznych 
równoważy się z momentem sił bezwładności.

(Suma momentów sił zewnętrznych i momentów sił 
bezwładności jest równa zeru.)

 

 

podobieństwa

dynamika punktu

dynamika bryły w ruchu obrotowym

 

 

ZASADA ZACHOWANIA KRĘTU

ale

Dla całej bryły

ponieważ

pęd

Krętem bryły względem stałej osi obrotu nazywamy 
iloczyn masowego momentu bezwładności bryły 
względem osi obrotu
 i prędkości kątowej.

Punkt bryły