GEODEZJA

WYKŁAD

Pomiary kątów 

Katedra Geodezji im. K. Weigla

ul. Poznańska 2/34 

DEFINICJE

Do rozwiązywania zadań z geodezji konieczna jest 
znajomość kątów w figurach i bryłach obiektów.

W geodezji przyjęto mierzyć: 

- 

kąty poziome

 (horyzontalne) 

 {0,360

o

}

- 

kąty pionowe

 (wertykalne) 

 {0,90

o

;0-90

o

}

- 

kąty zenitalne

  

z = 90

o

 -  {0,180

o

}

Kąt poziomy zgodnie z definicją z geodezji to 

kąt 

dwuścienny

, którego krawędź (linia pionu) zawiera 

wierzchołek kąta (stanowisko pomiaru), zaś w 
płaszczyznach ścian leży lewe i prawe ramię kąta 
(

płaszczyzny kolimacyjne

). 

Ramiona kąta to kierunki biegnące od stanowiska 
do lewego i prawego punktu celu. 

Miarą kąta 

dwuściennego

 jest kąt 



 w płaszczyźnie prostopadłej 

do krawędzi (

poziomej

).

C

L

P

Płaszczyzna pozioma

Płaszczyzny 
kolimacyjne

v

v

C

’



o



 - kąt 

poziomy

vv – styczna do 
linii pionu w pkt 
C

Kąt poziomy

Widok teodolitu optycznego

Stacja pomiarowa TOPCON

c

c

L

L

p

p

v

v

Warunki osi 
teodolitu:

libeli:  LL  

vv

kolimacji: cc  

pp

inklinacji: pp  

vv

vv – oś obrotu 
(pionowa) 

pp – oś obrotu 
lunety      
(pozioma)

LL – oś libeli 
alhidadowej

cc – oś celowa 
lunety

Osie 
geometryczne:

SYGNALIZACJA CELU

Tarcze sygnałowe

         Tyczki geodezyjne

Sprawdzenie teodolitu

W teodolitach klasy technicznej 

sprawdzeniu 

podlegają warunki geometryczne osi, libele, 
system odczytowy, miejsce zera i pionownik 
optyczny. 

Podstawowe  warunki  geometryczne

.  Należą 

do nich:

1.        Warunek libeli alhidadowej,

2.        Warunek siatki kresek,

3.        Warunek pionu optycznego,

4.        Warunek kolimacji,

5.        Warunek inklinacji,

6.        Warunek miejsca zera,

SPRAWDZENIE I REKTYFIKACJA

Rektyfikacja

 to zabieg polegający na zapewnieniu 

spełnienia wymaganych warunków osi teodolitu 
lub zmniejszenia błędów poniżej wartości 
dopuszczalnych. 

Rektyfikację współczesnych teodolitów może 
wykonać specjalistyczny serwis.

Przed sprawdzeniem należy wykonać pionowanie 
głównej osi obrotu teodolitu (vv):

Operacja ta jest wykonywana tradycyjnie w 2 
etapach. Przy tym można wykorzystać libelę 
pudełkową do wstępnego pionowania osi

Zasady pionowania głównej osi obrotu (vv):

a) Etap I. Ustawienie libeli w pozycji równoległej do 

linii łączącej dwie śruby ustawcze i sprowadzenie 
pęcherzyka libeli do położenia centralnego 
(górowania).

b) Etap II. Po obrocie alhidady o 90

o

 sprowadzenie 

pęcherzyka libeli  do położenia centralnego.

Obrót  o  90

o

Etap  I

Etap  II

Obrót  o  180

o

Etap  I

Etap  II

1. Sprawdzenie warunku libeli alhidadowej.

Przeprowadza się w dwóch etapach:

a) Pierwszy etap identyczny jak w przypadku 

pionowania osi. 

b) Drugi etap 

po obrocie alhidady o 

180

o

 należy 

ocenić przesunięcie pęcherzyka libeli z położenia 
centralnego. Wielkość przesunięcia pęcherzyka 
odpowiada podwojonej wartości błędu libeli.  
Jeżeli odchyłka   2dz. podziałki libeli nie 

potrzeba rektyfikować.

Odczyt z 
podziałki   

libeli

LIBELA

2. 

Sprawdzenie warunku kolimacji

: Oś celowa 

lunety powinna być  prostopadła do poziomej osi 
obrotu lunety (cc||pp).

Wpływ kolimacji na odczyt kierunku w teodolicie:   

=c/cos(z)

 

Po wycelowaniu do wybranego punktu przy 
poziomej (w przybliżeniu) osi celowej, wykonujemy 
odczyty kątów w dwóch położeniach lunety:

Odczyty: O

1

 = 45

g

 23

 c

 20

 cc

                O

2

 = 245

g

 23

 c

 80

 cc 

Odchyłka wynikające z błędu kolimacji wynosi:





g

cc

O2 O1

200

30

2











Jeżeli   2m (błędu pomiaru kąta) nie potrzeba 

wykonywać rektyfikacji.

3. 

Sprawdzenie warunku inklinacji

: Oś obrotu 

lunety powinna być  prostopadła do głównej osi 
obrotu teodolitu (pp||vv).

Wpływ inklinacji na odczyt kierunku w teodolicie: 



i

 

= i ctg(z)  

 

Po wycelowaniu do wysoko położonego celu, 
wykonujemy odczyty kątów w dwóch położeniach 
lunety:

Odczyty: O

1

 = 123

g

 13

 c

 40

 cc

                O

2

 = 323

g

 14

 c

 60

 cc 

Odchyłka wynikające z błędu kolimacji wynosi:



i

 =(O

2

 - O

1

 ±200

g

)/2 =  60

 cc 

Jeżeli 

i

  2m (błędu pomiaru kąta) nie potrzeba 

wykonywać rektyfikacji.

Średnia 

z 

odczytów 

wykonanych 

w 

dwóch 

położeniach lunety jest wolna od błędów kolimacji i 
inklinacji.

4. 

Sprawdzenie pionu optycznego

: Oś lunetki 

powinna pokrywać się z główną osią obrotu 
teodolitu (ss=vv).

Sprawdzenie wykonujemy w dwóch etapach:

• Pierwszym etapem jest pionowanie osi teodolitu 

(vv).

• Na 

arkuszu papieru

 przypiętym do podłogi 

znaczymy położenie celownika lunetki, po 
ustawieniu tej lunetki nad każdą śrubą 
ustawczą. Zaznaczone punkty wskazują skrajne 
położenia osi pionownika. Właściwe, wolne od 
błędu położenie wskaże środek trójkąta z trzech 
położeń lunetki. Boki trójkąta nie powinny 
przekraczać 2 mm. 

• Rektyfikacja

 polega na sprowadzeniu celownika 

w polu widzenia lunetki na środek trójkąta za 
pośrednictwem 

śrub rektyfikacyjnych

. Jest to 

zadanie trudne z uwagi na konieczność 
ingerencji do wnętrza alhidady. 

URZĄDZENIA ODCZYTOWE W 

TEODOLITACH

ODCZYT

: 108

g

 48

c

                      H:   87º 07´   

V: 21º 46´          

SYSTEM ODCZYTOWY W TEODOLICIE 

ELEKTRONICZNYM

Metody pomiaru kątów poziomych

1. Kątowa

Każdy kąt

 pomiędzy dwoma kierunkami na stanowisku 

pomiarowym mierzy się 

niezależnie

. Celujemy na cel po 

lewej stronie, a następnie po prawej. Powtarzamy 
czynności w drugim położeniu lunety teodolitu.

2. kierunkowa 

Metoda kierunkowa

 polega na celowaniu do kolejnych 

punktów P1,P2,..., które wyznaczają pęk kierunków, 
wychodzących ze stanowiska S i wykonaniu w I i II 
położeniu lunety odczytów kierunków, kończąc 
odczytem zamykającym (ponownie na punkt 
wyjściowy). Odczyt początkowy i zamykający nie 
powinny sie różnic od siebie o wartość ±2m (m - 
dokładność pojedynczego odczytu)
Po obrocie lunety i alhidady do drugiego położenia, 
rozpoczyna się druga półseria od ponownego 
wycelowania do punktu początkowego. 

Metody pomiaru kątów poziomych cd.

Wyniki pomiarów w metodzie kierunkowej sprowadza się do 
określenia kierunków zredukowanych K1,K2,..., do celowej 
punktu wyjściowego P1, dla której przypisuje się wartość 
zerową. 

Przykład obliczenia kierunków zredukowanych z metody 
kierunkowej

Stanowisk
o

cel

odczyty podziałki w 

I położ.                  II położ.

kierunki 
zredukowane

2045

204

6

   2

g  

66.6

c

202

g  

67.8

c

0

g  

00.0

c

204

2

30

g  

04.2

c

230

g  

05.0

c

27

g  

37.4

c

204

0

82

g  

16.0

c

282

g  

18.0

c

79

g  

49.8

c

204

7

162

g  

81.5

c

362

g  

82.6

c

160

g  

14.8

c

33

309

g  

55.1

c

109

g  

56.7

c

306

g  

88.7

c

204

6

2

g  

66.0

c

202

g  

67.4

c

399

g  

99.5

c

Metody pomiaru kątów poziomych cd.

Pomiary kątów poziomych często wykonuje się wielokrotnie w 
celu zmniejszenia błędów. Pojedynczy pomiar nosi nazwę 

serii 

pomiaru

 lub 

poczetu

. Znane są 

inne metody

 stosowane w 

pomiarach 

precyzyjnych 

m. in.  Metoda Schreibera i metoda 

sektorowa.

Dokładność pomiaru kątów poziomych.

Na błąd kątów mają wpływ systematyczne błędy 
instrumentalne, czynności wykonawcy i metody pomiaru 
(centrowanie i pionowanie osi, ustawienia sygnałów celu) 
oraz działania środowiska (zmiany temperatury, oświetlenia, 
ruch powietrza).

W literaturze wyróżniono błędy:

-centrowania,
-celowania,
-odczytu.

Dokładność pomiaru kątów poziomych cd.

Sprowadzając dokładność pomiaru wyłącznie do 
błędów odczytu podziałki można przyjąć, że 

błąd 

kierunku m

o

=t/2

 gdzie t-dokładność odczytu koła poziomego na 
podziałce systemu odczytowego. 

Błąd kąta jako błąd różnicy kierunków  wg wzoru 
Gaussa na błąd funkcji:   (=K

2

 – K

1

 )

m

2

 

= 2m

2

o 

= t

2

/2,        m

 

= ± t/2

Błąd graniczny (3 m):

 

m

gr 

= 3m

 



 

 

= ± 1.5 t

Dokładność odczytu t jest najczęściej przyjmowana 
jako wartość 

jednej działki podziału

 w systemie 

odczytowym, dla teodolitów technicznych będzie t = 
1

c 

 , (1’) precyzyjnych t = 1

cc 

 , (1”). 

Pomiar kątów pionowych

Kąty pionowe mierzy się 

w płaszczyźnie pionowej

 

przechodzącej przez stanowisko pomiarowe i cel.

Jedno ramię kąta jest ustalone i powinno pokrywać 
się z pionem miejsca obserwacji. Drugie ramię 
wyznacza oś celowa w momencie obserwacji. Na 
podziałce kątowej rejestruje się tylko odczyt dla 
drugiego ramienia kąta. Dla pierwszego ramienia 
przypisana jest zerowa wartość.

Niedokładności konstrukcyjne teodolitu powodują 
wystąpienie systematycznego 

błędu miejsca zera 

(MO)

.

Wartość błędu miejsca zera można wyznaczyć z 
pomiaru w dwóch położeniach lunety:

Odczyty: V

1

 = 93

g

 63.4

 c

 

                 V

2

 = 306

g

 34.2

 c

 

 

MO = (V

1

 + V

2

 - 400

g

)/2 = (399

g

 97.6

 c

-400

g

)/2 = 1.2

 c

 

Pomiar kątów pionowych cd.

Kąty pionowe obliczany z odczytów podziałki koła 
pionowego:

z =

 

V

1

 – MO                     z = 400

g

 –

 

(V

2

 - MO) 

2 z = V

1

 – MO + 400

g

 –

 

(V

2

 - MO)

 z = (V

1

 – V

2

 + 400

g

 )/2, 

   =100

g

 -

 

z 

Średni kąt obliczony z pomiarów wykonanych w 
dwóch położeniach lunety jest wolny od błędu 
miejsca zera.

Kąty pionowe są mierzone dla rozwiązania różnych 
zadań:

-niwelacja trygonometryczna,
-przestrzenne wcięcie w przód,
-tachimetria

Dziękuję za uwagę