•SYSTEMY
LICZBOWE
•SYSTEMY
LICZENIA
•KODY LICZBOWE
•SYSTEMY
LICZBOWE
•SYSTEMY
LICZENIA
•KODY LICZBOWE
MIARY INFORMACJI -
MAŁE
• Bit (Binary Digit) - najmniejsza jednostka
informacji (0-1) (nie - tak). Binary (ternary) -
element mogący przyjąć 2 (3) wartości.
• Quarter - jednostka informacji zawierająca 2
bity (ćwiartka byte). Dibit - zestaw 2 bitów
spośród 4 możliwych kombinacji: 00, 01, 10,
11.
• Nibble - jednostka informacji zawierająca 4
bity (połowa byte).
• Quadbit - zestaw 4 bitów reprezentujący jedną
z 16 kombinacji nibble.
on
on
yes
yes
true
true
high
high
1
1
of
of
no
no
false
false
low
low
0
0
BITY, BAJTY, SŁOWA
•Bity są podstawową jednostką informacji w
komputerze.
•W każdym z nich można przechowywać
pojedynczą binarną porcję informacji.
•Bity grupuje się w większe jednostki:
- bajt (byte) = 8 bitów,
- słowo (word) = 16 lub 32 lub 64 bitów w
zależności od procesora.
•Bity “01011010” mogą oznaczać:
- liczbę 90
- ASCII znak ‘Z’
- instrukcję DECB procesora Motorola 6800
- po prostu bity
•Zależy to od kontekstu:
- bity same w sobie nie mają określonego
znaczenia
- wartości zależą od tego jak bity zostaną
użyte
- jeżeli są interpretowane jako liczba, to ich
wartość to 90
- jeżeli są interpretowane jako znak, to ich
wartość to ‘Z’
•Dlatego w językach programowania określa
się typy zmiennych.
INTERPRETACJA BITÓW
•Pamięć składa się z bitów
- struktury danych muszą być zakodowane
dla zachowania w pamięci
•Liczby (całkowite)
- kodowane przy użyciu dwójkowego
(binarnego) systemu liczbowego
•Znaki alfanumeryczne
- kodowane jako liczby przy użyci kodu
ASCII
•Kod programu
- instrukcje kodowane jako układ liczb i
bitów
•Inne struktury (structs, floats, ...)
- zwykle konwertowane do liczb
PAMIĘĆ A BITY
•Każdemu bajtowi przypisany jest
unikalny adres
- adres jest liczbą całkowitą
- żadne dwa bajty nie mają tego samego
adresu
•Adresowanie jest ciągłe
- najniższy adres to 0
- sąsiadujące bajty mają kolejne adresy
- najwyższy adres zależy od pojemności
pamięci komputera
•Adresowanie jest niezależne od
zawartości
- zmiana zawartości bajta nie zmienia
jego adresu
ADRESOWANIE
PAMIĘCI
ADRESOWANIE
PAMIĘCI
01101110
01101110
01011010
01011010
00000000
00000000
01011010
01011010
11011110
11011110
11011001
11011001
0
0
10430
10430
10431
10431
10432
10432
10433
10433
10434
10434
16777215
16777215
T
T
en
en
komputer ma
komputer ma
16777216 b
16777216 b
ajtów
ajtów
(16
(16
megabajtów,
megabajtów,
16MB
16MB
)
)
pamięci
pamięci
niższe
niższe
a
a
dresy
dresy
wyższe
wyższe
ad
ad
resy
resy
ADRESOWANIE
PAMIĘCI
01101110
01101110
01011010
01011010
00000000
00000000
01011010
01011010
11011110
11011110
11011001
11011001
0
0
10430
10430
10431
10431
10432
10432
10433
10433
10434
10434
16777215
16777215
Bajt
Bajt
o adresie
o adresie
10433
10433
zawiera
zawiera
01011010
01011010
niższe
niższe
a
a
dresy
dresy
wyższe
wyższe
ad
ad
resy
resy
MIARY INFORMACJI -
DUŻE
• Byte (Binary Digit Eight, czyt. bajt) - słowo;
jednostka informacji zawierająca 8 bitów (octet),
reprezentująca jeden znak (literę, cyfrę, znak
specjalny). Za pomocą 1 bajta można zapisać liczbę
równą maks. 255, tj. 2
8
-1.
• Kilobyte (KB) - 2
10
= 1.024 byte. Strona
maszynopisu (30 wierszy x 60 znaków) to ok. 1.8
KB.
• Megabyte (MB) - 2
20
= 1.048.576 byte. Dyskietki -
1.4 MB. CD-ROM - 650 MB.
• Gigabyte (GB) - 2
ł0
= 1.073.741.824 byte. Dyski
twarde. Bazy danych w firmach.
• Terrabyte (TB) - 2
40
= 1.099.511.627.776 byte.
Krajowe bazy danych.
Dziesiętne przedrostki skalujące
(SI-1960)
Symbo
l
Nazw
a
Wykładnic
zo
Dziesiętnie
k
kilo
1000
1
1000
M
mega
1000
2
1000 000
G
giga
1000
3
1000 000 000
T
tera
1000
4
1000 000 000 000
P
peta
1000
5
1000 000 000 000
000
E
egza
1000
6
1000 000 000 000
000 000
Binarne przedrostki
skalujące (1997)
Symbo
l
Nazw
a
Wykładnic
zo
Dziesiętnie
Ki
kibi
1024
1
1 024
Mi
mebi
1024
2
1 048 576
Gi
gibi
1024
3
1 073 741 824
Ti
tebi
1024
4
1 099 511 627 776
Pi
pebi
1024
5
1 125 899 906 842
624
Ei
exbi
1024
6
1 152 921 504 606
846 976
Skróty miar informacji
• k/K - to 1000 lub 2
10
= 1024
• b/B - to bit lub bajt
– 1 kb=1000 bitów
– 1Kb=1024 bity
– 1kB=1000 bajtów
– 1 KB=1024 bajty
Jak długo trzeba pisać, aby zapełnić dysk
komputera?
•Zakładamy pojemność 10GB i szybkość
pisania 1 znak na sekundę, czyli 60 na minutę,
czyli 3600 na godzinę, czyli około 90000 na
dobę.
•Wówczas:
10 GB /90000 B/dobę = 10
10
B /10
5
B/dobę =
10
5
dób, czyli 10
5
dób /400 dób/rok = 250 lat
•Wynik dokładny:
10 GB /(60 × 60 × 24) B/dobę = 10 · 2
30
B /
86400 B/dobę =. . . = 340 lat
Jednostki czasu w
informatyce
• Sekunda
- odszukanie rekordu na
taśmie magnetycznej.
• Mili- microsekunda 10
-3
, 10
-6
- czas
dostępu do twardego dysku, szybkość
PC.
• Nano- picosekunda 10
-9
, 10
-12
-
szybkość superkomputera IV, V
generacji.
• Femto- octosekunda 10
-15
, 10
-18
-
szybkość komputerów w przyszłości.
Jednostki mocy
obliczeniowej
• MIPS (Million/Mega Instructions Per
Second) - mierzy szybkość w operacjach
podstawowych (rozkazach); miara
zwodnicza, żartobliwie zwana też
Meaningless Indicator of Processor
Speed.
• KIPS, MIPS, GIPS, TIPS
• MFLOPS (Million/Mega of FLoating-
point Operations Per Second) - mierzy
szybkość w operacjach
zmiennoprzecinkowych.
Jednostki awaryjności
• MTBF (Mean Time Between Failure) - średni
czas między kolejnymi awariami (> 1-2 lat).
• MTTR (Mean Time To Repair) - średni czas
reperacji, potrzebny na wykonanie naprawy i
doprowadzenie sprzętu do stanu przed awarią
(< 24 h.)
• MTBDL (Mean Time Between Data Loose) -
średni czas między kolejnymi utratami danych.
• MTDA (Mean Time Data Access) - średni czas
trwałości danych zawartych w pamięciach
masowych; dla dysków twardych > 100 lat.
•System liczbowy to sposób tworzenia liczb
ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł
pozwalających na wykonywanie operacji
arytmetycznych na liczbach.
•Systemy niepozycyjne – cyfry zachowują
swoją wartość bez względu na zajmowane
miejsce, np. system rzymski (MMII).
•Systemy pozycyjne – wartość liczbowa
cyfry zależy od jej pozycji (miejsca) w liczbie.
SYSTEMY LICZBOWE
•Podstawa systemu (P) – ilość różnych cyfr
systemu.
•Cyfra (C) – P-elementowy zbiór znaków
graficznych z których tworzymy liczby.
•Waga – wartość liczbowa cyfry zależna od
numeru pozycji.
•Waga danej pozycji jest P-krotnie większa od
wagi poprzedniej pozycji, tzn. waga i-tej
pozycji równa jest podstawie podniesionej do
i-tej potęgi.
•Wagi cyfr wzrastają od prawej strony do
lewej.
ELEMENTY SYSTEMU
LICZBOWEGO
SYSTEM DZIESIĘTNY
(DECYMALNY)
• System pozycyjny zapisu liczb oparty na P=10
cyfrach 0,1,...,9 (l. naturalne), oraz na znaku – l.
całkowite), kropki lub przecinka (l. wymierne).
• Znak + jest opcjonalny.
• Wartość liczby zapisanej jako d
n
...d
1
d
0
to:
• Np. 512,34 = 5*10
2
+1*10
1
+2*10
0
+3*10
-1
+4*10
-
4
n
i
i
i
n
n
d
d
d
d
w
0
1
1
0
10
10
...
10
1
1
2
2
3
3
10
10
2
2
10
10
1
1
10
10
0
0
×
×
×
×
×
×
+
+
+
+
wartość
wartość
pozycji
pozycji
(skala)
(skala)
stała podstawa
stała podstawa
cyfra
cyfra
(
(
mnożnik
mnożnik
)
)
zmienia
zmienia
się
się
od
od
0
0
d
d
o 9 (
o 9 (
podstawa
podstawa
–
–
1)
1)
„123”
DZIESIĘTNIE
wykładnik
(waga)
(waga)
zwiększa
zwiększa
się od
się od
zera w
zera w
lewo
lewo
• System oparty na 2 cyfrach (bitach) 0, 1.
• Wartość liczby zapisanej jako b
n
...b
1
b
0
to:
• Kolejne pozycje mają wartości: 1, 2, 4, 8, 16, 32,
64, 128, ...
• 7
10
=111
2
= 4+2+1 = 1*2
2
+1*2
1
+1*2
0
• 10
10
=1010
2
= 8+0+2+0 = 1*2
3
+ 0*2
2
+1*2
1
+0*2
0
• Liczby całkowite - dodatkowy bit znaku
• 25
10
=011001
2
-25
10
=111001
2
• Ułamki (dla niewymiernych bierze się przybliżenie)
• 0,625
10
= 0,101
2
= 0,5+0,125 = 1*2
-1
+0*2
-2
+1*2
-3
SYSTEM DWÓJKOWY
(BINARNY)
n
i
i
i
n
n
b
b
b
b
w
0
1
1
0
2
2
...
2
podstawa to
podstawa to
2
2
2
2
4
4
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
0
0
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
+
+
+
+
+
+
+
+
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
16
16
8
8
0
0
2
2
0
0
=
=
26
26
cyfry to
cyfry to
0
0
lub
lub
1
1
(
(
ponieważ podstawa
ponieważ podstawa
to
to
2)
2)
„26” DWÓJKOWO
ALGEBRA BOOLE’A
• Negacja (NOT): !1 = 0, !0 = 1
• Koniunkcja (AND):
• 0&0 = 0, 1&0 = 0, 0&1 = 0, 1&1 =
1
• Alternatywa (OR):
• 0|0 = 0, 1|0 = 1, 0|1 = 1, 1|1 =
1
• Różnica symetryczna (XOR):
• 0^0 = 0, 1^0 = 1, 0^1 = 1, 1^1
= 0
• 1101&1000 = 1000, 1101|1000 = 1101,
1101^1000 = 0101, !1101 = 0010
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
AND
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
OR
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
XOR
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
NO
T
0
0
1
1
0
1
1
1
OPERACJE NA BITACH
DODAWANIE I MNOŻENIE
• 1 1
• 1111
• 11111 2
• ------- --
• 1111 15
• + 1001 9
• + 0011 3
• + 1011 11
• + 1110 14
• ======= ==
• 110100 52
• 10101 21
• * 101 * 5
• ===== ===
• 10101 105
• 00000
• 10101
• =======
• 1101001
ZAKRESY LICZB
L.bitów
Bez znaku
Ze znakiem
1
0 1
0 1 2 3
-1 -0 0 1
(00,01,10,11)
(11, 10, 00, 01)
4
0 ... 15
-8 ... 7
8
0 ... 255
-128 ... 127
16
0 ... 65535
-32768..32767
-2.147.483.648...
2.147.483.647
2
32
0...4.294.967.296
Kod uzupełnieniowy do
dwóch (U2)
• Kod dwójkowy do reprezentacji liczb ze znakiem,
liczb całkowitych i rzeczywistych.
• Należy zmienić w liczbie binarnej każdą cyfrę na
przeciwną (0 na 1 i 1 na 0) i do wyniku dodać 1.
• 45
10
= 0010 1101
2
1101 0010 +1=
= 1101 0011
U2
= -45
10
• Najbardziej znaczący bit liczby w kodzie U2
decyduje o znaku liczby (1- ujemna, 0- dodatnia).
• Liczby dodatnie w kodzie U2 i binarnym są
identyczne.
System szesnastkowy
(heksadecymalny)
• P=16 znaków: 0, 1, ..., 9, A, B, C, D, E, F
• Kolejne pozycje mają wartości: 1, 16, 256,
4096, ...
• 1A2
16
= 1*16
2
+ 10*16
1
+ 2*16
0
= 418
10
• 1A2
16
= 0001 1010 0010
2
=
256+128+32+2
10
• FFFF
16
=65535
10
=15*16
3
+15*16
2
+15*16
1
+1
5
10
=(1111) (1111) (1111) (1111)
2
• Liczby szesnastkowe pozwalają na krótszy
zapis długich liczb binarnych.
• Wartość liczby zapisanej jako ciąg h
n
,...,h
1
,h
o
n
i
i
i
h
w
0
16
System ósemkowy (oktalny)
• P=8 cyfr: 0, 1, ..., 7
• Kolejne pozycje mają wartości: 1, 8, 64, 512,
4096, ...
• 777
8
= 7*8
2
+ 7*8
1
+ 7*8
0
= 448+56+7
10
= 511
10
=
(111) (111) (111)
2
• Dowolną ósemkową liczbę jednopozycyjną można
zapisać za pomocą 3 bitów (w systemie „16” to 4
bity).
• Wartość liczby zapisanej jako ciąg q
n
,...,q
1
,q
o
• System obecnie rzadko stosowany, np. prawa
dostępu do plików w systemie UNIX.
n
i
i
i
q
w
0
8
10, 2, 16
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
13
13
14
14
15
15
0
0
1
1
0010
0010
0011
0011
0100
0100
0101
0101
0110
0110
0111
0111
1000
1000
1001
1001
1010
1010
1011
1011
1100
1100
1101
1101
1110
1110
1111
1111
0000
0000
0001
0001
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
F
F
0
0
1
1
wartości w
wartości w
systemie
systemie
dziesiętnym
dziesiętnym
wartości w
wartości w
systemie
systemie
dwójkowym
dwójkowym
wartości w
wartości w
systemie
systemie
szesnastkowym
szesnastkowym
POZYCYJNE SYSTEMY LICZBOWE
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
13
13
14
14
15
15
16
16
10100111100
10100111100
1211122
1211122
110330
110330
20330
20330
10112
10112
3623
3623
2474
2474
1748
1748
1340
1340
1009
1009
938
938
7C1
7C1
6BA
6BA
5E5
5E5
53C
53C
Niższe podstawy
Niższe podstawy
:
:
mniej zwarte
mniej zwarte
,
,
mniejszy
mniejszy
zakres cyfr
zakres cyfr
Wyższe podstawy
Wyższe podstawy
:
:
bardziej zwarte
bardziej zwarte
,
,
większy
większy
zakres cyfr
zakres cyfr
Reprezentacje liczby
Reprezentacje liczby
1340
1340
(
(
dziesiętnie
dziesiętnie
)
)
przy
przy
podstawach od
podstawach od
2
2
do
do
16
16
p
o
d
st
a
w
a
p
o
d
st
a
w
a
SYMBOLE W SYSTEMACH
LICZBOWYCH
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
13
13
14
14
15
15
16
16
10100111100
10100111100
1211122
1211122
110330
110330
20330
20330
10112
10112
3623
3623
2474
2474
1748
1748
1340
1340
1009
1009
938
938
7C1
7C1
6BA
6BA
5E5
5E5
53C
53C
p
o
d
st
a
w
a
p
o
d
st
a
w
a
Cyfry o wartościach
Cyfry o wartościach
większych od 9 mają
większych od 9 mają
symbole liter z alfabetu
symbole liter z alfabetu
:
:
A = 10
A = 10
B = 11
B = 11
C = 12
C = 12
D = 13
D = 13
E = 14
E = 14
F = 15
F = 15
itd
itd
.
.
PODSTAWY W SYSTEMACH
LICZBOWYCH
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
13
13
14
14
15
15
16
16
10100111100
10100111100
1211122
1211122
110330
110330
20330
20330
10112
10112
3623
3623
2474
2474
1748
1748
1340
1340
1009
1009
938
938
7C1
7C1
6BA
6BA
5E5
5E5
53C
53C
p
o
d
st
a
w
a
p
o
d
st
a
w
a
dwójkowy (binarny)
dwójkowy (binarny)
ósemkowy
ósemkowy
(
(
octal
octal
)
)
dziesiętny
dziesiętny
(
(
decimal
decimal
)
)
szesnastkowy
szesnastkowy
(
(
hexadecimal
hexadecimal
)
)
(“hex”)
(“hex”)
Relacje systemów zapisu
dec bin
oct hex dec bin oct hex
0 0000
0
0
8 1000
10
8
1 0001
1
1
9 1001
11
9
2 0010
2
2
10 1010
12
A
3 0011
3
3
11 1011
13
B
4 0100
4
4
12 1100
14
C
5 0101
5
5
13 1101
15
D
6 0110
6
6
14 1110
16
E
7 0111
7
7
15 1111
17
F
KONWERSJA LICZB
• Zamiana liczb dziesiętnych na liczby w innych
systemach polega na sukcesywnym dzieleniu jej
i kolejnych wyników dzielenia przez
podstawę systemu (2, 8, 16) oraz zapisywaniu
ciągu reszt z dzielenia w uszeregowaniu od
prawej do lewej (znakami „alfabetu” danego
systemu). Dzielenie kończymy gdy wynik jest
mniejszy niż 1, 7, 15.
• 255
10
= 255:16 = 15 r 15 = FF
16
• 255
10
= 255:8 = 31 r 7; 31:8 = 3 r 7 = 377
8
• 15
10
=15:2=7 r 1; 7:2=3 r 1; 3:2=1 r 1 = 1111
2
• 255
10
=FF
16
= 377
8
= 011 111 111
2
= 1111 1111
2
Zamiana liczby dziesiętnej na binarną
69:2
34
34:2
17
17:2
8
8:2
4
4:2
2
2:2
1
1:2
0
r.1
r.0
r.1
r.0
r.0
r.0
r.1
Najmłodsz
y bit
Najstarszy
bit
Kolejno
dzielimy liczbę
dziesiętną
przez 2 z resztą
i zapisujemy
reszty
od
najstarszego
do
najmłodszego
bitu
(od dołu do
góry)
69
(10)
=
1000101
(2)
Każdą pozycję liczby binarnej nazywamy
bitem
(
bi
nary
digi
t
) i jest to najmniejsza jednostka ilości informacji
Algorytm zamiany liczby dziesiętnej
na binarną
•Liczba dziesiętna 69 to binarnie 1000101
•Dzielimy liczbę binarną na tzw. kęsy o
długości 4 bitów (licząc od ostatniej pozycji)
czyli: (0100) (0101)
•Dla każdego kęsa znajdujemy wartość
dziesiętną i zapisujemy ją w postaci
heksadecymalnej
binarnie
(0100) (0101)
dziesiętnie
4 5
heksadecymalnie
45
tak więc: 45
(16)
=4*16
1
+
5*16
0
=64+5=69
(10)
DZIESIĘTNY NA SZESNASTKOWY
DWÓJKOWY NA
SZESNASTKOWY
• Rozbijamy liczbę na czteroznakowe kęsy:
10010101111
(2)
=(0100) (1010) (1111)
• Przypisujemy każdej czwórce liczbę dziesiętną:
(0100)
(2)
=4
(10)
(1010)
(2)
=10
(10)
(1111)
(2)
=15
(10)
• Przypisujemy każdej liczbie dziesiętnej liczbę
szesnastkową:
4
(10)
=4
(16)
10
(10)
=A
(16)
15
(10)
=F
(16)
• 10010101111
(2)
= 4AF
(16)
KOD BCD
• BCD - kodowanie dwójkowo-dziesiętne
(Binary Coded Decimal)
• Czterem bitom w kodzie BCD odpowiada
jedna cyfra dziesiętna.
• 94
10
=0101 0100
BCD
• Stosowany do reprezentacji danych w
komputerach, np. w listach rozkazów,
wprowadzania informacji numerycznych,
wyświetlania liczb dziesiętnych.
KODOWANIE
INFORMACJI
ASCII-8 ASCII-7 EBCDIC
Bajt Bity Bity Bity
A 1010 0001
100 0001
1100 0001
B 1010 0010
100 0010
1100 0010
C 1010 0011
100 0011
1100 0011
0 0101 0000
011 0000
1111 0000
1 0101 0001
011 0001
1111 0001
2 0101 0010
011 0010
1111 0010
3 0101 0011
011 0011
1111 0011
