Ruch falowy
Ruch falowy
Fale mechaniczne
Fale mechaniczne
Fale dźwiękowe
Fale dźwiękowe
Promieniowanie elektromagnetyczne
Promieniowanie elektromagnetyczne
Rozchodzenie się fali elektromagnetycznej
Rozchodzenie się fali elektromagnetycznej
Energia fali elektromagnetycznej
Energia fali elektromagnetycznej
Zjawisko polaryzacji
Zjawisko polaryzacji
Zjawiska optyczne
Zjawiska optyczne
Interferencja
Interferencja
Dyfrakcja
Dyfrakcja
Wykład
Wykład
4
4
Fale mechaniczne
Fale mechaniczne
Fale mechaniczne
Fale mechaniczne
•
Rodzaje fal
Rodzaje fal
•
Rozchodzenie się fal
Rozchodzenie się fal
•
Superpozycja fal
Superpozycja fal
•
Interferencja
Interferencja
•
Fale stojące
Fale stojące
•
Rezonans
Rezonans
Fale dźwiękowe
Fale dźwiękowe
•
Charakterystyki dźwięku
Charakterystyki dźwięku
•
Fale podłużne
Fale podłużne
•
Dudnienia
Dudnienia
•
Zjawisko Dopplera
Zjawisko Dopplera
Wykład
Wykład
4
4
Fale mechaniczne
Fale mechaniczne
Wykład
Wykład
4
4
Falami mechanicznymi nazywamy fale powstające w ośrodkach
sprężystych.
Powstają one w wyniku wychylenia się jakiegoś fragmentu ośrodka
sprężystego z położenia równowagi. Dzięki sprężystym właściwościom
ośrodka drgania te przekazywane są do dalszych jego części i fala
przechodzi przez cały ośrodek. Ośrodek jako całość nie przesuwa się
wraz z falą.
Energia fali to kinetyczna i potencjalna
energia cząstek materii.
Ruch falowy jest związany z dwoma
procesami: z transportem energii przez
ośrodek od cząstki do cząstki i z ruchem
drgającym poszczególnych cząstek dokoła
ich położeń równowagi. Ruch falowy nie
jest związany z ruchem materii jako
całości.
Do rozchodzenia się fal mechanicznych
niezbędny jest ośrodek materialny.
Rodzaje fal
Rodzaje fal
Wykład
Wykład
4
4
Powierzchnia falowa
kulista
Fala trójwymiarowa – powietrze
w otoczeniu drgającej kuli
Fala dwuwymiarowa –
powierzchnia wody w postaci
okręgów
Powierzchnia falowa
kołowa
Fala jednowymiarowa – punkty
materialne cienkiej struny
Powierzchnia falowa
jeden punkt
Fale płaskie
Fale poprzeczne
v
tylko w ciałach stałych
Fale podłużne
v
we wszystkich
ośrodkach
sprężystych
Rozchodzenie się fal
Rozchodzenie się fal
Wykład
Wykład
4
4
x
y
t=0 t=t
vt
Na podstawie równania można zbadać zachowanie się w czasie
określonej wartości zmiennej y np. szczytu fali – matematycznie
oznacza to, że badamy jak zmienia się w czasie x przy zachowaniu
ustalonej wartości dla (x-vt).
.
x vt const
dx
v
dt
- =
=
(
)
y f x vt
=
-
dla fali biegnącej
w prawo
prędkość fazowa fali
2
sin
A
y y
x
p
l
=
długość fali
amplituda fali
po czasie t
(
)
2
sin
A
y y
x vt
p
l
=
-
Okres dla fali jest czasem, w którym
fala przemieszcza się na odległość
równą jednej długości fali:
T
v
l
=
2
2
sin
A
y y
x
t
T
p
p
l
�
�
=
-
�
�
�
�
Rozchodzenie się fal
Rozchodzenie się fal
równanie fali
równanie fali
Wykład
Wykład
4
4
(
)
sin
A
y y
kx
t
w j
=
-
-
(
)
(
)
sin
sin
A
A
y y
kx
t
y y
kx
t
w
w
=
-
=
+
2
2
sin
A
y y
x
t
T
p
p
l
�
�
=
-
�
�
�
�
liczba falowa
częstość kołowa
x
y
v
T
k
l
w
= =
faza początkowa
równanie fali sinusoidalnej przesuwającej się w prawo
równanie fali sinusoidalnej przesuwającej się w lewo
Rozchodzenie się fal
Rozchodzenie się fal
zasada Huygensa
zasada Huygensa
Wykład
Wykład
4
4
Każdy punkt ośrodka, do którego dociera czoło fali staje się
samodzielnym źródłem wysyłającym fale kuliste cząstkowe.
Powierzchnia styczna do wszystkich fal kulistych cząstkowych stanowi
nowe czoło fali.
Rozchodzenie się fal
Rozchodzenie się fal
prawo odbicia i załamania
prawo odbicia i załamania
Wykład
Wykład
4
4
Prawo odbicia
1. Promień fali padającej, fali odbitej i
normalna wystawiona w punkcie padania
leżą w jednej płaszczyźnie.
2. Kąt padanie równy jest kątowi odbicia
Prawo załamania
1. Promień fali padającej, fali załamanej i
normalna wystawiona w punkcie padania
leżą w jednej płaszczyźnie.
2. Stosunek sinusa kąta padania do
sinusa kąta załamania równa się
stosunkowi prędkości rozchodzenia się
fali w ośrodku pierwszym do prędkości
rozchodzenia się fali w ośrodku drugim.
fala
płaska
fala
płaska
fala
płaska
kąt
padania
kąt
odbicia
kąt
załamania
Rozchodzenie się fal
Rozchodzenie się fal
zasada Huygensa – prawo odbicia
zasada Huygensa – prawo odbicia
Wykład
Wykład
4
4
czo
ło
fal
i p
ad
ają
ce
j
czo
ło fa
li o
dbit
ej
N
v
2
t
Rozchodzenie się fal
Rozchodzenie się fal
zasada Huygensa – prawo
zasada Huygensa – prawo
załamania
załamania
Wykład
Wykład
4
4
czo
ło
fal
i p
ad
ają
cej
N
czo
ło f
ali
zał
am
ane
j
v
1
v
2
v
1
t
P
1
sin
vt
P
a =
2
sin
v t
P
b =
1
2
sin
sin
v
v
a
b
=
1
2,1
2
v
n
v
=
współczynnik załamania
ośrodka drugiego
względem pierwszego
1
2
v
v
a
b
>
>
przejście z ośrodka
rzadszego do gęstszego
Rozchodzenie się fal
Rozchodzenie się fal
prędkość fali w ośrodku
prędkość fali w ośrodku
sprężystym
sprężystym
Wykład
Wykład
4
4
M
e
s
e
D
=
Prawo Hooke’a
naprężenie powodujące
odkształcenie w ośrodku
sprężystym
moduł
sprężystości
ośrodka
odkształcenie
względne
Druga zasada dynamiki Newtona
v
m
t
s
D
=
D
m
v
t
e
r e
D
=
D =
D
( )
( )
2
2
2
M
M
t
t
e
e
e
r e
r
e
D
D
=
=
D
D
M
v
r
=
prędkość
rozchodzenia się
zaburzenia
l
l
v
F
S
Superpozycja fal
Superpozycja fal
Wykład
Wykład
4
4
Doświadczalnie ustalono, że kilka fal może przebiegać ten sam obszar
przestrzeni niezależnie od siebie. Oznacza to, że przemieszczenie
dowolnej cząstki w ustalonej chwili czasu jest sumą przemieszczeń,
który wywołałyby poszczególne fale.
Proces wektorowego dodawania przemieszczeń nazywamy
superpozycją.
Ważną konsekwencją zasady superpozycji jest możliwość rozłożenia
skomplikowanych ruchów falowych na kombinację prostych fal.
Francuski matematyk J. Fourier wykazał, że dowolny periodyczny ruch
cząstki może być przedstawiony w postaci kombinacji liniowej ruchów
harmonicznych prostych.
( )
0
1
2
3
1
2
sin
sin2
sin3
cos
cos2
y t
A A
t A
t A
t
B
t B
t
w
w
w
w
w
= +
+
+
+ +
+
+
K
K
Interferencja fal
Interferencja fal
Wykład
Wykład
4
4
(
)
1
sin
A
y
y
kx
t
w j
=
-
-
(
)
2
sin
A
y
y
kx
t
w
=
-
(
)
(
)
1
2
sin
sin
A
y y
y
y
kx
t
kx
t
w
j
w
= +
=
�
-
-
+
-
�
�
�
2sin
cos
2 cos sin
2
2
2
2
A
A
y y
kx
t
y
kx
t
j
j
j
j
w
w
�
�
�
� �
�
=
-
-
=
-
-
�
�
�
� �
�
�
�
�
� �
�
(
)
(
)
1
1
sin
sin
2sin
cos
2
2
A
B
B A
B A
+
=
+
-
Zjawisko interferencji jest szczególnym przypadkiem superpozycji.
Zjawisko to polega na nakładaniu się (superpozycji) dwóch lub więcej
ciągów falowych harmonicznych o jednakowej częstotliwości i nie
zależnych od czasu różnicach faz wywołujących wychylenie cząstek od
położenia równowagi skierowane wzdłuż tej samej prostej.
nowa amplituda
zależna od różnicy faz
dwóch fal składowych
Interferencja fal
Interferencja fal
Wykład
Wykład
4
4
(
)
1
sin
A
y
y
kx
t
w j
=
-
-
(
)
2
sin
A
y
y
kx
t
w
=
-
1
sin
A
y
y
k x
t
k
j
w
�
�
�
�
=
-
-
�
�
�
�
�
�
�
�
w porównaniu z falą 2 fala 1 jest przesunięta wzdłuż
osi x o /k
w ustalonym punkcie przestrzeni fale 1 i 2 wywołują
drgania harmoniczne proste przesunięte w czasie o /
1
sin
A
y
y
kx
t
j
w
w
�
�
�
�
=
-
+
�
�
�
�
�
�
�
�
1
sin
A
y
y
k x
t
k
j
w
�
�
�
�
=
-
-
�
�
�
�
�
�
�
�
(
)
2
sin
A
y
y
kx
t
w
=
-
Interferencja fal
Interferencja fal
Wykład
Wykład
4
4
x
y
/k
Fale stojące
Fale stojące
Wykład
Wykład
4
4
(
)
2
sin
A
y
y
kx
t
w
=
+
(
)
1
sin
A
y
y
kx
t
w
=
-
2 sin cos
A
y
y
kx
t
w
=
amplituda zmienia się z
położeniem cząstki
amplituda jest ekstremalna dla:
3
3
,
,
,
,
2 2
4 4
kx
x
p
p
l
l
=
=
K
K
równanie fali stojącej
amplituda jest minimalna (zero) dla:
,2 ,
, ,
2
kx
x
l
p p
l
=
=
K
K
t=1/4T
t=3/4T
t=1/2T
1/4
1/2
3/4
Fale stojące
Fale stojące
Wykład
Wykład
4
4
/4
strzałka
węzeł
Obwiednia fali stojącej
/2
węzeł
węzeł
węzeł
węzeł
strzałka
strzałka
strzałka
Rezonans
Rezonans
Wykład
Wykład
4
4
v
M
v
l
w
r
=
=
Zjawisko rezonansu polega na tym, że gdy układ fizyczny zdolny
do wykonywania drgań pobudzany jest periodyczną serią impulsów o
częstości równej lub prawie równej częstości własnej układu to układ
ten zostaje wprawiony w drgania o dużej amplitudzie. Mówimy wtedy,
że układ znajduje się w rezonansie z przykładanymi impulsami.
impulsy
wymuszające
2
1,2,3,
2
l
l n
n
n
l
l
=
=
=
K
/2
sznur o długości l
częstość
moduł
sprężystości
prędkość
fazowa
gęstość
2
n M
l
w
r
=
Istnieje wiele częstości własnych
rozpatrywanego układu.
Jeżeli częstość wymuszająca jest
bliska jednej z częstości własnych
to sznur drga z tą częstością i
bardzo dużą amplitudą
Rezonans
Rezonans
Wykład
Wykład
4
4
2
2
0
1
2
r
b
w
w
=
-
2
n M
l
w
r
=
Drgający sznur - wiele częstości
rezonansowych.
Każdy element sznura ma zarówno
bezwładność jak i sprężystość.
O układach tego typu mówimy, że mają
elementy rozłożone.
W napiętym sznurze elementy podobne do
masy i sprężyny są rozłożone
równomiernie wzdłuż sznura. Istnieje wiele
sposobów wymiany pomiędzy kinetyczną i
potencjalną formą energii w czasie drgań,
odpowiednio do różnych dopuszczalnych
wartości parametru n.
Drgająca masa - jedna częstość
rezonansowa.
Bezwładność koncentruje się w jednym
elemencie układu – masie, a sprężystość
ma tylko drugi element – np. sprężyna.
O układach tego typu mówimy, że mają
elementy skupione.
Istnienie tylko jeden sposób wymiany
energii – energia kinetyczna związana
jest z ruchem masy a energia
potencjalna z deformacją sprężyny.
Fale dźwiękowe
Fale dźwiękowe
Wykład
Wykład
4
4
Fale dźwiękowe są podłużnymi falami mechanicznymi.
Mogą się rozchodzić w ciałach stałych, cieczach i gazach. Zakres
częstości mechanicznych fal podłużnych obejmuje zakres słyszalny
(20 Hz – 20000 Hz) oraz zakres infradźwiękowy (częstości niższe od
częstości słyszalnych) i zakres ultradźwiękowy (częstości wyższe od
częstości słyszalnych).
Fale słyszalna powstają w wyniku drgań strun, słupów powietrza oraz
płyt i membran. Wszystkie te elementy drgające na przemian
zgęszczają i rozrzedzają otaczający je ośrodek.
obszar słyszalności
I
[Hz]
10
-1
10
-5
10
-9
10
-13
10
2
10
3
10
4
próg bólu
dolny próg słyszalności
Charakterystyki dźwięku
Charakterystyki dźwięku
Wykład
Wykład
4
4
Wysokość dźwięku – wielkość związana z częstotliwością drgań
źródła. Małym częstotliwościom odpowiadają dźwięki niskie a dużym
wysokie.
Natężenie dźwięku – wielkość związana z ilością energii
przenoszonej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni
ustawionej prostopadle do promienia fali. Natężenie jest
proporcjonalne do kwadratu amplitudy źródła.
Barwa dźwięku – wielkość związana ze złożonością fali dźwiękowej.
O barwie decydują: liczba składowych tonów harmonicznych i
stosunki ich natężeń.
Fale podłużne
Fale podłużne
Wykład
Wykład
4
4
Propagacja fali podłużnej polega na przemieszczaniu się zagęszczenia
ośrodka i dlatego wygodniej jest w tym przypadku zajmować się
zmianami ciśnienia a nie jak do tej pory chwilowymi
przemieszczeniami cząstek przenoszących falę.
V
p
B
V
D
D =-
odchylenie od ciśnienia niezaburzonego
moduł ściśliwości
względna zmiana objętości
strefa
zagęszczenia
p+p
A
( )
V A x
= D
objętość warstwy płynu
gdy wszystkie cząstki
znajdują się w położeniach
równowagi
( )
V A y
D = D
zmiana objętości warstwy płynu gdy
cząstki wychylą się z położenia
równowagi pod wpływem zmiany
ciśnienia
Fale podłużne
Fale podłużne
( )
( )
A y
y
p
B
B
A x
x
D
�
D =-
=-
D
�
Wykład
Wykład
4
4
Zakładamy, że wychylenie cząstki w obszarze zagęszczenia
można opisać za pomocą funkcji harmonicznej:
(
)
cos
A
y y
kx
t
w
=
-
(
)
sin
A
y
ky
kx
t
x
w
�
=-
-
�
(
)
sin
A
p Bky
kx
t
w
D =
-
amplituda ciśnienia
Falę podłużną można traktować jako falę przemieszczeń
albo jako falę ciśnieniową. Gdy pierwsza opisana jest
funkcję cosinus to drugą wyraża sinus i odwrotnie.
Dudnienia
Dudnienia
cos
cos
2cos
cos
2
2
A B
A B
A
B
-
+
+
=
Wykład
Wykład
4
4
Dudnienie powstaje w wyniku superpozycji fal, które przebiegają ten
sam obszar przestrzeni w jednym kierunku ale posiadają różne
częstości.
( )
( )
1
1
2
2
cos
cos
A
A
y
y
t
y
y
t
w
w
=
=
(
)
1
2
cos
cos
A
y y
t
t
w
w
=
+
1
2
1
2
2
cos
cos
2
2
A
y
y
t
t
w
w
w
w
-
+
�
� �
�
=
�
�
�
�
�
� �
�
częstość drgania
wypadkowego
amplituda
drgania
wypadkowego
Dudnienia a fale stojące
Dudnienia a fale stojące
1
2
1
2
2 cos
cos
2
2
A
y
y
t
t
w w
w w
-
+
�
� �
�
=
�
�
�
�
�
� �
�
2 sin cos
A
y
y
kx
t
w
=
Wykład
Wykład
4
4
Dudnienia – interferencja w czasie
Fale stojące – interferencja w przestrzeni
amplituda zmienia się w
czasie z częstością:
1
2
2
amp
w w
w
-
=
amplituda zmienia się z
położeniem cząstki
Zjawisko Dopplera
Zjawisko Dopplera
Wykład
Wykład
4
4
Doppler, w pracy z roku 1842
zwrócił uwagę na fakt, że barwa
świecącego ciała musi się zmienić z
powodu względnego ruchu ciała i
obserwatora.
Zjawisko to nazwane zjawiskiem
Dopplera występuje dla wszystkich
fal, w tym dla fali dźwiękowej.
Zjawisko Dopplera dotyczy rozbieżności między częstością fali wysyłanej i
odbieranej w przypadku gdy nadajnik i odbiornik (lub jeden z nich)
poruszają się względem ośrodka przenoszącego falę.
Christian Johann Doppler (1803 – 1853)
0
0
1
v v
v
v
v
w w
w
-
�
�
�
=
=
-
�
�
�
�
0
v v
w
l
-
�=
Zjawisko Dopplera
Zjawisko Dopplera
0
0
1
v v
v
v
v
w w
w
+
�
�
�
=
=
+
�
�
�
�
Wykład
Wykład
4
4
Rozpatrzymy przypadek gdy odbiorca fal dźwiękowych porusza się
wzdłuż prostej łączącej go ze źródłem.
0
v v
w
l
+
�=
v
0
v
Z
=0
x
y
v
w
l
=
dla obserwatora
w spoczynku
v
0
v
Z
=0
x
y
v
Z
v
0
=0
x
y
’
’’
Zjawisko Dopplera
Zjawisko Dopplera
Z
v
v
v v
w
w
l
�
�
�
= = �
�
�
-
�
�
Wykład
Wykład
4
4
Rozpatrzymy przypadek gdy źródło fal dźwiękowych porusza się
wzdłuż prostej łączącej je z obserwatorem.
Z
v v
l
w
-
�=
v
l
w
=
dla źródła w
spoczynku
v
Z
v
0
=0
x
y
’
’’
Z
v
v
v v
w
w
l
�
�
�= = �
�
�
+
�
�
Z
v v
l
w
+
�=
Zjawisko Dopplera
Zjawisko Dopplera
0
Z
v v
v
v v
w
w
l
�
�
+
�= = �
�
�
-
�
�
Wykład
Wykład
4
4
Rozpatrzymy przypadek gdy źródło i odbiorca fal dźwiękowych
poruszają się wzdłuż łączącej ich prostej.
0
Z
v v
v
v v
w
w
l
�
�
-
�= = �
�
�
+
�
�
v
Z
v
0
x
y
’
’
v
Z
x
y
’
’
v
0
Z
v v
l
w
-
�=
0
v v
w
l
+
�=
�
Z
v v
l
w
+
�=
0
v v
w
l
-
�=
�
Fale elektromagnetyczne
Fale elektromagnetyczne
Promieniowanie elektromagnetyczne
Promieniowanie elektromagnetyczne
•
Widmo promieniowania elektromagnetycznego
Widmo promieniowania elektromagnetycznego
Rozchodzenie się fali elektromagnetycznej
Rozchodzenie się fali elektromagnetycznej
Energia fali elektromagnetycznej
Energia fali elektromagnetycznej
Zjawisko polaryzacji
Zjawisko polaryzacji
•
Polaryzacja przez odbicie
Polaryzacja przez odbicie
•
Polaryzacja przy załamaniu
Polaryzacja przy załamaniu
•
Skręcenie płaszczyzny polaryzacji
Skręcenie płaszczyzny polaryzacji
Zjawiska optyczne
Zjawiska optyczne
Interferencja
Interferencja
•
Doświadczenie Younga
Doświadczenie Younga
•
Spójność światła
Spójność światła
•
Interferencja w cienkich warstwach
Interferencja w cienkich warstwach
Dyfrakcja
Dyfrakcja
•
Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie
Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie
•
Doświadczenie Younga
Doświadczenie Younga
•
Siatka dyfrakcyjna
Siatka dyfrakcyjna
Wykład 4
Wykład 4
Promieniowanie
Promieniowanie
elektromagnetyczne
elektromagnetyczne
Wykład 4
Wykład 4
Fala elektromagnetyczne rozchodzi się w przestrzeni jako zaburzenie w
postaci zmiennych pól elektrycznego i magnetycznego, wzajemnie do
siebie prostopadłych oraz prostopadłych do kierunku ich rozchodzenia
się.
Maxwell pokazał, że wiązka światła to rozchodząca się fala
elektromagnetyczna.
James Clerk Maxwell (1831 – 1879)
x
y
z
E
B
Widmo promieniowania
Widmo promieniowania
elektromagnetycznego
elektromagnetycznego
Wykład 4
Wykład 4
W widmie elektromagnetycznym nie ma przerw i wszystkie fale
elektromagnetyczne, niezależnie od tego, do jakiego zakresu widma
należą, rozchodzą się w próżni z tą samą prędkością c.
Rozchodzenie się fali
Rozchodzenie się fali
elektromagnetycznej
elektromagnetycznej
niezwykła fala
niezwykła fala
Wykład 4
Wykład 4
Fala elektro magnetyczna nie potrzebuje żadnego ośrodka aby się
rozchodzić.
x
y
z
E
B
natężenie pola elektrycznego zmienia się sinusoidalnie
pole elektryczne indukuje prostopadłe pole magnetyczne, którego indukcja zmienia się sinusoidalnie
pole magnetyczne indukuje prostopadłe pole elektryczne, którego indukcja zmienia się sinusoidalnie
i tak dalej
Rozchodzenie się fali
Rozchodzenie się fali
elektromagnetycznej
elektromagnetycznej
niezwykła fala
niezwykła fala
Wykład 4
Wykład 4
Powstanie fali elektromagnetycznej wymaga istnienia zmiennego ruchu
ładunków.
Fala, która już powstała, samej sobie zawdzięcza zdolność rozchodzenia
się w przestrzeni (warunek braku absorpcji) na nieskończone odległości i
w nieograniczonym czasie.
Fale świetlne mogą do nas dochodzić od gwiazd odległych o miliony lat
świetlnych po milionach lat od chwili ich wysłania.
Rozchodzenie się fali
Rozchodzenie się fali
elektromagnetycznej
elektromagnetycznej
Wykład 4
Wykład 4
x
y
z
E
B
czoło fali
c
(
)
(
)
sin
sin
A
A
E E
kx
t
B B
kx
t
w
w
=
-
=
-
A
A
E
c
B
=
Rozchodzenie się fali
Rozchodzenie się fali
elektromagnetycznej
elektromagnetycznej
zjawisko indukcji
zjawisko indukcji
Wykład 4
Wykład 4
Definicja: zmienny w czasie strumień indukcji magnetycznej wzbudza
wzdłuż przewodzącego obwodu zamkniętego pole
elektryczne o nie znikającym krążeniu.
Jeżeli strumień indukcji zmienia się w
czasie, to zawsze powstaje pole
elektryczne takie, że krążenie natężenia
tego pola wzdłuż krzywej zamkniętej jest
równe wziętej ze znakiem minus
szybkości zmian strumienia indukcji
magnetycznej przez powierzchnię
rozpiętą na tej krzywej – niezależnie od
tego czy pokrywa się ona z obwodem
przewodzącym, w którym popłynąłby
prąd, czy też nie.
B
E
E
E
Rozchodzenie się fali
Rozchodzenie się fali
elektromagnetycznej
elektromagnetycznej
indukowane pole elektryczne
indukowane pole elektryczne
Wykład 4
Wykład 4
(
)
Eds
E dE h Eh hdE
=
+
-
=
�
uv v
�
h
dx
x
y
z
B
E
E+dE
(
)
B
B
B hdx
d
dB
hdx
dt
dt
F =
F
=
dB
hdE
hdx
dt
=-
(
)
(
)
cos
cos
A
A
E
kE
kx
t
x
B
B
kx
t
t
w
w
w
�
=
-
�
�
=-
-
�
(
)
(
)
cos
cos
A
A
kE
kx
t
B
kx
t
w
w
w
-
=
-
A
A
E
c
B
k
w
= =
B
d
Eds
dt
F
=-
�
uv v
�
Prawo indukcji Faradaya
strumień
magnetyczny
dE
dB
dx
dt
=-
x
y
z
E
Rozchodzenie się fali
Rozchodzenie się fali
elektromagnetycznej
elektromagnetycznej
indukowane pole magnetyczne
indukowane pole magnetyczne
Wykład 4
Wykład 4
(
)
Bds
B dB h EB
hdB
=-
+
-
=-
�
uv v
�
(
)
E
E
E hdx
d
dE
hdx
dt
dt
F =
F
=
0 0
dB
hdB
hdx
dt
me
-
=
(
)
(
)
0 0
cos
cos
A
A
kB
kx
t
E
kx
t
w
me w
w
-
-
=-
-
(
)
0 0
0 0
1
1
/
A
A
E
B
k
c
me w
me
=
=
0 0
E
d
Bds
dt
me
F
=
�
uv v
�
Prawo indukcji Maxwella
strumień
elektryczny
0 0
dB
dE
dx
dt
me
-
=
B
B+dB
0 0
1
c
me
=
prędkość fali
elektromagnetycznej w
próżni (światła)
h
dx
Rozchodzenie się fali
Rozchodzenie się fali
elektromagnetycznej
elektromagnetycznej
właściwości pól
właściwości pól
Wykład 4
Wykład 4
1. Wektory E i B są zawsze prostopadłe do kierunku rozchodzenia się
fali, czyli fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną.
2. Wektor natężenia pola elektrycznego jest zawsze prostopadły do
wektora indukcji pola magnetycznego.
3. Iloczyn wektorowy E i B zawsze wyznacza kierunek rozchodzenia
się fali.
4. Natężenie pola elektrycznego i indukcja pola magnetycznego
zmieniają się zawsze sinusoidalnie. Wektory pól zmieniają się z
taką samą częstością a ich oscylacje są zgodne w fazie.
Energia fali elektromagnetycznej
Energia fali elektromagnetycznej
wektor Poyntinga
wektor Poyntinga
Wykład 4
Wykład 4
_
2
0
1
2
A
S
E
cm
=
[ ]
(
)
_
2
2
2
0
0
1
1
sin
A
sr
sr
S
E
E
kx
t
c
c
w
m
m
=
=
�
-
�
�
�
0
1
S
E B
m
=
�
uv
uv uv
0
1
S
EB
m
=
2
0
1
S
E
cm
=
E
B
c
=
John Henry Poynting (1852 – 1914)
Szybkość przepływu energii fali elektromagnetycznej
przez jednostkę powierzchni określa wektor Poyntinga:
Kierunek wektor S w każdym
punkcie jest kierunkiem
rozchodzenia się fali i kierunkiem
przepływu energii w tym punkcie.
chwilowa szybkość
przepływu energii
Średnia energia przenoszona w
określonym czasie:
średnia wartość sin
2
po całym okresie jest
równa ½.
Zjawisko polaryzacji
Zjawisko polaryzacji
Wykład 4
Wykład 4
Fala elektromagnetyczna
wytworzona przez pojedyncze
źródło
Wektory E i k leżą w płaszczyźnie drgań wektora świetlnego.
Płaszczyzna do niej prostopadła jest płaszczyzną polaryzacji.
W rzeczywistości źródła światła składają się z wielu
pojedynczych źródeł fali elektromagnetycznej. Dzięki tej
mnogości, w promieniu świetlnym biegnącym w kierunku
k występują zmiany wektora E (i B) we wszystkich
kierunkach prostopadłych do wektora falowego k.
Jeżeli potrafimy zmiany wektora E
we wszystkich falach składowych
sprowadzić do jednej płaszczyzny,
zwierającej wektor k, to mówimy, że
światło jest spolaryzowane liniowo.
k
E
B
k
E
Zjawisko polaryzacji
Zjawisko polaryzacji
Wykład 4
Wykład 4
Gdy różnica faz obu składowych nie równa się 0 ani /2 otrzymujemy w wyniku złożenia
dwóch fal spolaryzowanych liniowo promieniowanie spolaryzowane eliptycznie.
Światło częściowo spolaryzowane
Światło spolaryzowane kołowo może powstać przy nakładaniu
się dwóch promieniowań spolaryzowanych liniowo
Polaryzacja przez odbicie
Polaryzacja przez odbicie
Wykład 4
Wykład 4
promień
niespolaryzowany
promień
częściowo
spolaryzowany
promień
częściowo
spolaryzowany
B
B
B
– kąt Brewstera
Brewster wykazał, że jeżeli promień odbity i
załamany tworzą kąt 90°, to promień odbity
jest całkowicie liniowo spolaryzowany.
Polaryzacja przez odbicie
Polaryzacja przez odbicie
prawo Brewstera
prawo Brewstera
(
)
sin
tan
sin 90
B
B
B
a
a
a
=
-
Wykład 4
Wykład 4
2
1
sin
sin
B
n
n
a
b
=
Całkowita polaryzacja podczas odbicia występuje przy takim kącie
padania, którego tangens równa się współczynnikowi załamania.
B
B
n
1
n
2
Zakładając, że n
1
=1, możemy powiedzieć, że:
Co stanowi treść prawa Brewstera.
David Brewster (1781 – 1868)
Polaryzacja przez odbicie
Polaryzacja przez odbicie
padanie promienia
padanie promienia
spolaryzowanego
spolaryzowanego
Wykład 4
Wykład 4
B
B
Odbiciu ulega ta składowa promieniowania padającego, w której drgania
wektora świetlnego są prostopadłe do płaszczyzny padania.
B
Fakt ten można wykorzystać do analizy, czy promień padający na
płytkę jest spolaryzowany, czy też nie.
Polaryzacja przez odbicie
Polaryzacja przez odbicie
polaryzator - analizator
polaryzator - analizator
Wykład 4
Wykład 4
B
B
B
Płaszczyzny padania polaryzatora i
analizatora są do siebie równoległe.
Płaszczyzny padania analizatora jest prostopadła
do płaszczyzny padania polaryzatora.
Drgania wektora E
odbywają się w
płaszczyźnie prostopadłej
do płaszczyzny padania
Drgania wektora E
odbywają się w
płaszczyźnie padania
Polaryzacja przy załamaniu
Polaryzacja przy załamaniu
ośrodek izotropowy
ośrodek izotropowy
Wykład 4
Wykład 4
B
promień
częściowo
spolaryzowany
Stopień polaryzacji światła częściowo spolaryzowanego:
||
||
I
I
P
I
I
^
^
-
=
+
B
Stos kilkunastu płytek szklanych przepuszcza światło
całkowicie liniowo spolaryzowane o drganiach wektora
świetlnego w płaszczyźnie padania. Natężenie tego
światła jest większe od natężenia światła
spolaryzowanego przez odbicie.
Polaryzacja przy załamaniu
Polaryzacja przy załamaniu
ośrodek anizotropowy
ośrodek anizotropowy
Wykład 4
Wykład 4
W ośrodku optycznie anizotropowym prędkość światła, a więc i
współczynnik załamania zależą od kierunku rozchodzenia się światła w
ośrodku.
Kryształy, z wyjątkiem tych należących do układu regularnego, są
anizotropowe optycznie.
Ciała stałe mogą być anizotropowe, ze względu na wiele własności:
1. sześcienny kryształ grafitu ma różny opór elektryczny między
poszczególnymi parami przeciwległych ścian;
2. sześcian z krystalicznego niklu łatwiej magnesuje się w pewnych
kierunkach niż w innych.
Polaryzacja przy załamaniu
Polaryzacja przy załamaniu
dwójłomność
dwójłomność
Wykład 4
Wykład 4
Przy przejściu światła przez ośrodek anizotropowy optycznie powstają
na ogół dwie wiązki załamane i mówimy o zjawisku podwójnego
załamania (dwójłomność).
CaCO
3
- kalcyt
78 78
102
oś optyczna
Oś optyczna – kierunek, w którym promienie
przechodzą przez kryształ bez podwójnego
załamania, czyli dla tego kierunku kryształ
ma tylko jeden współczynnik załamania.
oś optyczna
promień
zwyczajny
promień
nadzwyczajny
Polaryzacja przy załamaniu
Polaryzacja przy załamaniu
dwójłomność
dwójłomność
Wykład 4
Wykład 4
Promień zwyczajny przechodzi przez kryształ z tą samą prędkością v
0
we wszystkich kierunkach i stosuje się do prawa załamania
obowiązującego w ośrodkach izotropowych.
Promień nadzwyczajny przechodzi przez kryształ z prędkością
zmieniającą się wraz z kierunkiem od wartości v
0
do pewnej wartości v
e
i posiada inne własności: nie leże na ogół w płaszczyźnie padania a jego
współczynnik załamania określa się jako stosunek prędkości światła w
próżni do prędkości rozchodzenia się promienia nadzwyczajnego w
danym kierunku w krysztale.
n
0
oraz n
e
noszą nazwę głównych współczynników załamania kryształu.
Miarą dwójłomności jest różnica n
e
oraz n
0
. Gdy ta różnica jest dodatnia
kryształ nazywamy optycznie dodatnim i odwrotnie.
Polaryzacja przy załamaniu
Polaryzacja przy załamaniu
powierzchnie falowe Huygensa
powierzchnie falowe Huygensa
Wykład 4
Wykład 4
o
ś
o
p
ty
cz
n
a
o
ś
o
p
ty
cz
n
a
0
0
e
e
Kryształ dodatni optycznie
Kryształ ujemny optycznie
kalcyt
Polaryzacja przy załamaniu
Polaryzacja przy załamaniu
powierzchnie falowe Huygensa
powierzchnie falowe Huygensa
Wykład 4
Wykład 4
Nie występuje żadne załamanie podwójne
ani różnica prędkości.
Nie występuje
załamanie
podwójne ale
pojawia się różnica
prędkości.
Występuje załamanie podwójne i różnica
prędkości.
Skręcenie płaszczyzny
Skręcenie płaszczyzny
polaryzacji
polaryzacji
dwójłomność kołowa
dwójłomność kołowa
Wykład 4
Wykład 4
Ciała optycznie czynne posiadają zdolność skręcania płaszczyzny
polaryzacji przy przechodzeniu przez nie światła spolaryzowanego
liniowo.
Do skręcenia płaszczyzny polaryzacji prowadzi zjawisko dwójłomności
kołowej, polegające na rozdzieleniu wiązki spolaryzowanej liniowo na
dwie składowe spolaryzowane kołowo: prawoskrętnie i lewoskrętnie.
x
y
Wiązka
spolaryzowana
liniowo
x
x
y
y
Wiązka spolaryzowana
kołowo lewoskrętnie
Wiązka spolaryzowana
kołowo prawoskrętnie
Składowe te rozchodzą się z różnymi prędkościami, w
wyniku czego wytwarza się między nimi różnica faz.
x
y
Wiązka spolaryzowana
liniowo z inną
płaszczyzną polaryzacji
p
A
roztwór
cukru
Skręcenie płaszczyzny
Skręcenie płaszczyzny
polaryzacji
polaryzacji
kąt skręcenia
kąt skręcenia
Wykład 4
Wykład 4
Do ciał optycznie czynnych należą niektóre ciała stałe (np. kwarc), ciecze,
gazy oraz roztwory (np. cukru).
Doświadczenia wykazały, że kąt skręcenia płaszczyzny polaryzacji w
danej temperaturze i dla danej długości fali jest dany wzorem:
0
cl
a a
=
stężenie roztworu
długość drogi promienia w roztworze
skręcalność właściwa – kąt skręcenia płaszczyzny
polaryzacji przez roztwór o stężeniu 1 kg/0.1 m
3
gdy
długość drogi promienia wynosi 0.1 m
Zjawiska optyczne
Zjawiska optyczne
Wykład 4
Wykład 4
Tęcza
Miraż
Tęcza
Tęcza
czyli słońce po deszczu
czyli słońce po deszczu
Wykład 4
Wykład 4
Miraż
Miraż
czyli gorący słoneczny dzień
czyli gorący słoneczny dzień
Wykład 4
Wykład 4
ciepłe powietrze
ciepłe powietrze
cieplejsze powietrze
cieplejsze powietrze
szybko
szybciej
s
1
s
2
/2
Interferencja
Interferencja
Wykład 4
Wykład 4
Zjawisko interferencji polega na nakładaniu się dwóch lub więcej
wiązek światła, w wyniku czego wiązki lokalnie wzmacniają się lub
osłabiają.
źródło 1
źródło 2
2
1
s
s l
-
=
2
1
0,1, 2, 3,
s
s n
n
l
-
=
=
K
+
=
s
1
s
2
źródło 1
źródło 2
+
=
2
1
2
s
s
l
-
=
(
)
2
1
2
1
2
0,1, 2, 3,
s
s
n
n
l
-
=
+
=
K
Interferencja
Interferencja
Wykład 4
Wykład 4
Interferencja konstruktywna
Doświadczenie Younga
Doświadczenie Younga
Wykład 4
Wykład 4
Thomas Young (1773 – 1829)
Young wykazał doświadczalnie, że światło jest falą.
Doświadczenie Younga
Doświadczenie Younga
spójność promieniowania
spójność promieniowania
Wykład 4
Wykład 4
Spójność lub inaczej koherencja fal wymaga ciągłości własności
falowych warunkującej możliwość obserwacji interferencji.
s
1
s
2
=s
1
s
1
s
1
s
2
=s
1
+
s
2
=s
1
+/2
Interferencję światła obserwujemy wtedy, gdy w miejscu obserwacji
utrzymuje się przez dostatecznie długi czas w porównaniu z okresem
fali stała różnica faz nakładających się fal.
O takich falach mówimy, że są spójne.
Spójność światła
Spójność światła
Wykład 4
Wykład 4
wiązka niespójna
wiązka spójna
laser
Doświadczenie Younga
Doświadczenie Younga
położenie prążków
położenie prążków
interferencyjnych
interferencyjnych
Wykład 4
Wykład 4
y
d
sin
d
q
0,1, 2, 3,
m=
K
L
tan
y L
q
=
sin
d
m
q
l
=
wzmocnienie
(
)
sin
2
1
2
d
m
l
q =
+
wygaszenie
t
Doświadczenie Younga
Doświadczenie Younga
natężenie światła w obrazie
natężenie światła w obrazie
interferencyjnym
interferencyjnym
Wykład 4
Wykład 4
(
)
2
sin
A
E
E
t
w j
=
+
(
)
2
cos
2 cos
2
A
A
E
E
E
j
b
=
=
_
2
0
1
A
S I
E
cm
= =
2
j
b b
j
b
= +
=
1
sin
A
E E
t
w
=
E
1
E
2
E
A
E
A
E
Natężeniem fali nazywamy średnią energię
przenoszoną w określonym czasie – wektor Poyntinga.
amplituda
fali
wypadkowej
2
2
0
4
cos
2
A
I
E
c
j
m
=
2
sin
d
p
j
q
l
=
różnica dróg
Interferencja w cienkich
Interferencja w cienkich
warstwach
warstwach
Wykład 4
Wykład 4
n
powietrze
n
l
l �=
Interferencja w cienkich
Interferencja w cienkich
warstwach
warstwach
zmiana fazy przy odbiciu
zmiana fazy przy odbiciu
Wykład 4
Wykład 4
n
powietrze
Zmiana fazy o 180°
zmiana fazy
o 180°
bez zmiany
fazy
Interferencja w cienkich
Interferencja w cienkich
warstwach
warstwach
warunki interferencji
warunki interferencji
Wykład 4
Wykład 4
n
powietrze
r
1
r
2
p
d
’
Wzmocnienie występuje gdy promienie 1 i
2 są zgodne w fazie:
(
)
2
2
1
2
d
m
l �
=
+
Wygaszenie występuje gdy promienie 1 i
2 są w fazach przeciwnych:
2d ml �
=
0,1, 2, 3,
m=
K
n
l
l �
=
1
2
2
m
n
d
m
n
l
l
�
�
+
�
�
�
�
=
maksima
jasna warstwa w
powietrzu
minima
ciemna warstwa
w powietrzu
n
Interferencja w cienkich
Interferencja w cienkich
warstwach
warstwach
warstwa mydła
warstwa mydła
Wykład 4
Wykład 4
r
1
r
2
d
promień 2 doświadcza zmiany
fazy czyli przesunięcia o /2
1
2
2
m
d
m
l
l
�
�
+
�
�
=�
�
maksima
minima
n
p
= 1
szkło
powietrze
szkło
Interferencja w cienkich
Interferencja w cienkich
warstwach
warstwach
krążki Newtona
krążki Newtona
Wykład 4
Wykład 4
d
R
r
1
2
0,1, 2,
2
d
m
m
l
�
�
=
+
=
�
�
�
�
K
2
2
R
r
-
1/2
2
2
2
1
r
d R
R
r
R R
R
�
�
� �
= -
-
= -
-
�
�
� �
� �
�
�
�
�
2
2
1
1
2
2
r
r
d R R
R
R
�
�
� �
= -
-
+
@
�
�
� �
� �
�
�
�
�
L
Po rozwinięciu zgodnie z twierdzeniem o kwadracie
dwumianu przy założeniu r/R << 1
Interferencja w cienkich
Interferencja w cienkich
warstwach
warstwach
krążki Newtona
krążki Newtona
Wykład 4
Wykład 4
2
1
2
2
2
r
m
R
l
�
�
=
+
�
�
�
�
1
2
r
m
R
l
�
�
=
+
�
�
�
�
Interferencja w cienkich
Interferencja w cienkich
warstwach
warstwach
pawie pióra
pawie pióra
Wykład 4
Wykład 4
Efekt interferencji światła odbitego od złożonej
powierzchni warstwowej.
Jeżeli fala napotyka na swej drodze przeszkodę, w której znajduje się
otwór o rozmiarach zbliżonych do długości fali, to ta część fali która
przechodzi przez otwór będzie ulegać ugięciu (dyfrakcji) i będzie się
rozprzestrzeniać w całym obszarze poza przeszkodą.
Dyfrakcja
Dyfrakcja
Wykład 4
Wykład 4
a=
a=3
a=5
Dyfrakcja stanowi ograniczenie optyki geometrycznej, w której falę
elektromagnetyczną przedstawiamy jako promień świetlny.
Zjawisko dyfrakcji to więcej niż tylko rozprzestrzenianie się światła. W
wyniku dyfrakcji powstaje złożony z prążków obraz interferencyjny,
zwany obrazem dyfrakcyjnym.
Dyfrakcja na pojedynczej
Dyfrakcja na pojedynczej
szczelinie
szczelinie
Wykład 4
Wykład 4
S
n
S
2
S
1
d
Powstaje n źródeł zgodnych w
fazie.
x
y
Dyfrakcja na pojedynczej
Dyfrakcja na pojedynczej
szczelinie
szczelinie
interferencja fal z wielu źródeł
interferencja fal z wielu źródeł
Wykład 4
Wykład 4
S
n
S
2
S
1
d
r
n
r
2
r
1
(
)
(
)
(
)
1
2
cos
cos
cos
1
A
A
n
A
E
E
t
E
E
t
E
E
t
n
w
w j
w
j
=
=
+
=
+ -
M
2
sin
d
p
j
q
l
=
różnica faz między dwoma sąsiednimi źródłami
1
2
n
E E E
E
= + + +
L
E
A
E
A
E
A
E
A
E
A
r
n/2
(
)
(
)
sin
/2
sin /2
w
A
n
E
E
j
j
=
2
0
1
w
I
E
cm
=
(
)
(
)
2
2
2
0
sin
/2
sin
/2
A
n
E
I
c
j
m
j
=
0
0
d
n
j
��
��
(
)
(
)
2
2
0
sin /2
/2
A
E
I
c
j
m
j
�
�
=
�
�
�
�
�
�
2 sin
2
2 sin
2
A
w
E
r
n
E
r
j
j
=
=
Dyfrakcja na pojedynczej
Dyfrakcja na pojedynczej
szczelinie
szczelinie
Wykład 4
Wykład 4
a/2
a/2
D
sin
2
2
a
l
q =
sin
a
q l
=
położenie
pierwszego
minimum
sin
2
a
q
l
=
położenie drugiego minimum
Dyfrakcja na pojedynczej
Dyfrakcja na pojedynczej
szczelinie
szczelinie
sin
4
2
a
l
q =
Wykład 4
Wykład 4
D
sin
a
q l
=
położenie
pierwszego
minimum
a/4
a/4
a/4
a/4
sin
1, 2, 3,
a
m
m
q
l
=
=
K
W doświadczeniu nad dyfrakcją na
pojedynczej szczelinie ciemne prążki
powstają tam, gdzie różnica dróg między
skrajnymi promieniami wychodzącymi ze
szczeliny jest równa całkowitej
wielokrotności długości fali użytego
światła.
Dyfrakcja na pojedynczej
Dyfrakcja na pojedynczej
szczelinie
szczelinie
sin
1, 2, 3,
m
m
a
l
q =
=
K
Wykład 4
Wykład 4
1. Kąt ugięcia zależy od długości fali – ze wzrostem długości fali kąt
ugięcia rośnie, a ze wzrostem kąta ugięcia rośnie odległość
badanego prążka od prążka centralnego.
2. Kąt ugięcia zależy od szerokości szczeliny.
sin
1
1
a
m
m
l
q
=
=
=
1
5
sin
1, 2, 3, 4, 5.
5
a
m
m
l
q
=
=
=
Dyfrakcja światła nie ogranicza się tylko do sytuacji, kiedy światło
przechodzi przez wąskie szczeliny. Dochodzi do niej również na
krawędziach nieprzezroczystych przesłon, takich jak krawędzie żyletki.
Dyfrakcja
Dyfrakcja
Wykład 4
Wykład 4
(
)
(
)
2
2
0
sin
/2
cos
/2
2
d
i
d
I I
j
j
j
�
�
= �
�
�
�
�
�
5
5
10
10
20
Doświadczenie Younga
Doświadczenie Younga
Wykład 4
Wykład 4
Założenie – szczeliny wąskie w
porównaniu z długością fali,
czyli centralne maksimum
dyfrakcyjne każdej szczeliny
pokrywa cały ekran.
2
0
cos
2
i
I I
j
=
(
)
(
)
2
0
sin
/2
/2
d
d
I I
j
j
�
�
= �
�
�
�
�
�
2
sin
i
d
p
j
q
l
=
2
sin
d
a
p
j
q
l
=
Doświadczenie Younga
Doświadczenie Younga
Wykład 4
Wykład 4
a=
a=5
a=10
Siatka dyfrakcyjna
Siatka dyfrakcyjna
Wykład 4
Wykład 4
Siatka dyfrakcyjna jest to zbiór równoległych do siebie szczelin
przepuszczających światło, rozmieszczonych w jednakowych odstępach.
d
f
Dobre siatki mają do 2000 rys
szczelin na milimetrze.
Każda szczelina z osobna daje obraz dyfrakcyjny.
Wszystkie szczeliny działając łącznie dają wspólny
obraz interferencyjny.
sin
0,1, 2,
d
m
m
q
l
=
=
m=0
m=1
m=2
m=3
nie monochromatyczna wiązka padająca
Siatka dyfrakcyjna
Siatka dyfrakcyjna
Wykład 4
Wykład 4
Siatki dyfrakcyjne są powszechnie używane do wyznaczania długości fali
światła przez różne źródła, od lamp po gwiazdy.
Dyfrakcja –
Dyfrakcja –
metoda
metoda
określania
określania
struktur
struktur
krystalicznych
krystalicznych
Zjawisko dyfrakcji - rozpraszanie
Zjawisko dyfrakcji - rozpraszanie
•
Rozpraszanie na atomie
Rozpraszanie na atomie
•
Rozpraszanie na krysztale
Rozpraszanie na krysztale
Prawo Bragga
Prawo Bragga
•
Warunek dyfrakcji a prawo Bragga
Warunek dyfrakcji a prawo Bragga
Rozpraszanie promieni X
Rozpraszanie promieni X
•
Określanie struktur powierzchniowych
Określanie struktur powierzchniowych
Rozpraszanie cząstek
Rozpraszanie cząstek
•
Rozpraszanie neutronów
Rozpraszanie neutronów
•
Rozpraszanie elektronów
Rozpraszanie elektronów
Wykład 4
Wykład 4
Zjawisko dyfrakcji
Zjawisko dyfrakcji
Wykład 4
Wykład 4
Strukturę krystaliczną bada się wykorzystując zjawisko dyfrakcji fotonów,
neutronów lub elektronów Jeżeli długość fali po dyfrakcji pozostaje nie
zmieniona to mówimy o rozpraszaniu elastycznym.
Wielkość kąta, pod którym fala ugina się na krysztale zależy głównie od
struktury krystalicznej i od długości fali padającej.
Proces rozpraszania na krysztale może być, w
naturalny sposób podzielony na dwa etapy:
- rozpraszanie na poszczególnych atomach
- interferencja pomiędzy falami rozproszonymi.
Rozpraszanie na atomie
Rozpraszanie na atomie
jeden elektron
jeden elektron
Wykład 4
Wykład 4
Każdy atom posiada elektrony, które absorbują energię
padającej fali a następnie wypromieniowują ją we wszystkich
kierunkach w postaci fali kulistej.
(
)
0
exp
u A
i k r
t
w
�
�
=
� -
�
�
uu
v v
(
)
exp
e
A
u
fi
kD
t
D
w
�
=
-
�
�
�
�
Dlaczego atom rozprasza padającą na niego fale elektromagnetyczną?
amplituda fali
padającej
wektor falowy – k
0
= 2/
częstość kątowa
długość rozpraszania
elektronu
odległość od
centrom
rozpraszającego
liczba falowa fali
rozproszonej
Rozpraszanie na atomie
Rozpraszanie na atomie
dwa elektrony
dwa elektrony
Wykład 4
Wykład 4
Elektrony formują wokół jądra atomowego chmurę elektronową, tak że rozpatrując
rozpraszanie na atomie należy wziąć pod uwagę różnice faz pomiędzy falami
pochodzącymi od różnych rejonów chmury elektronowej.
(
)
(
)
1 exp
exp
e
A
u
fi
s r
ikD
D
�
�
�
=
+
�
�
�
v v
( )
(
)
exp
exp
e
A
u
fi
kD
i kD
D
d
�
=
+
+
�
�
�
�
2
k
k
0
s
opóźnienie fazowe fali od
elektronu 1 w stosunku do
elektronu 2
S
0
S
1
2
N
(
)
(
)
0
2
1
2
N
N
r S r S k s r
p
d
l
=
-
= � - �
= �
v uv v uuv
v v
(
)
0
0
s k S S
k k
=
-
= -
v
uv uu
v
v uu
v
2 sin
s
k
q
=
wektor określający pozycję elektronu 2 względem elektronu 1
znajdującego się w początku układu współrzędnych
Rozpraszanie na atomie
Rozpraszanie na atomie
dowolna ilość elektronów
dowolna ilość elektronów
Wykład 4
Wykład 4
Wybierzmy teraz początek układu współrzędnych w dowolnym punkcie przestrzeni.
(
)
(
)
(
)
1
2
exp
exp
exp
e
A
u
fi
s r
is r
ikD
D
�
�
�
=
� +
�
�
�
v uv
v uv
(
)
(
)
exp
exp
e
l
l
A
u
fi
kD
is r
D
�
=
�
�
v uv
(
)
2
2
2
exp
e
l
l
I
ff
is r
@
=
�
�
v uv
(
)
exp
e
l
l
ff
is r
=
�
�
v uv
położenie l-tego elektronu
zdolność rozpraszająca układu l elektronów – amplituda rozpraszania
Natężenie fali rozproszonej w danym
kierunku jest proporcjonalne do kwadratu
amplitudy rozpraszania.
Rozpraszanie na atomie
Rozpraszanie na atomie
dowolna ilość elektronów
dowolna ilość elektronów
Wykład 4
Wykład 4
Co oznacza to równanie?
2
e
I
Nf
@
(
)
2
2
2
exp
e
l
l
I
ff
is r
@
=
�
�
v uv
2
1 cos 2
2
e
e
f
r
q
�
�
+
= �
�
�
�
Oznacza ono, że centra rozpraszające (elektrony) wykazują wzajemne zależności fazowe czyli
są układem z właściwością koherencji. Tylko wtedy możemy rozważać interferencję fal
rozproszonych na poszczególnych elektronach. Fale takie nazywamy falami parcjalnymi.
Gdyby centra rozpraszające drgały
przypadkowo, niekoherentnie, to fale
parcjalne nie mogłyby interferować i
natężenie fali rozproszonej przez układ
byłoby prostą sumą natężeń parcjalnych.
ilość centrów
rozpraszających
klasyczny promień
elektronu 10
-15
m
Długość rozpraszania elektronu wyraża się
wzorem, którego wyprowadzenie pochodzi z
elektromagnetyzmu:
Rozpraszanie na atomie
Rozpraszanie na atomie
Wykład 4
Wykład 4
Zauważmy, że elektrony w atomie nie maję ściśle określonych pozycji tworząc
chmurę elektronową w całej objętości atomu ze stałem rozkładem ładunku.
Tak więc przechodząc do rozpraszania przez pojedynczy atom, należy zamienić
sumą fal parcjalnych na całkę.
(
)
( )
(
)
3
exp
exp
e
l
A
u
fi
kD
d r
r
is r
D
r
�
=
�
�
v
v u
v
(
)
( ) (
)
3
exp
exp
e
l
e
l
l
fi
s r
f
r
is r d r
r
� �
�
�
�
v uv
v
v uv
gęstość elektronowa – ilość
elektronów na jednostkę objętości
czynnik rozpraszania atomowego
Jeżeli przyjąć, że gęstość elektronowa ma
symetrię sferyczną to całkowanie po części
radialnej objętości może być łatwo wykonane:
( )
2
0
sin
4
R
a
sr
f
r
r
dr
sr
p r
=
�
Rozpraszanie na atomie
Rozpraszanie na atomie
Wykład 4
Wykład 4
( )
2
0
4
R
a
f
r
r dr
p r
=
�
( )
2
0
sin
4
R
a
sr
f
r
r
dr
sr
p r
=
�
promień atomu
Czynnik rozpraszania atomowego zależy od kata rozpraszania s = 2k sin
. Długość fali oscylacji
jest odwrotnie proporcjonalna do s co oznacza, że im szybsze oscylacje (mniejsza długość fali)
tym mniejszy czynnik rozpraszania atomowego ze względu na interferencję pomiędzy falami
parcjalnymi powstającymi w wyniku rozpraszania w różnych rejonach chmury elektronowej.
czynnik oscylacyjny
2 sin
s
k
q
=
Jeżeli wzrasta kąt rozpraszania
2
, czyli wzrasta s, to czynnik
rozpraszania maleje.
Łatwo jest policzyć czynnik rozpraszania dla kierunku „do
przodu” (
= 0, s = 0):
(
)
0
a
f
Z
q = =
ilość elektronów w
atomie - liczba atomowa
W kierunku do przodu wszystkie fale parcjalne są
w fazie i interferują konstruktywnie.
Rozpraszanie na krysztale
Rozpraszanie na krysztale
Wykład 4
Wykład 4
(
)
exp
aj
j
j
F
fi
s d
=
�
�
v uu
v
(
)
exp
kr
l
l
fi
s r
=
�
�
v uv
(
)
exp
k
l
l
S
is R
=
�
�
uuv
v
Czynnik rozpraszania kryształu można zdefiniować przez analogię do czynnika atomowego
sumując po wszystkich elektronach kryształu.
(
)
exp
kr
al
l
l
ff
is R
=
�
�
v uu
v
Sumowanie można przeprowadzić w dwóch etapach: sumowanie po wszystkich
elektronach atomu + sumowanie po atomach tworzących kryształ. Pierwsze sumowanie
prowadzi do czynnika rozpraszania atomowego.
położenie l-ego atomu
sumowanie po
wszystkich atomach
komórki elementarnej
Geometryczny czynnik strukturalny
względne położenie j-ego
atomu w komórce
Sieciowy czynnik strukturalny
sumowanie po wszystkich
komórkach elementarnych
położenie l-ej
komórki w krysztale
Rozpraszanie na krysztale
Rozpraszanie na krysztale
Wykład 4
Wykład 4
kr
f
F S
=
Nastąpiła separacja własności czysto strukturalnych sieci (S) i własności
atomowych związanych ze zdolnościami rozproszeniowymi (F).
Wielkość zależna od kształtu
geometrycznego i od zawartości komórki
elementarnej. W szczególnym przypadku
komórki prostej, czyli zawierającej jeden
atom czynnik geometryczny jest równy
czynnikowi rozpraszania atomowego.
Wielkość zależna tylko od struktury
krystalograficznej.
Prawo Bragga
Prawo Bragga
Wykład 4
Wykład 4
2 sin
d
n
q
l
=
2
AB BC AC
AB AC
�
�
D=
+
-
=
-
sin
2
cos
cos
tan
d
AB
d
AC
AC
q
q
q
q
=
�=
=
,
1,2,3, ,
n
n
l
D=
=
K
Model Bragga
Fale padające na kryształ ulegają odbici zwierciadlanemu od równoległych
płaszczyzn atomowych kryształu, z tym, że każda płaszczyzna odbija jedynie małą
część promieniowania. Wiązki ugięte występują tylko wtedy gdy odbicia od
równoległych płaszczyzn atomowych dają interferencję konstruktywną.
d
A
B
C
C`
Interferencja jest konstruktywna tylko
wtedy gdy różnica dróg przebytych przez
dwa sąsiednie promienie jest całkowitą
wielokrotnością długości fali.
Kąty, które wyznacza to
równanie są jedynymi
kątami pod którymi
obserwujemy odbicie.
Prawo Bragga wypływa z
ogólnych rozważań teorii
rozpraszania, czyli uzasadnione
jest używanie modelu Bragga i
mówienie o odbiciu od
płaszczyzn atomowych.
Rozpraszanie promieni X
Rozpraszanie promieni X
Wykład 4
Wykład 4
2
sin
hkl
d
q l
=
Długość fali promieniowania X jest
rzędu wielkości stałych sieci
kryształów i dlatego promieniowanie
to znalazło zastosowanie w analizie
strukturalnej.
około 1Å
elektrony
pierwotna wiązka
promieni X
układ
skupiający
(100)
(111)
(200)
Rozpraszanie cząstek
Rozpraszanie cząstek
Wykład 4
Wykład 4
2
2
p
h
h
E
m
p mv
l
=
= =
h
h
E h
p
k
c
n
n
w
l
=
=
=
= =
h
h
De Broglie założył, że powyższe równania dotyczą również cząstek.
Einstein założył, że promieniowanie elektromagnetyczne składa się z fotonów.
2
2
h
k
p
p
l
=
=
h
Rozpraszanie neutronów
Rozpraszanie neutronów
Wykład 4
Wykład 4
Mechanizm rozpraszania neutronów jest związany z ich oddziaływaniem z jądrami
atomów tworzących kryształ. Neutrony nie oddziałują z elektronami jako cząstki
elektrycznie obojętne.
0.28
E
l =
Szczegóły rozpraszania neutronów są identyczne jak w przypadku teorii
rozpraszania promieniowania X. Różnica polega na wprowadzeniu długości
rozpraszania neutronów w miejsce długości rozpraszania elektronów.
długość fali ~1Å
energia ~0.08eV
Rozpraszanie neutronów
Rozpraszanie neutronów
Wykład 4
Wykład 4
Korzyści wynikające z zastosowania neutronów do badania struktur
krystalicznych:
1. Możliwość lepszej obserwacji lekkich atomów – atomy takie posiadają mało
elektronów przez co słabo uczestniczą w rozpraszaniu promieni X.
2. W obrazie dyfrakcyjnym neutronów rozróżnia się izotopy.
3. Dyfrakcja neutronów niesie informację na temat materiałów magnetycznych;
neutrony posiadając własny moment magnetyczny „odczuwają” pole
magnetyczne generowane przez elektrony materiałów magnetycznych.
4. Technika rozpraszania neutronów pozwala w sposób efektywniejszy badać
drgania sieci krystalicznej.
Problemy:
1. Konieczność wykorzystania reaktora jądrowego.
2. Kłopoty z detekcją elektrycznie obojętnych neutronów.
Rozpraszanie elektronów
Rozpraszanie elektronów
Wykład 4
Wykład 4
Mechanizm rozpraszania elektronów jest związany z ich oddziaływaniem z polem
elektrycznym atomów tworzących kryształ. Pole jest produkowane zarówno przez
jądra jak i przez elektrony. Pole to jest duże w pobliżu jąder i szybko maleje z
odległością gdzie jądro jest ekranowane przez elektrony orbitalne.
12.26
E
l =
Długość rozpraszania związana z rozpraszaniem elektronu przez atom jest duża,
co oznacza że elektrony są silnie rozpraszane czyli słabo wnikają do wnętrza
próbki. Na przykład dla E=50eV głębokość wnikania równa jest ok. 50Å – badanie
rejonu powierzchniowego.
długość fali ~1Å
energia ~150eV