FALE

• Falą nazywamy każde rozprzestrzeniające się zaburzenie (odkształcenie, drgania).

• Fala poprzeczna - gdy drgania zachodzą w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali.

• Fala podłużna - gdy drgania zachodzą w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia się fali.

Równanie falowe:

Rozwiązanie ogólne: dowolna funkcja argumentu

FALE - c.d.¹

• Przykład fali biegnącej po strunie:

dla dowolnej, ustalonej wartości t:

- to długość fali (odległość między powtarzającymi się fragmentami fali, np. „grzbietami”);

- prędkość przesuwania się „grzbietu” fali, czyli prędkość fazowa fali;

FALE - c.d.²

• Związki między prędkością, okresem i długością fali:

- okres fali;
- częstość kołowa;
- częstotliwość;

• Liczba falowa (wektor falowy):

• Prędkość fazowa:

Przykład: równanie falowe dla metalowej struny o liniowej gęstości masy μ i naprężeniu działającym na strunę T:

czyli:

FALE - c.d.³

• Przykłady fal:

• Fala harmoniczna:

• Fala płaska:

• Fala kulista:

NAKŁADANIE SIĘ FAL

PACZKA FAL

• Nakładamy na siebie dwie fale harmoniczne o jednakowej amplitudzie i zbliżonych częstotliwościach
i
:

• Jako falę wypadkową otrzymujemy:

gdzie:

;
;

to funkcja modulująca (obwiednia) [zakładamy, że częstości różnią się nieznacznie]

NAKŁADANIE SIĘ FAL

PACZKA FAL - c.d.¹

• „Dokładamy” trzecią falę o częstości
i amplitudzie
:

• Pięć fal sinusoidalnych zsumowanych według powyższej reguły:

NAKŁADANIE SIĘ FAL

PACZKA FAL - c.d.²

• Nieskończona liczba fal o względnych amplitudach danych funkcją:

- funkcja Gaussa

jest odchyleniem standardowym - tu: rozrzut częstości

• Suma nieskończonej ilości fal sinusoidalnych będzie wtedy dana funkcją:

Odchylenie standardowe tego rozkładu:
nazywane jest szerokością paczki fal.

Funkcja
to transformata Fouriera paczki fal.

NAKŁADANIE SIĘ FAL

PRĘDKOŚĆ PACZKI FAL

• Nakładamy na siebie dwie rozchodzące się w przestrzeni fale harmoniczne o jednakowej amplitudzie i zbliżonych częstotliwościach
i
oraz zbliżonych liczbach falowych
i
:

• Jako falę wypadkową otrzymujemy:

gdzie:

;
;

;
;

NAKŁADANIE SIĘ FAL

PRĘDKOŚĆ PACZKI FAL - c.d.

• Funkcja modulująca jest teraz równa:

i ma ona maksimum dla:

a stąd otrzymujemy:

• Prędkość grupowa v_g - prędkość rozchodzenia się paczki fal sinusoidalnych o zbliżonych częstościach (prędkość „grzbietu” obwiedni):

• Prędkość fazowa v_f - prędkość rozchodzenia się stałej fazy (każdej fali składowej osobno);

ODBICIE FALI OD GRANICY OŚRODKÓW

• Ogólne rozwiązanie równania falowego to suma dwóch fal, biegnących w kierunku dodatnim (f) i ujemnym (g) osi x:

• Przykład: Poprzeczna fala sprężysta biegnąca wzdłuż gumowego węża zamocowanego sztywno na jednym końcu w miejscu x=0.

Wtedy:

czyli:

co daje ostatecznie dla dowolnego
daje:

Fala odbita zmieni fazę na przeciwną, co równoważne jest skokowi fazy o π radianów.

• Inny przykład: Poprzeczna fala sprężysta biegnąca wzdłuż gumowego węża zamocowanego za pomocą wiotkiej nici - brak skoku fazy!

FALE STOJĄCE

• Zakładamy odbicie fali harmonicznej od granicy ośrodków ze skokiem fazy równym π radianów:

Równanie to przedstawia tzw. falę stojącą - taki rodzaj drgań ośrodka, który charakteryzuje się regularnym występowaniem na przemian miejsc, gdzie amplituda drgań jest równa zeru (węzły) i gdzie jest maksymalna - równa 2A (strzałki).

Generowanie fal stojących:

• Przykład: płaska, prostokątna membrana o bokach a i b - można na niej wzbudzić falę stojącą tylko taką, która opowiada ułożenie się na każdej krawędzi całkowitej wielokrotności połowy odpowiadającej jej długości fali - figury Chladniego.

FALE AKUSTYCZNE

• Jest to rodzaj fal sprężystych - rozchodzących się w ciągłym ośrodku materialnym odkształceń objętościowych lub odkształceń postaci (w ciałach stałych).

• Fale akustyczne w powietrzu są przykładem fal podłużnych, polegających na rozchodzeniu się zagęszczeń i rozrzedzeń powietrza.

• Założenia:

• lokalny ruch cząsteczek powoduje zmianę gęstości gazu;

• zmiana gęstości jest równoważna zmianie ciśnienia gazu;

• nierównomierny rozkład ciśnienia powoduje lokalny ruch cząstek gazu;

gdzie:
ρ - gęstość;

Po wykorzystaniu równania Clapeyrona:

FALA SPRĘŻYSTA NA STRUNIE

• Rozważmy długą, naciągniętą strunę, której końcem poruszamy równomiernie w górę i w dół.

Bierzemy pod uwagę mały odcinek struny o długości
, którego końce tworzą małe kąty
i
z osią
.

• Wypadkowa pionowa siła działająca na strunę:

Zgodnie z II zasadą dynamiki musi być ona równa iloczynowi masy i pionowego przyspieszenia:

gdzie:
jest liniową gęstością materiału struny.

FALA SPRĘŻYSTA NA STRUNIE - c.d.

• Podstawiając wyrażenie na siłę do II zasady dynamiki:

i uwzględniając, że dla małych kątów :

otrzymujemy:

• Uwzględniając jeszcze, że:

mamy ostatecznie:

czyli: równanie ruchu struny = równanie falowe!

• Prędkość (fazowa) takiej fali:

(prędkość, z jaką fala przesuwa się po strunie w kierunku x).

ENERGIA FALI SPRĘŻYSTEJ

• Wprawiając strunę w drganie, wykonujemy pracę, która objawi się w postaci zmian energii kinetycznej i potencjalnej punktów struny.

• Energia dostarczona do struny jest przenoszona z prędkością fali i może być odebrana i wykorzystana na drugim końcu struny.

• Obliczmy szybkość przenoszenia tej energii (moc):

Ponieważ kąt
jest mały, możemy przyjąć:

skąd otrzymujemy związek:

ENERGIA FALI SPRĘŻYSTEJ - c.d.

• Przyjmując rozwiązanie równania falowego w postaci:

możemy policzyć odpowiednie pochodne
i
a stąd:

• Teraz możemy policzyć moc średnią:

nazywaną natężeniem fali.

(dla fal trójwymiarowych natężenie fali jest średnią mocą przenoszona przez metr kwadratowy czoła fali).

Dla wszystkich rodzajów fal natężenie jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy.

16

x

y