1

Portfel
inwestycyjny

Karol Śledzik

2

Wprowadzenie do zarządzania
portfelem inwestycyjnym

3

Awersja do ryzyka

Awersja do ryzyka oznacza, że inwestor

preferuje bardziej mniejsze niż większe ryzyko:

- Kiedy dwie inwestycje mają takie same

oczekiwane stopy zwrotu, inwestor będzie

preferować tę o niższym poziomie ryzyka

- Kiedy dwie inwestycje mają taki sam poziom

ryzyka, inwestor będzie preferować tę o

wyższej oczekiwanej stopie zwrotu

Inwestorzy nie “minimalizują” ryzyka,

wymieniają je … (trade-of)!

4

Teoria portfelowa
Markowitz’a

Założenia:

1.

Inwestorzy rozpatrują każdą inwestycję jako rozkład

prawdopodobieństwa oczekiwanych stóp zwrotu

2.

Inwestorzy maksymalizują oczekiwaną

użyteczność w jednookresowym horyzoncie

czasowym

3.

Inwestorzy mierzą ryzyko jako wariancję

(odchylenie standardowe) oczekiwanych stóp zwrotu

4.

Decyzje inwestorów rozpatrują tylko ryzyko i stopę

zwrotu przy podejmowaniu decyzji inwestycyjnych

5.

Inwestorzy wykazują się awersją do ryzyka

5

Wykorzystanie modelu
prawdopodobieństwa w kalkulacji
oczekiwanej stopy zwrotu

E(R) = Σ P

i

R

i

= 0.10

0.05

0.25

0.20

Recessio
n

0.06

0.10

0.60

Normal

–0.01

–0.05

0.20

Expansio
n

P

i

R

i

E(R

i

)

P

i

6

7

Wykorzystanie modelu prawdopodobieństwa

do kalkulacji wariancji

Std. deviation = 0.0090 0.0949 9.49%

=

=

s

S

=

=

=

-

n

2

2

P

i

i

i 1

variance

P [R E(R)]

State

P

i

R

i

E(R

)

[(R

i

) –

E(R)]

2

P

i

[(R

i

) –

E(R)]

2

Expansio
n

0.2

0

–0.05

0.1

0

0.0225

0.0045

Normal

0.6

0

0.10

0.1

0

0.0000

0.0000

Recessio
n

0.2

0

0.25

0.1

0

0.0225

0.0045

Variance

=

0.0090

8

Oczekiwana stopa zwrotu

z portfela inwestycyjnego

=

+

+

p

1

1

2

2

3

3

E(R ) W E(R ) W E(R ) W E(R )

Asset

W

i

E(R

i

)

W

i

E(R

i

Stock A

0.25

9.0%

2.25%

Stock B

0.45

19.0%

8.55%

Stock C

0.30

13.0%

3.90%

∑ W

i

E(R

i

) = 14.7%

9

Kowariancja stóp zwrotu

(

)(

)

=

�

�

-

-

�

�

=

-

�

n

t,1

1

t,2

2

t 1

1,2

R

R R

R

cov

n 1

Przykład:

Year

Stock 1

Stock 2

1

+0.05

+0.07

2

–0.02

–0.04

3

+0.12

+0.18

10

-

-

+ - -

- -

+

-

-

=

=

-

(5 5)(7 7) ( 2 5)( 4 7) (12 5)(18 7)

77 0.0077

3 1

Przykład: = (5 – 2 + 12) / 3 = 5%

= (7 – 4 + 18) / 3 = 7%

(

) (

)

=

�

�

-

-

�

�

=

-

�

n

t,1

1

t,2

2

t 1

1,2

R

R

R

R

cov

n 1

Kowariancja stóp zwrotu

11

Współczynnik korelacji

r

s s

=

1,2

1,2

1 2

Cov

(

) (

)

r

=

=

1,2

0.0051

0.662

0.07 0.11

Przykład: Kowariancja stóp zwrotu dwóch
aktywów jest równa 0.0051 natomiast σ

1

=

7%,

σ2= 11%

12

Odchylenie standardowe portfela

ρ

1,2

= +1

2 2

2 2

P

1 1

2 2

1 2 1 2

1 1

2 2

w

w

2w w

w

w

s

s

s

s s

s

s

=

+

+

=

+

Gdy współczynnik korelacji jest inny niż

ρ

1,2

= +1

13

Korelacja i redukcja ryzyka

E(R)

= –1

= –0.3

= +0.3

= +1

30%

25%

25%

20%

20%

15%

15%

10%

10%

5%

5%

0%

0%

100% Stock

A

100% Stock

B











14

Krzywa efektywności portfela



Krzywa efektywności portfela

inwestycyjnego jest zbiorem portfeli spośród

wszystkich możliwych portfeli stanowiących

kombinację indiwidualnych altywów

obciążonych ryzykiem które oferują:



Najwyższą oczekiwaną stopę zwrotu dla

każdego poziomu ryzyka (odchylenia

standardowego)

15

Krzywa efektywnosci portfela
inwestycyjengo - ang. Efficient Frontier

E(r)

Unattainable Portfolios

Inefficient Portfolios

Efficient

Frontier

Total Risk

Individual Risky Asset

16

An Introduction to

Asset Pricing Models

17

Assumptions of Capital Market
Theory



Investors use mean-variance framework



Unlimited lending and borrowing at Rf



Homogeneous expectations



One-period time horizon



Divisible assets



Frictionless markets



No inflation and unchanging interest rates



Capital markets are in equilibrium

18

19

20

21

22

23

24

Capital Asset Pricing Model
(CAPM)

-CAPM: The expected return on an asset
based (only) on the asset’s systematic risk
or beta

-CAPM is also used to determine the
required return on an asset based on the
asset’s systematic risk (beta)

- Required return and expected return are
the same in equilibrium

25

Relaxing the Assumptions of the SML



Diferent borrowing and lending rates: puts
a kink in the CML; the CAPM can still be derived
by assuming a zero-beta portfolio



Positive transaction costs, heterogeneous
expectations, diferent planning horizons:
the SML becomes a band rather than a line



Taxes: After-tax CAPM yields different SMLs and
CMLs for investors with different tax rates

26

Forecast Returns and the CAPM
– Problem



An analyst has forecast the following for
three stocks. R

f

= 7% E(R

mkt

) = 15%

Are these stocks overpriced, underpriced,

or at their equilibrium prices?

Show where they plot on the SML graph.

27

28

29

30

31

Kalkulacja współczynnika korelacji stóp zwrotu akcji (powt)

Rok r

A

r

B

Era Erb

(r

A

-Er

A

)

2

(r

B

-Er

B

)

2

(rA-ErA)

(rB-ErB)

1 15%

20%

2 12%

9%

3

5%

4%

4

1%

2%

5

-5%

-2%

s

Suma

wspKor

32

Kalkulacja współczynnika korelacji stóp zwrotu akcji ważonych
prawdopodobieństwem

p

r

A

r

B

pr

A

pr

B

p(r

A

-Er

A

)

2

p(r

B

-Er

B

)

2

p(rA-

ErA)

(rB-ErB)

0,1

15

%

25%

0,3

9%

9%

0,3

5%

5%

0,2 -1%

2%

0,1 -5%

-21%

E( r)

Var

Suma

S

wspKo

r

33















































m

i

B

i

B

i

m

i

A

i

A

i

m

i

B

i

B

A

i

A

i

B

A

r

r

p

r

r

p

r

r

r

r

p

1

2

,

1

2

,

1

,

,

,

)

(

)

(

)

)(

(



p

r

A

r

B

pr

A

pr

B

p(r

A

-Er

A

)

2

p(r

B

-Er

B

)

2

p(rA-ErA)
(rB-ErB)

0,1

15%

25%

0,015

0,025

0,001000

0,00400

0,002

0,3

9%

9%

0,027

0,027

0,000480

0,00048

0,00048

0,3

5%

5%

0,015

0,015

0,000000

0,00000

0

0,2

-1%

2%

-

0,

0
0
2

0,004

0,000720

0,00018

0,00036

0,1

-5% -21%

-

0,

0
0
5

-

0,

0
2
1

0,001000

0,00676

0,0026

E( r)

5%

5%

0,003200

0,01142 Var

0,00544 Suma

5,657%

10,686% S

0,89989 wspKor

34

Oczekiwana stopa zwrotu i ryzyko portfela złożonego z akcji n spółek wyrażone są za

pomocą

następujących wzorów:

r

P

= w

1

r

1

+ w

2

r

2

+ … + w

n

r

n

.

 

















1

1

1

1

2

2

2

2

n

i

ij

n

i

j

j

i

j

i

n

i

i

i

i

P

S

S

w

w

S

w

S



S

P

= (S

P

2

)

0,5

gdzie: r

P

- oczekiwana stopa zwrotu portfela;

S

2

p - wariancja portfela;

S

p

- odchylenie standardowe portfela.

35

Przykład.

Dane są akcje trzech spółek, ponumerowane od l do 3. Oczekiwane stopy zwrotu tych akcji

są następujące:

r1 = 8% ;

r2 = 10% ;

r3 = 15% ;

Ryzyko zaś:

S1 = 3% ;

S2 = 5% ;

S = 8% ;

Współczynniki korelacji stóp zwrotu par akcji wynoszą:

p12 = 0,4 ;

p13 = 0,2 ;

p23 = –0,3 ;

Inwestor posiada portfel składający się w 20% z akcji A, w 30% z akcji B i w 50% z akcji C.

Obliczymy oczekiwaną stopę zwrotu i ryzyko tego portfela.

rp = 0,2·8% + 0,3·10% + 0,5·15% = 12,1%.

Sp

2

= 0,2

2

(0,03)

2

+ 0,3

2

(0,05)

2

+ 0,5

2

(0,08)

2

+ 2·0,2·0,3· 0,03·0,05·0,4 +

+ 2·0,2·0,5·0,03·0,08·0,2 + 2·0,3·0,5·0,05·0,08·(-0,3) =

= 0,001669,

Sp

2

= 0,001669

Sp = 4,085%.