1
Portfel
inwestycyjny
Karol Śledzik
1
Portfel
inwestycyjny
Karol Śledzik
2
Wprowadzenie do zarządzania
portfelem inwestycyjnym
3
Awersja do ryzyka
Awersja do ryzyka oznacza, że inwestor
preferuje bardziej mniejsze niż większe ryzyko:
- Kiedy dwie inwestycje mają takie same
oczekiwane stopy zwrotu, inwestor będzie
preferować tę o niższym poziomie ryzyka
- Kiedy dwie inwestycje mają taki sam poziom
ryzyka, inwestor będzie preferować tę o
wyższej oczekiwanej stopie zwrotu
Inwestorzy nie “minimalizują” ryzyka,
wymieniają je … (trade-of)!
4
Teoria portfelowa
Markowitz’a
Założenia:
1.
Inwestorzy rozpatrują każdą inwestycję jako rozkład
prawdopodobieństwa oczekiwanych stóp zwrotu
2.
Inwestorzy maksymalizują oczekiwaną
użyteczność w jednookresowym horyzoncie
czasowym
3.
Inwestorzy mierzą ryzyko jako wariancję
(odchylenie standardowe) oczekiwanych stóp zwrotu
4.
Decyzje inwestorów rozpatrują tylko ryzyko i stopę
zwrotu przy podejmowaniu decyzji inwestycyjnych
5.
Inwestorzy wykazują się awersją do ryzyka
5
Wykorzystanie modelu
prawdopodobieństwa w kalkulacji
oczekiwanej stopy zwrotu
E(R) = Σ P
i
R
i
= 0.10
0.05
0.25
0.20
Recessio
n
0.06
0.10
0.60
Normal
–0.01
–0.05
0.20
Expansio
n
P
i
R
i
E(R
i
)
P
i
6
7
Wykorzystanie modelu prawdopodobieństwa
do kalkulacji wariancji
Std. deviation = 0.0090 0.0949 9.49%
=
=
s
S
=
=
=
-
n
2
2
P
i
i
i 1
variance
P [R E(R)]
State
P
i
R
i
E(R
)
[(R
i
) –
E(R)]
2
P
i
[(R
i
) –
E(R)]
2
Expansio
n
0.2
0
–0.05
0.1
0
0.0225
0.0045
Normal
0.6
0
0.10
0.1
0
0.0000
0.0000
Recessio
n
0.2
0
0.25
0.1
0
0.0225
0.0045
Variance
=
0.0090
8
Oczekiwana stopa zwrotu
z portfela inwestycyjnego
=
+
+
p
1
1
2
2
3
3
E(R ) W E(R ) W E(R ) W E(R )
Asset
W
i
E(R
i
)
W
i
E(R
i
Stock A
0.25
9.0%
2.25%
Stock B
0.45
19.0%
8.55%
Stock C
0.30
13.0%
3.90%
∑ W
i
E(R
i
) = 14.7%
9
Kowariancja stóp zwrotu
(
)(
)
=
�
�
-
-
�
�
=
-
�
n
t,1
1
t,2
2
t 1
1,2
R
R R
R
cov
n 1
Przykład:
Year
Stock 1
Stock 2
1
+0.05
+0.07
2
–0.02
–0.04
3
+0.12
+0.18
10
-
-
+ - -
- -
+
-
-
=
=
-
(5 5)(7 7) ( 2 5)( 4 7) (12 5)(18 7)
77 0.0077
3 1
Przykład: = (5 – 2 + 12) / 3 = 5%
= (7 – 4 + 18) / 3 = 7%
(
) (
)
=
�
�
-
-
�
�
=
-
�
n
t,1
1
t,2
2
t 1
1,2
R
R
R
R
cov
n 1
Kowariancja stóp zwrotu
11
Współczynnik korelacji
r
s s
=
1,2
1,2
1 2
Cov
(
) (
)
r
=
=
1,2
0.0051
0.662
0.07 0.11
Przykład: Kowariancja stóp zwrotu dwóch
aktywów jest równa 0.0051 natomiast σ
1
=
7%,
σ2= 11%
12
Odchylenie standardowe portfela
ρ
1,2
= +1
2 2
2 2
P
1 1
2 2
1 2 1 2
1 1
2 2
w
w
2w w
w
w
s
s
s
s s
s
s
=
+
+
=
+
Gdy współczynnik korelacji jest inny niż
ρ
1,2
= +1
13
Korelacja i redukcja ryzyka
E(R)
= –1
= –0.3
= +0.3
= +1
30%
25%
25%
20%
20%
15%
15%
10%
10%
5%
5%
0%
0%
100% Stock
A
100% Stock
B
14
Krzywa efektywności portfela
Krzywa efektywności portfela
inwestycyjnego jest zbiorem portfeli spośród
wszystkich możliwych portfeli stanowiących
kombinację indiwidualnych altywów
obciążonych ryzykiem które oferują:
Najwyższą oczekiwaną stopę zwrotu dla
każdego poziomu ryzyka (odchylenia
standardowego)
15
Krzywa efektywnosci portfela
inwestycyjengo - ang. Efficient Frontier
E(r)
Unattainable Portfolios
Inefficient Portfolios
Efficient
Frontier
Total Risk
Individual Risky Asset
16
An Introduction to
Asset Pricing Models
17
Assumptions of Capital Market
Theory
Investors use mean-variance framework
Unlimited lending and borrowing at Rf
Homogeneous expectations
One-period time horizon
Divisible assets
Frictionless markets
No inflation and unchanging interest rates
Capital markets are in equilibrium
18
19
20
21
22
23
24
Capital Asset Pricing Model
(CAPM)
-CAPM: The expected return on an asset
based (only) on the asset’s systematic risk
or beta
-CAPM is also used to determine the
required return on an asset based on the
asset’s systematic risk (beta)
- Required return and expected return are
the same in equilibrium
25
Relaxing the Assumptions of the SML
Diferent borrowing and lending rates: puts
a kink in the CML; the CAPM can still be derived
by assuming a zero-beta portfolio
Positive transaction costs, heterogeneous
expectations, diferent planning horizons:
the SML becomes a band rather than a line
Taxes: After-tax CAPM yields different SMLs and
CMLs for investors with different tax rates
26
Forecast Returns and the CAPM
– Problem
An analyst has forecast the following for
three stocks. R
f
= 7% E(R
mkt
) = 15%
Are these stocks overpriced, underpriced,
or at their equilibrium prices?
Show where they plot on the SML graph.
27
28
29
30
31
Kalkulacja współczynnika korelacji stóp zwrotu akcji (powt)
Rok r
A
r
B
Era Erb
(r
A
-Er
A
)
2
(r
B
-Er
B
)
2
(rA-ErA)
(rB-ErB)
1 15%
20%
2 12%
9%
3
5%
4%
4
1%
2%
5
-5%
-2%
s
Suma
wspKor
32
Kalkulacja współczynnika korelacji stóp zwrotu akcji ważonych
prawdopodobieństwem
p
r
A
r
B
pr
A
pr
B
p(r
A
-Er
A
)
2
p(r
B
-Er
B
)
2
p(rA-
ErA)
(rB-ErB)
0,1
15
%
25%
0,3
9%
9%
0,3
5%
5%
0,2 -1%
2%
0,1 -5%
-21%
E( r)
Var
Suma
S
wspKo
r
33
m
i
B
i
B
i
m
i
A
i
A
i
m
i
B
i
B
A
i
A
i
B
A
r
r
p
r
r
p
r
r
r
r
p
1
2
,
1
2
,
1
,
,
,
)
(
)
(
)
)(
(
p
r
A
r
B
pr
A
pr
B
p(r
A
-Er
A
)
2
p(r
B
-Er
B
)
2
p(rA-ErA)
(rB-ErB)
0,1
15%
25%
0,015
0,025
0,001000
0,00400
0,002
0,3
9%
9%
0,027
0,027
0,000480
0,00048
0,00048
0,3
5%
5%
0,015
0,015
0,000000
0,00000
0
0,2
-1%
2%
-
0,
0
0
2
0,004
0,000720
0,00018
0,00036
0,1
-5% -21%
-
0,
0
0
5
-
0,
0
2
1
0,001000
0,00676
0,0026
E( r)
5%
5%
0,003200
0,01142 Var
0,00544 Suma
5,657%
10,686% S
0,89989 wspKor
34
Oczekiwana stopa zwrotu i ryzyko portfela złożonego z akcji n spółek wyrażone są za
pomocą
następujących wzorów:
r
P
= w
1
r
1
+ w
2
r
2
+ … + w
n
r
n
.
1
1
1
1
2
2
2
2
n
i
ij
n
i
j
j
i
j
i
n
i
i
i
i
P
S
S
w
w
S
w
S
S
P
= (S
P
2
)
0,5
gdzie: r
P
- oczekiwana stopa zwrotu portfela;
S
2
p - wariancja portfela;
S
p
- odchylenie standardowe portfela.
35
Przykład.
Dane są akcje trzech spółek, ponumerowane od l do 3. Oczekiwane stopy zwrotu tych akcji
są następujące:
r1 = 8% ;
r2 = 10% ;
r3 = 15% ;
Ryzyko zaś:
S1 = 3% ;
S2 = 5% ;
S = 8% ;
Współczynniki korelacji stóp zwrotu par akcji wynoszą:
p12 = 0,4 ;
p13 = 0,2 ;
p23 = –0,3 ;
Inwestor posiada portfel składający się w 20% z akcji A, w 30% z akcji B i w 50% z akcji C.
Obliczymy oczekiwaną stopę zwrotu i ryzyko tego portfela.
rp = 0,2·8% + 0,3·10% + 0,5·15% = 12,1%.
Sp
2
= 0,2
2
(0,03)
2
+ 0,3
2
(0,05)
2
+ 0,5
2
(0,08)
2
+ 2·0,2·0,3· 0,03·0,05·0,4 +
+ 2·0,2·0,5·0,03·0,08·0,2 + 2·0,3·0,5·0,05·0,08·(-0,3) =
= 0,001669,
Sp
2
= 0,001669
Sp = 4,085%.