SYSTEMY LICZBOWE

SYSTEMY LICZBOWE

dr inż. Jacek FLOREK 

dr inż. Jacek FLOREK 

Instytut Informatyki

Instytut Informatyki



Rodzaje informacji (analogowe i cyfrowe)

Rodzaje informacji (analogowe i cyfrowe)



System dwójkowy

System dwójkowy



System heksadecymalny

System heksadecymalny

1

 

 

RODZAJE INFORMACJI

RODZAJE INFORMACJI

Informacje 

Informacje 

analogowe

analogowe

Informacje dyskretne 

Informacje dyskretne 

(cyfrowe)

(cyfrowe)

U(t)

Umax

Umax

0

0

R=(0,Umax)

nieskończony 

zbiór możliwych 

wartości

U(t)

Umaxq

Umax

0

0

R=(

U, 2U,

    3U, 4U

)

moc zbioru R

 wynosi 4

U - kwant

     wartości

MASZYNA

MASZYNA

 

 

ANALOGOWA

ANALOGOWA

WE

WY

MASZYNA

MASZYNA

 CYFROWA

 CYFROWA

#

#

#

#

a/c

c/a





 

 

INFORMACJA CYFROWA 

INFORMACJA CYFROWA 

(1)

(1)

Def.1. Informacją cyfrową nazywamy informację przedstawioną w 

Def.1. Informacją cyfrową nazywamy informację przedstawioną w 

postaci słów cyfrowych

postaci słów cyfrowych

Def.1. Informacją cyfrową nazywamy informację przedstawioną w 

Def.1. Informacją cyfrową nazywamy informację przedstawioną w 

postaci słów cyfrowych

postaci słów cyfrowych

Def.2. Słowem cyfrowym nazywamy dowolny ciąg składający się z 

Def.2. Słowem cyfrowym nazywamy dowolny ciąg składający się z 

symboli 0 i/lub 1

symboli 0 i/lub 1

Def.2. Słowem cyfrowym nazywamy dowolny ciąg składający się z 

Def.2. Słowem cyfrowym nazywamy dowolny ciąg składający się z 

symboli 0 i/lub 1

symboli 0 i/lub 1

Długość słowa

Długość słowa

Oznaczenie 

Oznaczenie 

symboliczne

symboliczne

Nazwa

Nazwa

1

1

4

4

8

8

16

16

32

32

64

64

a

a

0

0

a

a

3

3

...a

...a

0

0

a

a

7

7

.....a

.....a

0

0

a

a

15

15

.......a

.......a

0

0

a

a

31

31

.........a

.........a

0

0

a

a

63

63

...........a

...........a

0

0

bit

bit

tetrada, kęs

tetrada, kęs

bajt

bajt

słowo 16-bitowe, słowo

słowo 16-bitowe, słowo

podwójne słowo, dwusłowo

podwójne słowo, dwusłowo

słowo 64-bitowe, czterosłowo

słowo 64-bitowe, czterosłowo

1b - oznacza 1 bit

1b - oznacza 1 bit

1B=8b

1B=8b

1B - oznacza 1 bajt 

1B - oznacza 1 bajt 

1kB=1024B (2

1kB=1024B (2

10

10

)

)

1MB=1024kB

1MB=1024kB

1GB=1024MB

1GB=1024MB

Przykład: 20 MB jest ilością informacji ośmiokrotnie większą niż 20Mb

Przykład: 20 MB jest ilością informacji ośmiokrotnie większą niż 20Mb

 

 

INFORMACJA CYFROWA 

INFORMACJA CYFROWA 

(2)

(2)

W słowach cyfrowych wyróżnia się najstarszą i najmłodszą pozycję, 

W słowach cyfrowych wyróżnia się najstarszą i najmłodszą pozycję, 

tj. 

tj. 

bit najbardziej znaczący 

bit najbardziej znaczący 

zwany najstarszym (ang. 

zwany najstarszym (ang. 

MSB

MSB

 - Most 

 - Most 

Significant Bit

Significant Bit

)

)

oraz 

oraz 

bit najmniej znaczący

bit najmniej znaczący

 zwany najmłodszym (ang. 

 zwany najmłodszym (ang. 

LSB

LSB

 -

 -

 

 

Least 

Least 

Significant Bit

Significant Bit

)

)

a

a

n-1 

n-1 

......................... a

......................... a

0

0

MSB

MSB

LSB

LSB

Analogicznie możemy mówić o starszym i 

Analogicznie możemy mówić o starszym i 

najmłodszym bajcie lub o starszej lub młodszej 

najmłodszym bajcie lub o starszej lub młodszej 

tetradzie

tetradzie

 

 

DZIESIĘTNY SYSTEM LICZBOWY

DZIESIĘTNY SYSTEM LICZBOWY

Do zapisu dowolnej liczby system 

Do zapisu dowolnej liczby system 

wykorzystuje dziesięć symboli (cyfr):

wykorzystuje dziesięć symboli (cyfr):

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Dowolną liczbę w systemie dziesiętnym 

Dowolną liczbę w systemie dziesiętnym 

możemy przedstawić jako następująca sumę:

możemy przedstawić jako następująca sumę:

(a

(a

n-1

n-1

...a

...a

1

1

a

a

0

0

)

)

D

D

 = a

 = a

n-1

n-1

*10

*10

(n-1)

(n-1)

 +...+ a

 +...+ a

1

1

*10

*10

1

1

 + a

 + a

0

0

*10

*10

0 

0 

=

=

gdzie: 

gdzie: 

i - numer pozycji w liczbie,

i - numer pozycji w liczbie,

a

a

i

i

 - dowolna z cyfr od 0 do 9,

 - dowolna z cyfr od 0 do 9,

n - ilość cyfr (pozycji) w liczbie

n - ilość cyfr (pozycji) w liczbie

Przykład: 

Przykład: 

   

   

424

424

D

D

 = 4*10

 = 4*10

2

2

 + 2*10

 + 2*10

1

1

 + 5*10

 + 5*10

0

0

pozycja jedynek 

pozycja jedynek 

(0)

(0)

pozycja 

pozycja 

dziesiątek (1)

dziesiątek (1)

pozycja setek (2)

pozycja setek (2)









1

n

0

i

i

i

10

a

 

 

DWÓJKOWY SYSTEM LICZBOWY

DWÓJKOWY SYSTEM LICZBOWY

Do zapisu dowolnej liczby system 

Do zapisu dowolnej liczby system 

wykorzystuje dwa symbole (cyfry):

wykorzystuje dwa symbole (cyfry):

0, 1

0, 1

Dowolną liczbę w systemie dwójkowym 

Dowolną liczbę w systemie dwójkowym 

możemy przedstawić jako następująca 

możemy przedstawić jako następująca 

sumę:

sumę:

  

  

(a

(a

n-1

n-1

...a

...a

1

1

a

a

0

0

)

)

B

B

 = a

 = a

n-1

n-1

*2

*2

(n-1)

(n-1)

 +...+ a

 +...+ a

1

1

*2

*2

1

1

 + a

 + a

0

0

*2

*2

0 

0 

=

=

gdzie: 

gdzie: 

i - numer pozycji w liczbie,

i - numer pozycji w liczbie,

a

a

i

i

 - dowolna z cyfr (0 lub 1),

 - dowolna z cyfr (0 lub 1),

n - ilość cyfr (pozycji) w liczbie

n - ilość cyfr (pozycji) w liczbie

Przykład: 

Przykład: 

10100

10100

B

B

 = 1*2

 = 1*2

4

4

 + 0*2

 + 0*2

3

3

 + 1*2

 + 1*2

2

2

 + 0*2

 + 0*2

1 

1 

+ 0*2

+ 0*2

0

0









1

n

0

i

i

i

2

a

 

 

KONWERSJA LICZB

KONWERSJA LICZB

1.

1.

2.

2.

10100

10100

B

B

 = 1*2

 = 1*2

4

4

 + 0*2

 + 0*2

3

3

 + 1*2

 + 1*2

2

2

 + 0*2

 + 0*2

1 

1 

+ 0*2

+ 0*2

0 

0 

=

=

= 1*16 + 0*8 + 1*4 + 0*2 + 0*1 = 20

= 1*16 + 0*8 + 1*4 + 0*2 + 0*1 = 20

D

D

 

 

20:2 = 10

20:2 = 10

10:2 = 5

10:2 = 5

  

  

5:2 = 2

5:2 = 2

  

  

2:2 = 1

2:2 = 1

  

  

1:2 = 0

1:2 = 0

reszta=

reszta=

0

0

reszta=

reszta=

0

0

reszta=

reszta=

1

1

reszta=

reszta=

0

0

reszta=

reszta=

1

1

k

ie

ru

n

e

k

 o

d

c

zy

tu

 

k

ie

ru

n

e

k

 o

d

c

zy

tu

 

w

y

n

ik

u

w

y

n

ik

u

czyli    20

czyli    20

D

D

 = 

 = 

10100

10100

B

B

 

 

HEKSADECYMALNY (SZESNASTKOWY) 

HEKSADECYMALNY (SZESNASTKOWY) 

SYSTEM LICZBOWY

SYSTEM LICZBOWY

Do zapisu dowolnej liczby system 

Do zapisu dowolnej liczby system 

wykorzystuje szesnaście symboli (cyfr i 

wykorzystuje szesnaście symboli (cyfr i 

liter):

liter):

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Dowolną liczbę w systemie 

Dowolną liczbę w systemie 

heksadecymalnym możemy przedstawić 

heksadecymalnym możemy przedstawić 

jako następująca sumę:

jako następująca sumę:

(a

(a

n-1

n-1

...a

...a

1

1

a

a

0

0

)

)

H

H

 = a

 = a

n-1

n-1

*16

*16

(n-1)

(n-1)

 +...+ a

 +...+ a

1

1

*16

*16

1

1

 + 

 + 

a

a

0

0

*16

*16

0 

0 

=

=

gdzie: 

gdzie: 

i - numer pozycji w liczbie,

i - numer pozycji w liczbie,

a

a

i

i

 - dowolna cyfra heksadecymalna,

 - dowolna cyfra heksadecymalna,

n - ilość cyfr (pozycji) w liczbie

n - ilość cyfr (pozycji) w liczbie

Przykład: 

Przykład: 

1C2

1C2

H

H

 = 1*16

 = 1*16

2

2

 + C*16

 + C*16

1

1

 + 2*16

 + 2*16

0

0









1

n

0

i

i

i

16

a

 

 

KONWERSJA LICZB 

KONWERSJA LICZB 

(1)

(1)

1.

1.

2.

2.

1C2

1C2

H

H

 = 1*16

 = 1*16

2

2

 + C*16

 + C*16

1

1

 + 2*16

 + 2*16

0 

0 

= 

= 

         = 1*256 + 12*16 + 2*1 = 450

         = 1*256 + 12*16 + 2*1 = 450

D

D

 

 

450:16 = 

450:16 = 

28

28

28:16 = 1

28:16 = 1

  

  

1:16 = 0

1:16 = 0

reszta=

reszta=

2

2

reszta=

reszta=

C

C

reszta=

reszta=

1

1

k

ie

ru

n

e

k

 

k

ie

ru

n

e

k

 

o

d

c

zy

tu

o

d

c

zy

tu

 w

y

n

ik

u

 w

y

n

ik

u

czyli    450

czyli    450

D

D

 = 

 = 

1C2

1C2

H

H

reszty zapisujemy w 

reszty zapisujemy w 

postaci cyfry 

postaci cyfry 

heksadecymalnej

heksadecymalnej

 

 

KONWERSJA LICZB 

KONWERSJA LICZB 

(2)

(2)

Do konwersji zapisu binarnego na 

Do konwersji zapisu binarnego na 

heksadecymalny i odwrotnie wykorzystuje 

heksadecymalny i odwrotnie wykorzystuje 

się tabelę:

się tabelę:

cyfra heksadecymalna liczba binarna liczba dziesiętna

0

0000

0

1

0001

1

2

0010

2

3

0011

3

4

0100

4

5

0101

5

6

0110

6

7

0111

7

8

1000

8

9

1001

9

A

1010

10

B

1011

11

C

1100

12

D

1101

13

E

1110

14

F

1111

15

 

 

KONWERSJA LICZB 

KONWERSJA LICZB 

(3)

(3)

1C2

1C2

H

H

 = 

 = 

         

         

= 0001  1100  

= 0001  1100  

0010 =

0010 =

         

         

= 000111000010 

= 000111000010 

= 

= 

= 111000010

= 111000010

B

B

111000010

111000010

B

B

 = 

 = 

= 

= 

000

000

1  1100  0010

1  1100  0010

B

B

 = 

 = 

= 1C2

= 1C2

H

H

każdą cyfrę hex. 

każdą cyfrę hex. 

zapisujemy w postaci 

zapisujemy w postaci 

czwórki cyfr binarnych

czwórki cyfr binarnych

odrzucamy nieznaczące 

odrzucamy nieznaczące 

zera na początku liczby 

zera na początku liczby 

binarnej

binarnej

1.

1.

2.

2.

liczbę binarną dzielimy od 

liczbę binarną dzielimy od 

końca na czwórki 

końca na czwórki 

ewentualnie dopisując 

ewentualnie dopisując 

nieznaczące zera w 

nieznaczące zera w 

ostatniej (pierwszej) 

ostatniej (pierwszej) 

czwórce

czwórce

każdą czwórkę binarną 

każdą czwórkę binarną 

zapisujemy w postaci cyfry 

zapisujemy w postaci cyfry 

hex. 

hex. 

 

 

W jakim systemie liczbowym zapisano 

W jakim systemie liczbowym zapisano 

biografię?

biografię?

Ukończyłem  uniwersytet  w 

Ukończyłem  uniwersytet  w 

44

44

  roku  życia;  po  roku, 

  roku  życia;  po  roku, 

jako  już 

jako  już 

100

100

-letni  młodzieniec,  ożeniłem  się  z 

-letni  młodzieniec,  ożeniłem  się  z 

34

34

-

-

letnią  panienką.  Nieznaczna  różnica  wieku  – 

letnią  panienką.  Nieznaczna  różnica  wieku  – 

11

11

  lat 

  lat 

tylko – sprzyjała bardzo harmonijnemu małżeńskiemu 

tylko – sprzyjała bardzo harmonijnemu małżeńskiemu 

pożyciu.  W  stosunkowo  krótkim  czasie  mieliśmy  już 

pożyciu.  W  stosunkowo  krótkim  czasie  mieliśmy  już 

10

10

 dzieci. Moja miesięczna pensja wynosiła 

 dzieci. Moja miesięczna pensja wynosiła 

13000

13000

 zł, 

 zł, 

z których 

z których 

1/10

1/10

 oddawałem siostrze, tak iż na własne 

 oddawałem siostrze, tak iż na własne 

utrzymanie  mieliśmy  tylko 

utrzymanie  mieliśmy  tylko 

11200

11200

  zł  na  miesiąc; 

  zł  na  miesiąc; 

mimo to byliśmy szczęśliwi.

mimo to byliśmy szczęśliwi.

W systemie dziesiętnym ma ona postać:

W systemie dziesiętnym ma ona postać:

Ukończyłem  uniwersytet  w 

Ukończyłem  uniwersytet  w 

24

24

  roku  życia;  po  roku, 

  roku  życia;  po  roku, 

jako już 

jako już 

25

25

-letni młodzieniec, ożeniłem się z 

-letni młodzieniec, ożeniłem się z 

19

19

-letnią 

-letnią 

panienką.  Nieznaczna  różnica  wieku  – 

panienką.  Nieznaczna  różnica  wieku  – 

6 

6 

lat  tylko  – 

lat  tylko  – 

sprzyjała 

bardzo 

harmonijnemu 

małżeńskiemu 

sprzyjała 

bardzo 

harmonijnemu 

małżeńskiemu 

pożyciu. W stosunkowo krótkim czasie mieliśmy już 

pożyciu. W stosunkowo krótkim czasie mieliśmy już 

5 

5 

dzieci.  Moja  miesięczna  pensja  wynosiła 

dzieci.  Moja  miesięczna  pensja  wynosiła 

1000 

1000 

zł,  z 

zł,  z 

których 

których 

1/5 

1/5 

oddawałem  siostrze,  tak  iż  na  własne 

oddawałem  siostrze,  tak  iż  na  własne 

utrzymanie  mieliśmy  tylko 

utrzymanie  mieliśmy  tylko 

800 

800 

zł  na  miesiąc;  mimo 

zł  na  miesiąc;  mimo 

to byliśmy szczęśliwi.

to byliśmy szczęśliwi.

 

 

KODOWANIE LICZB I TEKSTÓW

KODOWANIE LICZB I TEKSTÓW

dr inż. Jacek FLOREK 

dr inż. Jacek FLOREK 

Instytut Informatyki

Instytut Informatyki



Kody binarne

Kody binarne



kod naturalny NKB

kod naturalny NKB



kod BCD

kod BCD



kod Gray’a

kod Gray’a



inne kody

inne kody



Kodowanie znaków (tekstów)

Kodowanie znaków (tekstów)

2

 

 

KODOWANIE

KODOWANIE

Zbiorem 

Zbiorem 

kodowanym może 

kodowanym może 

być zbiór 

być zbiór 

dowolnych 

dowolnych 

obiektów (cyfr, 

obiektów (cyfr, 

liter, symboli 

liter, symboli 

graficznych, 

graficznych, 

stanów 

stanów 

logicznych, 

logicznych, 

poleceń do 

poleceń do 

wykonania itp.)

wykonania itp.)

Def.1. 

Def.1. 

Kodowaniem

Kodowaniem

 nazywamy przyporządkowanie 

 nazywamy przyporządkowanie 

poszczególnym obiektom zbioru kodowanego 

poszczególnym obiektom zbioru kodowanego 

odpowiadających im elementów zwanych słowami kodowymi, 

odpowiadających im elementów zwanych słowami kodowymi, 

przy czym każdemu słowu kodowemu musi odpowiadać 

przy czym każdemu słowu kodowemu musi odpowiadać 

dokładnie jeden element kodowany

dokładnie jeden element kodowany

Def.1. 

Def.1. 

Kodowaniem

Kodowaniem

 nazywamy przyporządkowanie 

 nazywamy przyporządkowanie 

poszczególnym obiektom zbioru kodowanego 

poszczególnym obiektom zbioru kodowanego 

odpowiadających im elementów zwanych słowami kodowymi, 

odpowiadających im elementów zwanych słowami kodowymi, 

przy czym każdemu słowu kodowemu musi odpowiadać 

przy czym każdemu słowu kodowemu musi odpowiadać 

dokładnie jeden element kodowany

dokładnie jeden element kodowany

A

A

B

B

C

C

010

010

111

111

100

100

001

001

Proces kodowania może być 

Proces kodowania może być 

opisem słownym, wzorem 

opisem słownym, wzorem 

(zależnością matematyczną), 

(zależnością matematyczną), 

tabelą kodową itp. 

tabelą kodową itp. 

Def.2. Kodem liczbowym nazywamy taki kod, który liczbom 

Def.2. Kodem liczbowym nazywamy taki kod, który liczbom 

dowolnego systemu będzie przyporządkowywał słowa 

dowolnego systemu będzie przyporządkowywał słowa 

kodowe w postaci zerojedynkowej (binarnej)

kodowe w postaci zerojedynkowej (binarnej)

Def.2. Kodem liczbowym nazywamy taki kod, który liczbom 

Def.2. Kodem liczbowym nazywamy taki kod, który liczbom 

dowolnego systemu będzie przyporządkowywał słowa 

dowolnego systemu będzie przyporządkowywał słowa 

kodowe w postaci zerojedynkowej (binarnej)

kodowe w postaci zerojedynkowej (binarnej)

 

 

NATURALNY KOD BINARNY (NKB)

NATURALNY KOD BINARNY (NKB)

Def. Jeżeli dowolnej liczbie dziesiętnej przyporządkujemy 

Def. Jeżeli dowolnej liczbie dziesiętnej przyporządkujemy 

odpowiadająca jej liczbę binarną, to otrzymamy naturalny 

odpowiadająca jej liczbę binarną, to otrzymamy naturalny 

kod binarny (NKB)

kod binarny (NKB)

Def. Jeżeli dowolnej liczbie dziesiętnej przyporządkujemy 

Def. Jeżeli dowolnej liczbie dziesiętnej przyporządkujemy 

odpowiadająca jej liczbę binarną, to otrzymamy naturalny 

odpowiadająca jej liczbę binarną, to otrzymamy naturalny 

kod binarny (NKB)

kod binarny (NKB)

Minimalna długość k słowa binarnego reprezentującego liczbę 

Minimalna długość k słowa binarnego reprezentującego liczbę 

dziesiętną A musi spełniać warunek:

dziesiętną A musi spełniać warunek:

1

2A

2

A

k







Oznacza to, że aby zakodować liczbę dziesiętną w zakresie 0-15 

Oznacza to, że aby zakodować liczbę dziesiętną w zakresie 0-15 

wystarczy wykorzystać jedną tetradę (długość słowa kodowego 

wystarczy wykorzystać jedną tetradę (długość słowa kodowego 

k=4) gdyż

k=4) gdyż

31

2

15

4





NKB

0

0000

1

0001

2

0010

3

0011

4

0100

5

0101

6

0110

7

0111

8

1000

9

1001

10

1010

11

1011

12

1100

13

1101

14

1110

15

1111

 

 

KOD PROSTY BCD

KOD PROSTY BCD

Gdy w systemie wygodnie jest operować liczbami dziesiętnymi 

Gdy w systemie wygodnie jest operować liczbami dziesiętnymi 

stosowany jest kod BCD. Liczba terad kodu BCD jest bowiem 

stosowany jest kod BCD. Liczba terad kodu BCD jest bowiem 

równa liczbie pozycji dziesiętnych reprezentowanej liczby. Np. 

równa liczbie pozycji dziesiętnych reprezentowanej liczby. Np. 

dziesiętna liczba 6-pozycyjna (000000-999999) jest kodowana 

dziesiętna liczba 6-pozycyjna (000000-999999) jest kodowana 

na 24 bitach

na 24 bitach

Konstrukcja:

Konstrukcja:

•

każdej cyfrze dziesiętnej przyporządkowujemy czterocyfrową 

każdej cyfrze dziesiętnej przyporządkowujemy czterocyfrową 

liczbę dwójkową w kodzie NKB

liczbę dwójkową w kodzie NKB

*)

*)

;

;

•

słowo kodowe w kodzie prostym BCD otrzymujemy zapisując 

słowo kodowe w kodzie prostym BCD otrzymujemy zapisując 

każdą cyfrę liczby dziesiętnej w postaci tetrady binarnej

każdą cyfrę liczby dziesiętnej w postaci tetrady binarnej

463

463

D

D

 = 010001100011

 = 010001100011

BCD

BCD

  

  

67

67

D

D

 = 01100111

 = 01100111

BCD

BCD

*)

*)

 gdybysmy zamiast kodu NKB użyli kodu np. Gray’a wówczas 

 gdybysmy zamiast kodu NKB użyli kodu np. Gray’a wówczas 

otrzymalibysmy kod BCD Gray’a

otrzymalibysmy kod BCD Gray’a

 

 

KOD GRAY’A

KOD GRAY’A

Kod Gray’a tworzy się z kodu naturalnego NKB biorąc pod 

Kod Gray’a tworzy się z kodu naturalnego NKB biorąc pod 

uwagę:

uwagę:

Def. Kod Gray’a to taki kod, którego kolejne słowa różnią się 

Def. Kod Gray’a to taki kod, którego kolejne słowa różnią się 

tylko na jednej pozycji

tylko na jednej pozycji

Def. Kod Gray’a to taki kod, którego kolejne słowa różnią się 

Def. Kod Gray’a to taki kod, którego kolejne słowa różnią się 

tylko na jednej pozycji

tylko na jednej pozycji

1

n

2

n

2

n

n

1

n

1

n

n

n

b

b

g

b

b

g

b

g





















NKB

Kod Gray’a

000

000

001

001

010

011

011

010

100

110

101

111

110

101

111

100

 

 

INNE KODY BINARNE

INNE KODY BINARNE

NKB BCD Kod Gray’a

1 z 10

J ohnsona

0

0000

0000

0000

0000000001

00000

1

0001

0001

0001

0000000010

00001

2

0010

0010

0011

0000000100

00011

3

0011

0011

0010

0000001000

00111

4

0100

0100

0110

0000010000

01111

5

0101

0101

0111

0000100000

11111

6

0110

0110

0101

0001000000

11110

7

0111

0111

0100

0010000000

11100

8

1000

1000

1100

0100000000

11000

9

1001

1001

1101

1000000000

10000

Długość słowa kodu „1 z n” (w tabeli „1 z 

Długość słowa kodu „1 z n” (w tabeli „1 z 

10”) jest równa n, tj. liczności zbioru 

10”) jest równa n, tj. liczności zbioru 

kodowanego (liczbie kodowanych słów)

kodowanego (liczbie kodowanych słów)

Kod 5-bitowy 

Kod 5-bitowy 

stosowany do 

stosowany do 

kodowania cyfr 

kodowania cyfr 

dziesiętnych

dziesiętnych

Są to kody nadmiarowe (redundancyjne), w których liczba pozycji 

Są to kody nadmiarowe (redundancyjne), w których liczba pozycji 

binarnych jest większa niż wynika to z ogólnej zależności

binarnych jest większa niż wynika to z ogólnej zależności

Redundancję można wykorzystać do zwiększenia niezawodności 

Redundancję można wykorzystać do zwiększenia niezawodności 

operacji wykonywanych na liczbach

operacji wykonywanych na liczbach

1

2A

2

A

k







 

 

KODOWANIE ZNAKÓW

KODOWANIE ZNAKÓW

Początki:

Początki:

•

Harald C. M. Morse (kropka - kreska - ....);

Harald C. M. Morse (kropka - kreska - ....);

•

Anatol de Baudot (dalekopis);

Anatol de Baudot (dalekopis);

•

w pierwszych maszynach cyfrowych - kod dalekopisowy 

w pierwszych maszynach cyfrowych - kod dalekopisowy 

5-bitowy, a potem 8-bitowy (EBCDIC);

5-bitowy, a potem 8-bitowy (EBCDIC);

W 1977 roku kiedy to ANSI (

W 1977 roku kiedy to ANSI (

American National Standards Institute

American National Standards Institute

) 

) 

zatwierdził 

zatwierdził 

kod ASCII

kod ASCII

 (

 (

The American Standard Code for Information 

The American Standard Code for Information 

Interchange

Interchange

). 

). 

Jest  to  7-bitowy  kod  (8  bit  do  kontroli  parzystości), 

Jest  to  7-bitowy  kod  (8  bit  do  kontroli  parzystości), 

definiujący  128-elementowy  zestaw  znaków  (

definiujący  128-elementowy  zestaw  znaków  (

character 

character 

set

set

)  o  wartościach  kodowych  od  0  do  127.  Zestaw 

)  o  wartościach  kodowych  od  0  do  127.  Zestaw 

zawiera  litery  łacińskie  (duże  i  małe),  cyfry  i  znaki 

zawiera  litery  łacińskie  (duże  i  małe),  cyfry  i  znaki 

interpunkcji 

oraz 

różne 

znaki 

specjalne. 

interpunkcji 

oraz 

różne 

znaki 

specjalne. 

Międzynarodowa  Organizacja  Standaryzacji  -  ISO, 

Międzynarodowa  Organizacja  Standaryzacji  -  ISO, 

nadała  amerykańskiemu  systemowi  kodowania  status 

nadała  amerykańskiemu  systemowi  kodowania  status 

standardu  międzynarodowego  oznaczonego  jako  ISO 

standardu  międzynarodowego  oznaczonego  jako  ISO 

646. 

646. 

Kod  ASCII  rozszerzony

Kod  ASCII  rozszerzony

  wprowadza  dodatkowe  128  znaków 

  wprowadza  dodatkowe  128  znaków 

wykorzystując mało używany bit parzystości:

wykorzystując mało używany bit parzystości:

IBM wprowadza 

IBM wprowadza 

•

Code Page 474 dla USA

Code Page 474 dla USA

•

Code Page 852 dla Europy Wschodniej

Code Page 852 dla Europy Wschodniej

 

 

8

Bit kontroli parzystości

7

0

0

0

0

1

1

1

1

6

0

0

1

1

0

0

1

1

Numery bitów słowa

5

0

1

0

1

0

1

0

1

4

3

2

1

0

0

0

0

NUL

DEL

SP

0

@

P

‘

p

0

0

0

1

SOH DC1

!

1

A

Q

a

q

0

0

1

0

STX

DC2

„

2

B

R

b

r

0

0

1

1

ETX

DC3



3

C

S

c

s

0

1

0

0

EOT DC4

$

4

D

T

d

t

0

1

0

1

ENQ NAK

%

5

E

U

e

u

0

1

1

0

ACK SYN

&

6

F

V

f

v

0

1

1

1

BEL

ETB

`

7

G

W

g

w

1

0

0

0

BS

CAN

(

8

H

X

h

x

1

0

0

1

HT

EM

)

9

I

Y

i

y

1

0

1

0

LF

SUB

*

:

J

Z

j

z

1

0

1

1

VT

ESC

+

;

K

[

k

{

1

1

0

0

FF

FS

,

<

L

\

l

|

1

1

0

1

CR

GS

-

=

M

]

m

}

1

1

1

0

SO

RS

.

>

N



n

~

1

1

1

1

SI

US

/

?

O



o

DEL

KODOWANIE ZNAKÓW

KODOWANIE ZNAKÓW

kod ASCII

kod ASCII

 

 

KODOWANIE ZNAKÓW

KODOWANIE ZNAKÓW

problem polskich liter

problem polskich liter

1. W 1987 roku ISO tworzy standard ISO 8859 (rozszerzone ASCII):

1. W 1987 roku ISO tworzy standard ISO 8859 (rozszerzone ASCII):

•

ISO 8859-1 (Latin-1) - Europa zachodnia

ISO 8859-1 (Latin-1) - Europa zachodnia

•

ISO 8859-2 (Latin-2) - Europa wschodnia

ISO 8859-2 (Latin-2) - Europa wschodnia

•

            

            

...............................

...............................

•

ISO 8859-5 (cyrlica)

ISO 8859-5 (cyrlica)

•

            

            

...............................

...............................

•

ISO 8859-7 (greka)

ISO 8859-7 (greka)

•

            

            

...............................

...............................

2.  W  1990  roku  Instytut  Maszyn  Matematycznych  tworzy 

2.  W  1990  roku  Instytut  Maszyn  Matematycznych  tworzy 

kod 

kod 

Mazovia

Mazovia

 (rozpowszechniony w dobie kart graficznych Hercules)

 (rozpowszechniony w dobie kart graficznych Hercules)

3.  Firma  Microsoft  tworzy  własny  zestaw  znaków  dla  Europy 

3.  Firma  Microsoft  tworzy  własny  zestaw  znaków  dla  Europy 

wschodniej 

wschodniej 

Windows CP 1250

Windows CP 1250

 

 

KODOWANIE ZNAKÓW

KODOWANIE ZNAKÓW

problem polskich liter

problem polskich liter

Litera Mazovia IBM Latin-2 Windows1250 ISO Latin-2

Ą

143

164

165

161

Ć

149

143

198

198

Ę

144

168

202

202

Ł

156

157

163

163

Ń

165

227

209

209

Ó

163

224

211

211

Ś

152

151

140

166

Ź

160

141

143

172

Ż

161

189

175

175

ą

134

165

185

177

ć

141

134

230

230

ę

145

169

234

234

ł

146

136

179

179

ń

164

228

241

241

ó

162

162

243

243

ś

158

152

156

182

ź

166

171

159

188

ż

167

190

191

191

 

 

STAŁOPOZYCYJNA REPREZENTACJA 

STAŁOPOZYCYJNA REPREZENTACJA 

LICZB

LICZB

Do 

reprezentacji 

liczb 

całkowitych 

stosowane 

są 

kody 

Do 

reprezentacji 

liczb 

całkowitych 

stosowane 

są 

kody 

stałopozycyjne

stałopozycyjne

•

zapis znak-moduł

zapis znak-moduł

•

zapis U1

zapis U1

•

zapis U2

zapis U2

•

zapis polaryzowany (BIAS)

zapis polaryzowany (BIAS)

Zapis 

Zapis 

U2

U2

 (uzupełnień do 2) jest podobny do U1 ale dla liczb ujemnych.

 (uzupełnień do 2) jest podobny do U1 ale dla liczb ujemnych.

Moduł liczby ujemnej powstaje tak, że do zanegowanych pozycji słowa jest 

Moduł liczby ujemnej powstaje tak, że do zanegowanych pozycji słowa jest 

arytmetycznie dodawana jedynka i dopiero  tak utworzone słowo odpowiada 

arytmetycznie dodawana jedynka i dopiero  tak utworzone słowo odpowiada 

w NKB modułowi tej liczby.

w NKB modułowi tej liczby.

„

„

0” ma pojedynczą reprezentację: 0000...000

0” ma pojedynczą reprezentację: 0000...000

Zapis 

Zapis 

U2

U2

 (uzupełnień do 2) jest podobny do U1 ale dla liczb ujemnych.

 (uzupełnień do 2) jest podobny do U1 ale dla liczb ujemnych.

Moduł liczby ujemnej powstaje tak, że do zanegowanych pozycji słowa jest 

Moduł liczby ujemnej powstaje tak, że do zanegowanych pozycji słowa jest 

arytmetycznie dodawana jedynka i dopiero  tak utworzone słowo odpowiada 

arytmetycznie dodawana jedynka i dopiero  tak utworzone słowo odpowiada 

w NKB modułowi tej liczby.

w NKB modułowi tej liczby.

„

„

0” ma pojedynczą reprezentację: 0000...000

0” ma pojedynczą reprezentację: 0000...000

Zapis 

Zapis 

BIAS

BIAS

 (polaryzowany) przedstawia liczby w taki sposób, że „0” jest 

 (polaryzowany) przedstawia liczby w taki sposób, że „0” jest 

reprezentowane przez n-bitowe słowo 1000..000 czyli przez liczbę 2

reprezentowane przez n-bitowe słowo 1000..000 czyli przez liczbę 2

n-1 

n-1 

kodu 

kodu 

NKB. Wszystkie inne liczby A są przedstawione na n pozycjach jako binarne 

NKB. Wszystkie inne liczby A są przedstawione na n pozycjach jako binarne 

wartości liczby 2 

wartości liczby 2 

n-1

n-1

+A

+A

Zapis 

Zapis 

BIAS

BIAS

 (polaryzowany) przedstawia liczby w taki sposób, że „0” jest 

 (polaryzowany) przedstawia liczby w taki sposób, że „0” jest 

reprezentowane przez n-bitowe słowo 1000..000 czyli przez liczbę 2

reprezentowane przez n-bitowe słowo 1000..000 czyli przez liczbę 2

n-1 

n-1 

kodu 

kodu 

NKB. Wszystkie inne liczby A są przedstawione na n pozycjach jako binarne 

NKB. Wszystkie inne liczby A są przedstawione na n pozycjach jako binarne 

wartości liczby 2 

wartości liczby 2 

n-1

n-1

+A

+A

Zapis 

Zapis 

znak-moduł

znak-moduł

 tworzy się przez dodanie przed MSB dodatkowego bitu 

 tworzy się przez dodanie przed MSB dodatkowego bitu 

znaku do zapisu NKB: 0 - liczba dodatnia; 1 - liczba ujemna; 

znaku do zapisu NKB: 0 - liczba dodatnia; 1 - liczba ujemna; 

„

„

0” ma podwójną reprezentację: 1000...000 lub 0000...000

0” ma podwójną reprezentację: 1000...000 lub 0000...000

Zapis 

Zapis 

znak-moduł

znak-moduł

 tworzy się przez dodanie przed MSB dodatkowego bitu 

 tworzy się przez dodanie przed MSB dodatkowego bitu 

znaku do zapisu NKB: 0 - liczba dodatnia; 1 - liczba ujemna; 

znaku do zapisu NKB: 0 - liczba dodatnia; 1 - liczba ujemna; 

„

„

0” ma podwójną reprezentację: 1000...000 lub 0000...000

0” ma podwójną reprezentację: 1000...000 lub 0000...000

W zapisie 

W zapisie 

U1

U1

 (uzupełnień do 1) MSB jest także bitem znaku : 0 - liczba 

 (uzupełnień do 1) MSB jest także bitem znaku : 0 - liczba 

dodatnia; 1 - liczba ujemna; ale w zależności od jego wartości dalsze bity 

dodatnia; 1 - liczba ujemna; ale w zależności od jego wartości dalsze bity 

mają różne znaczenie.

mają różne znaczenie.

Dla „0” (l.dodatnia) dalsze bity reprezentują liczbę w NKB.

Dla „0” (l.dodatnia) dalsze bity reprezentują liczbę w NKB.

Dla „1” (l.ujemna) dalsze bity reprezentują moduł liczby ujemnej, w taki 

Dla „1” (l.ujemna) dalsze bity reprezentują moduł liczby ujemnej, w taki 

sposób, że zanegowane ich wartości odpowiadają modułowi tej liczby w NKB.

sposób, że zanegowane ich wartości odpowiadają modułowi tej liczby w NKB.

„

„

0” ma podwójną reprezentację: 1111...111 lub 0000...000

0” ma podwójną reprezentację: 1111...111 lub 0000...000

W zapisie 

W zapisie 

U1

U1

 (uzupełnień do 1) MSB jest także bitem znaku : 0 - liczba 

 (uzupełnień do 1) MSB jest także bitem znaku : 0 - liczba 

dodatnia; 1 - liczba ujemna; ale w zależności od jego wartości dalsze bity 

dodatnia; 1 - liczba ujemna; ale w zależności od jego wartości dalsze bity 

mają różne znaczenie.

mają różne znaczenie.

Dla „0” (l.dodatnia) dalsze bity reprezentują liczbę w NKB.

Dla „0” (l.dodatnia) dalsze bity reprezentują liczbę w NKB.

Dla „1” (l.ujemna) dalsze bity reprezentują moduł liczby ujemnej, w taki 

Dla „1” (l.ujemna) dalsze bity reprezentują moduł liczby ujemnej, w taki 

sposób, że zanegowane ich wartości odpowiadają modułowi tej liczby w NKB.

sposób, że zanegowane ich wartości odpowiadają modułowi tej liczby w NKB.

„

„

0” ma podwójną reprezentację: 1111...111 lub 0000...000

0” ma podwójną reprezentację: 1111...111 lub 0000...000

 

 

STAŁOPOZYCYJNA REPREZENTACJA 

STAŁOPOZYCYJNA REPREZENTACJA 

LICZB

LICZB

Liczba

ZM

U1

U2

BIAS

BCD

-127

11111111

10000000

10000001

00000001 1000100100111

-126

11111110

10000001

10000010

00000010 1000100100110

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

-2

10000010

11111101

11111110

11111110 1000000000010

-1

10000001

11111110

11111111

11111111 1000000000001

0

10000000

11111111

00000000

10000000 0000000000000

0

00000000

00000000

00000000

10000000 0000000000000

1

00000001

00000001

00000001

10000001 0000000000001

2

00000010

00000010

00000010

10000010 0000000000010

3

00000011

00000011

00000011

10000011 0000000000011

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

126

01111110

01111110

01111110

11111110 0000100100110

127

011111111 011111111 011111111 11111111 0000100100111

 

 

STAŁOPOZYCYJNA REPREZENTACJA 

STAŁOPOZYCYJNA REPREZENTACJA 

LICZB

LICZB

dodawanie i odejmowanie

dodawanie i odejmowanie

Wartości w zapisach

Wartości

dziesiętne

ZM

U1

U2

BCD

89

+45

0 1011001

0 0101101

0 1011001

0 0101101

0 1011001

0 0101101

0 1000 1001

0 0100 0101

+134

(1)  0 0000110 (1)  0 0000110 (1)  0 0000110

0 1100 1110

Korekcja + 0110 0110

0010 0100

+  (1)

(1)  0011 0100

Wartości w zapisach

Wartości

dziesiętne

ZM

U1

U2

BCD

+9

-7

0 1001

+  1 0111

0 1001

+   1 1000

0 1001

+   1 1001

0 1001

+    1 0111

+2

  0 0010

(1)  0 0001

+             1

(1)  0 0010

0 0010

0 0010

 

 

STAŁOPOZYCYJNA REPREZENTACJA 

STAŁOPOZYCYJNA REPREZENTACJA 

LICZB

LICZB

dodawanie i odejmowanie (kod U2)

dodawanie i odejmowanie (kod U2)

W zapisie 

W zapisie 

U2

U2

 (uzupełnień do 2) liczbę binarną można przedstawić jako:

 (uzupełnień do 2) liczbę binarną można przedstawić jako:

a

a

n-1

n-1

...a

...a

0

0

 = -a

 = -a

n-1

n-1

.

.

2

2

n-1

n-1

+a

+a

n-2

n-2

.

.

2

2

n-2

n-2

+ 

+ 

...

...

 +a

 +a

0

0

.

.

2

2

0

0

Najstarszy bit nie jest tylko bitem znaku ale niesie wraz ze swoją wagą 

Najstarszy bit nie jest tylko bitem znaku ale niesie wraz ze swoją wagą 

wartość ujemną

wartość ujemną

W zapisie 

W zapisie 

U2

U2

 (uzupełnień do 2) liczbę binarną można przedstawić jako:

 (uzupełnień do 2) liczbę binarną można przedstawić jako:

a

a

n-1

n-1

...a

...a

0

0

 = -a

 = -a

n-1

n-1

.

.

2

2

n-1

n-1

+a

+a

n-2

n-2

.

.

2

2

n-2

n-2

+ 

+ 

...

...

 +a

 +a

0

0

.

.

2

2

0

0

Najstarszy bit nie jest tylko bitem znaku ale niesie wraz ze swoją wagą 

Najstarszy bit nie jest tylko bitem znaku ale niesie wraz ze swoją wagą 

wartość ujemną

wartość ujemną

1101

1101

U2

U2

 = -1

 = -1

.

.

2

2

3

3

+1

+1

.

.

2

2

2

2

+0

+0

.

.

2

2

1

1

+1

+1

.

.

2

2

0 

0 

= -8+4+1 

= -8+4+1 

= -3

= -3

D

D

0111

0111

U2

U2

 = -0 

 = -0 

.

.

2

2

3

3

+1

+1

.

.

2

2

2

2

+1

+1

.

.

2

2

1

1

+1

+1

.

.

2

2

0 

0 

= 4+2+1 

= 4+2+1 

= 7

= 7

D

D

Ponieważ: a-b=a+(-b); -a+b=(-a)+b; -a-b=(-a)+(-b) to korzystnie 

Ponieważ: a-b=a+(-b); -a+b=(-a)+b; -a-b=(-a)+(-b) to korzystnie 

jest stosować liczbę przeciwną (oznaczanej symbolem ~) do danej

jest stosować liczbę przeciwną (oznaczanej symbolem ~) do danej

~0111

~0111

U2

U2

   

   

1000

1000

+      1

+      1

  

  

1001

1001

U2

U2

negacja wszystkich bitów i dodanie 1

negacja wszystkich bitów i dodanie 1

-7

-7

D

D

7

7

D

D

Zakresy liczb w kodzie U2: -2

Zakresy liczb w kodzie U2: -2

n-1

n-1





X 

X 





2

2

n-1

n-1

-1 

-1 

np. dla n=5 liczby od -16

np. dla n=5 liczby od -16

D

D

 (10000

 (10000

U2

U2

) do +15

) do +15

D

D

 (01111

 (01111

U2

U2

). W 

). W 

zakresie tym muszą się znaleźć nie tylko argumenty ale i wynik.

zakresie tym muszą się znaleźć nie tylko argumenty ale i wynik.

     

     

110111

110111

  

  

+111000

+111000

1  101111

1  101111

-9

-9

D

D

 = 

 = 

-1

-1

.

.

32+1

32+1

.

.

16+0

16+0

.

.

8+1

8+1

.

.

4+1

4+1

.

.

2+1

2+1

.

.

1

1

-8

-8

D

D

 = 

 = 

-1

-1

.

.

32+1

32+1

.

.

16+1

16+1

.

.

8+0

8+0

.

.

4+0

4+0

.

.

2+0

2+0

.

.

1

1

-17

-17

D

D

 = 

 = 

-1

-1

.

.

32+0

32+0

.

.

16+1

16+1

.

.

8+1

8+1

.

.

4+1

4+1

.

.

2+1

2+1

.

.

1

1

bit poza zakresem - 

bit poza zakresem - 

odrzucamy

odrzucamy

     

     

10111

10111

  

  

+11000

+11000

1  01111

1  01111

-9

-9

D

D

 = 

 = 

-1

-1

.

.

16+0

16+0

.

.

8+1

8+1

.

.

4+1

4+1

.

.

2+1

2+1

.

.

1

1

-8

-8

D

D

 = 

 = 

-1

-1

.

.

16+1

16+1

.

.

8+0

8+0

.

.

4+0

4+0

.

.

2+0

2+0

.

.

1

1

-17

-17

D

D

 = 

 = 

-1

-1

.

.

32+0

32+0

.

.

16+1

16+1

.

.

8+1

8+1

.

.

4+1

4+1

.

.

2+1

2+1

.

.

1

1

bit poza zakresem - nie 

bit poza zakresem - nie 

odrzucamy

odrzucamy

 

 

ZMIENNOPOZYCYJNA REPREZENTACJA 

ZMIENNOPOZYCYJNA REPREZENTACJA 

LICZB

LICZB

Do 

reprezentacji 

liczb 

ułamkowych 

stosowany 

jest 

zapis 

Do 

reprezentacji 

liczb 

ułamkowych 

stosowany 

jest 

zapis 

zmiennopozycyjny złożony z trzech części:

zmiennopozycyjny złożony z trzech części:

•

jednobitowe pole znaku

jednobitowe pole znaku

•

n-bitowe pole części ułamkowej (mantysy) - S

n-bitowe pole części ułamkowej (mantysy) - S





[0.5, 1.0)

[0.5, 1.0)

tj. dwójkowo 0.1000...0 

tj. dwójkowo 0.1000...0 





 S<0.1111...1 

 S<0.1111...1 

czyli 0.1a

czyli 0.1a

-2

-2

a

a

-3

-3

...a

...a

-(n+2)

-(n+2)

, tj. 1

, tj. 1

.

.

2

2

-1

-1

+a

+a

-2

-2

.

.

2

2

-2

-2

+a

+a

-3

-3

.

.

2

2

-3

-3

+...+a

+...+a

-(n+2)

-(n+2)

.

.

2

2

-(n+2)

-(n+2)

 

 

m-bitowe pole części wykładnika (cechy) - E

m-bitowe pole części wykładnika (cechy) - E

A = 

A = 

±

±

S

S

.

.

B

B

±

±

E

E

B - podstawa (np. 2, 10, 16 itp.)

B - podstawa (np. 2, 10, 16 itp.)

Przykład:

Przykład:

+625,625 =0,625625

+625,625 =0,625625

.

.

10

10

3

3

100111000

100111000

1

1

0,625=0,5+0,125 

0,625=0,5+0,125 





 0,100+0,001 = 0,101

 0,100+0,001 = 0,101

1001110001,101 

= 

1001110001,101 

= 

0,1001110001101

0,1001110001101

.

.

2

2

10

10

1bit znaku 

1bit znaku 

             mantysa (23 bity)                

             mantysa (23 bity)                

cecha (8 bitów)

cecha (8 bitów)

0                     0011 1000 1101 0000 0000 0000 

0                     0011 1000 1101 0000 0000 0000 

10001010

10001010

 

 

ELEMENTY ALGEBRY BOOLE’A

ELEMENTY ALGEBRY BOOLE’A

dr inż. Jacek FLOREK 

dr inż. Jacek FLOREK 

Instytut Informatyki

Instytut Informatyki



Zmienne logiczne i operacje logiczne

Zmienne logiczne i operacje logiczne



Aksjomaty algebry Boole’a i prawa de 

Aksjomaty algebry Boole’a i prawa de 

Morgana

Morgana



Funkcje logiczne

Funkcje logiczne



Minimalizacja funkcji logicznych

Minimalizacja funkcji logicznych



Realizacja funkcji logicznych

Realizacja funkcji logicznych

3

 

 

ZMIENNE LOGICZNE  I OPERACJE 

ZMIENNE LOGICZNE  I OPERACJE 

LOGICZNE

LOGICZNE

Algebra  Boole’a  jest  algebrą  z  trzema  operacjami  na 

Algebra  Boole’a  jest  algebrą  z  trzema  operacjami  na 

dwuwartościowych 

argumentach 

(wyniki 

też 

są 

dwuwartościowych 

argumentach 

(wyniki 

też 

są 

dwuwartościowe)

dwuwartościowe)

•

suma logiczna (alternatywa)

suma logiczna (alternatywa)

•

iloczyn logiczny (koniunkcja)

iloczyn logiczny (koniunkcja)

•

negacja (inwersja)

negacja (inwersja)

działania  dwu-  lub 

działania  dwu-  lub 

więcej argumentowe

więcej argumentowe

działania jedno-argumentowe

działania jedno-argumentowe

Def.1. Jeżeli co najmniej jeden z argumentów jest 

Def.1. Jeżeli co najmniej jeden z argumentów jest 

równy 1, to wynik sumowania jest równy 1. Suma 

równy 1, to wynik sumowania jest równy 1. Suma 

jest równa 0 tylko w przypadku, gdy wszystkie 

jest równa 0 tylko w przypadku, gdy wszystkie 

argumenty są równe 0.

argumenty są równe 0.

Def.1. Jeżeli co najmniej jeden z argumentów jest 

Def.1. Jeżeli co najmniej jeden z argumentów jest 

równy 1, to wynik sumowania jest równy 1. Suma 

równy 1, to wynik sumowania jest równy 1. Suma 

jest równa 0 tylko w przypadku, gdy wszystkie 

jest równa 0 tylko w przypadku, gdy wszystkie 

argumenty są równe 0.

argumenty są równe 0.

Def.2. Wynik iloczynu jest równy 1, wtedy i tylko 

Def.2. Wynik iloczynu jest równy 1, wtedy i tylko 

wtedy, gdy wszystkie argumenty przyjmują 

wtedy, gdy wszystkie argumenty przyjmują 

wartość 1.

wartość 1.

Def.2. Wynik iloczynu jest równy 1, wtedy i tylko 

Def.2. Wynik iloczynu jest równy 1, wtedy i tylko 

wtedy, gdy wszystkie argumenty przyjmują 

wtedy, gdy wszystkie argumenty przyjmują 

wartość 1.

wartość 1.

Def.3. Negacja polega na zmianie wartości 

Def.3. Negacja polega na zmianie wartości 

argumentu, tj. jeśli argument ma wartość 1, to 

argumentu, tj. jeśli argument ma wartość 1, to 

operacja daje w wyniku wartość 0, a jeśli 

operacja daje w wyniku wartość 0, a jeśli 

argument ma wartość 0, to operacja daje w 

argument ma wartość 0, to operacja daje w 

wyniku wartość 1.

wyniku wartość 1.

Def.3. Negacja polega na zmianie wartości 

Def.3. Negacja polega na zmianie wartości 

argumentu, tj. jeśli argument ma wartość 1, to 

argumentu, tj. jeśli argument ma wartość 1, to 

operacja daje w wyniku wartość 0, a jeśli 

operacja daje w wyniku wartość 0, a jeśli 

argument ma wartość 0, to operacja daje w 

argument ma wartość 0, to operacja daje w 

wyniku wartość 1.

wyniku wartość 1.

Def.0. Zmienną logiczną nazywamy zmienną, która 

Def.0. Zmienną logiczną nazywamy zmienną, która 

może przyjmować jedną z dwóch wartości 

może przyjmować jedną z dwóch wartości 

logicznych: prawdę lub fałsz („0” lub „1”, „L” lub 

logicznych: prawdę lub fałsz („0” lub „1”, „L” lub 

„H”).

„H”).

Def.0. Zmienną logiczną nazywamy zmienną, która 

Def.0. Zmienną logiczną nazywamy zmienną, która 

może przyjmować jedną z dwóch wartości 

może przyjmować jedną z dwóch wartości 

logicznych: prawdę lub fałsz („0” lub „1”, „L” lub 

logicznych: prawdę lub fałsz („0” lub „1”, „L” lub 

„H”).

„H”).

 

 

AKSJOMATY ALGEBRY BOOLE’A I PRAWA DE MORGANA

AKSJOMATY ALGEBRY BOOLE’A I PRAWA DE MORGANA

1. Przemienność

1. Przemienność

2. Łączność

2. Łączność

3. Rozdzielczość

3. Rozdzielczość

4. Tożsamość

4. Tożsamość

5. Komplementarność

5. Komplementarność

A

B

B

A

A

B

B

A













C)

(B

A

C

B)

(A

C)

(B

A

C

B)

(A





















BC

A

C)

B)(A

(A

C

A

B

A

C)

A(B



















A

A

A

    

A

A

A

1

1

A

A

1

A

A

0

A

0

0

A

























1

A

A

0

A

A









B

A

B

A

B

A

B

A













Prawa de Morgana

Prawa de Morgana

 

 

OPERACJE LOGICZNE

OPERACJE LOGICZNE

A

B

A

B A

+

B A B

0

0 0

0

1

1

1

0 0

1

0

1

0

1 0

1

1

0

1

1 1

1

0

0

)

x

(x

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

f

x

x

f

x

x

x

x

x

f

x

x

f

)

x

(x

x

x

f

0

f

1

0

1

0

1

0

1

0

7

1

0

1

0

6

1

0

1

0

1

5

1

0

4

0

1

0

1

0

3

1

0

2

1

0

1

0

1

0































































1

f

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

f

x

x

f

15

1

0

1

0

1

0

1

0

14

1

0

1

0

1

0

13

0

1

0

1

0

12

1

0

1

0

1

0

1

0

11

1

1

0

1

0

10

1

0

1

0

9

1

0

8















































































 

 

FUNKCJE BOOLE’OWSKIE

FUNKCJE BOOLE’OWSKIE

Istnieją cztery sposoby przedstawienia tych funkcji:

Istnieją cztery sposoby przedstawienia tych funkcji:

•

tablica prawdy

tablica prawdy

•

postać kanoniczna funkcji

postać kanoniczna funkcji

•

dziesiętny zapis funkcji

dziesiętny zapis funkcji

•

mapa Karnaugha

mapa Karnaugha

)

x

x

)(x

x

x

x

)(

x

x

(x

y

lub

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

2

1

0

2

1

0

2

1

0

2

1

0

2

1

0

2

1

0

2

1

0







































0,4,3

y

lub

1,2,5,6,7

y

X

0

X

1

X

2

f

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

2

0

1

0

1

3

1

1

0

0

4

0

0

1

0

5

1

0

1

1

6

0

1

1

1

7

1

1

1

1





- 

wskazanie 

na 

postać 

alternatywną

- 

wskazanie 

na 

postać 

koniunkcyjną

1.

1.

2.

2.

3.

3.

4.

4.

X

2

X

0

X

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

 

 

MINIMALIZACJA FUNKCJI LOGICZNYCH

MINIMALIZACJA FUNKCJI LOGICZNYCH

Minimalizację funkcji można przeprowadzić:

Minimalizację funkcji można przeprowadzić:

•

przekształcając postać kanoniczna funkcji

przekształcając postać kanoniczna funkcji

•

wykorzystując mapy Karnaugha

wykorzystując mapy Karnaugha

•

metodą Quine’a

metodą Quine’a

•

metodą Quine’a-McCluskeya

metodą Quine’a-McCluskeya

•

metodą tablic harwardzkich

metodą tablic harwardzkich

•

metodą Patricka

metodą Patricka

•

metodą Blake’a

metodą Blake’a

Przykład: Zminimalizować funkcję f(A,B,C,D)=

Przykład: Zminimalizować funkcję f(A,B,C,D)=





(5,7,13,15)

(5,7,13,15)

A

B

C

D

f

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

2

0

0

1

0

0

3

0

0

1

1

0

4

0

1

0

0

0

5

0

1

0

1

1

6

0

1

1

0

0

7

0

1

1

1

1

8

1

0

0

0

0

9

1

0

0

1

0

10

1

0

1

0

0

11

1

0

1

1

0

12

1

1

0

0

0

13

1

1

0

1

1

14

1

1

1

0

0

15

1

1

1

1

1

00 01 11 10

00

0

0

0

0

01

0

1

1

0

11

0

1

1

0

10

0

0

0

0

AB

AB

CD

CD

f(A,B,C,D)=BD

f(A,B,C,D)=BD

 

 

MINIMALIZACJA FUNKCJI LOGICZNYCH

MINIMALIZACJA FUNKCJI LOGICZNYCH

Przykład: Zminimalizować funkcję f(A,B,C,D)=

Przykład: Zminimalizować funkcję f(A,B,C,D)=





(5,7,13,15)

(5,7,13,15)

A

B

C

D

f

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

2

0

0

1

0

0

3

0

0

1

1

0

4

0

1

0

0

0

5

0

1

0

1

1

6

0

1

1

0

0

7

0

1

1

1

1

8

1

0

0

0

0

9

1

0

0

1

0

10

1

0

1

0

0

11

1

0

1

1

0

12

1

1

0

0

0

13

1

1

0

1

1

14

1

1

1

0

0

15

1

1

1

1

1

00 01 11 10

00

0

0

0

0

01

0

1

1

0

11

0

1

1

0

10

0

0

0

0

AB

AB

CD

CD







DB

B)

D)(B

(D

B

)

A

B(A

D

)

C

D(C

B)

B

A

D)(AB

D

C

(CD

BB)

B

A

AB

A

DD)(A

D

C

CD

C

(C

B)

A

B)(

D)(A

C

D)(

(C

D)

C,

B,

f(A,





























































lub

lub

00 01 11 10

00

0

0

0

0

01

0

1

1

0

11

0

1

1

0

10

0

0

0

0

AB

AB

CD

CD

DB

D)

C,

B,

f(A,



 

 

00 01 11 10

00

0

0

1

1

01

0

1

0

1

11

0

1

1

0

10

0

0

0

0

Przykład: 

Zminimalizować 

funkcję 

Przykład: 

Zminimalizować 

funkcję 

f(A,B,C,D)=

f(A,B,C,D)=





(5,7,8,9,12,15)

(5,7,8,9,12,15)

AB

AB

CD

CD

f(A,B,C,D) 

f(A,B,C,D) 

=

=

A

B

C

D

f

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

2

0

0

1

0

0

3

0

0

1

1

0

4

0

1

0

0

0

5

0

1

0

1

1

6

0

1

1

0

0

7

0

1

1

1

1

8

1

0

0

0

1

9

1

0

0

1

1

10

1

0

1

0

0

11

1

0

1

1

0

12

1

1

0

0

1

13

1

1

0

1

0

14

1

1

1

0

0

15

1

1

1

1

1

ABD+BCD+ACD+ABC =
AC(B D) BD(A C)
ACBD BDAC
AC BD















B D BD

i

A C AC

 

 

XY XY X Y



 

MINIMALIZACJA FUNKCJI LOGICZNYCH

MINIMALIZACJA FUNKCJI LOGICZNYCH

 

 

REALIZACJA FUNKCJI BOOLE’OWSKICH

REALIZACJA FUNKCJI BOOLE’OWSKICH

X

0

X

1

X

2

f(OR) f(AND) f(NOR) f(NAND) f(EXOR)

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

OR

OR

AND

AND

NOR

NOR

NAND

NAND

EXOR

EXOR

NOT

NOT

X

1

f(NOT)

0

1

1

0

 

 

PROJEKTOWANIE UKŁADÓW LOGICZNYCH

PROJEKTOWANIE UKŁADÓW LOGICZNYCH

dr inż. Jacek FLOREK 

dr inż. Jacek FLOREK 

Instytut Informatyki

Instytut Informatyki



Podział układów logicznych

Podział układów logicznych



Realizacja funkcji logicznych układów 

Realizacja funkcji logicznych układów 

kombinacyjnych

kombinacyjnych



Realizacja układu sekwencyjnego

Realizacja układu sekwencyjnego

4

 

 

PODZIAŁ UKŁADÓW LOGICZNYCH

PODZIAŁ UKŁADÓW LOGICZNYCH

Układy  logiczne  można  podzielić  (w  zależności  od  przyjętego 

Układy  logiczne  można  podzielić  (w  zależności  od  przyjętego 

kryterium) na:

kryterium) na:

Def.1. Układem kombinacyjnym nazywamy taki układ 

Def.1. Układem kombinacyjnym nazywamy taki układ 

cyfrowy, w którym stan wejść jednoznacznie 

cyfrowy, w którym stan wejść jednoznacznie 

określa stan wyjść układu.

określa stan wyjść układu.

Def.1. Układem kombinacyjnym nazywamy taki układ 

Def.1. Układem kombinacyjnym nazywamy taki układ 

cyfrowy, w którym stan wejść jednoznacznie 

cyfrowy, w którym stan wejść jednoznacznie 

określa stan wyjść układu.

określa stan wyjść układu.

Def.2. Układem sekwencyjnym nazywamy taki układ 

Def.2. Układem sekwencyjnym nazywamy taki układ 

cyfrowy, w którym stan wyjść zależy od stanu 

cyfrowy, w którym stan wyjść zależy od stanu 

wejść oraz od poprzednich stanów układu.

wejść oraz od poprzednich stanów układu.

Def.2. Układem sekwencyjnym nazywamy taki układ 

Def.2. Układem sekwencyjnym nazywamy taki układ 

cyfrowy, w którym stan wyjść zależy od stanu 

cyfrowy, w którym stan wyjść zależy od stanu 

wejść oraz od poprzednich stanów układu.

wejść oraz od poprzednich stanów układu.

•

układy kombinacyjne

układy kombinacyjne

•

układy sekwencyjne

układy sekwencyjne

•

układy asynchroniczne

układy asynchroniczne

•

układy synchroniczne

układy synchroniczne

Def.3. Układem asynchronicznym nazywamy taki 

Def.3. Układem asynchronicznym nazywamy taki 

układ cyfrowy, dla którego w dowolnym 

układ cyfrowy, dla którego w dowolnym 

momencie jego działania stan wejść 

momencie jego działania stan wejść 

oddziaływuje na stan wyjść.

oddziaływuje na stan wyjść.

Def.3. Układem asynchronicznym nazywamy taki 

Def.3. Układem asynchronicznym nazywamy taki 

układ cyfrowy, dla którego w dowolnym 

układ cyfrowy, dla którego w dowolnym 

momencie jego działania stan wejść 

momencie jego działania stan wejść 

oddziaływuje na stan wyjść.

oddziaływuje na stan wyjść.

Def.4. Układem synchronicznym nazywamy taki układ 

Def.4. Układem synchronicznym nazywamy taki układ 

cyfrowy, dla którego stan wejść wpływa na stan 

cyfrowy, dla którego stan wejść wpływa na stan 

wyjść w pewnych określonych odcinkach czasu 

wyjść w pewnych określonych odcinkach czasu 

zwanych 

zwanych 

czasem czynnym

czasem czynnym

, natomiast w 

, natomiast w 

pozostałych odcinkach czasu zwanych 

pozostałych odcinkach czasu zwanych 

czasem 

czasem 

martwym

martwym

 stan wejść nie wpływa na stan wyjść.

 stan wejść nie wpływa na stan wyjść.

Def.4. Układem synchronicznym nazywamy taki układ 

Def.4. Układem synchronicznym nazywamy taki układ 

cyfrowy, dla którego stan wejść wpływa na stan 

cyfrowy, dla którego stan wejść wpływa na stan 

wyjść w pewnych określonych odcinkach czasu 

wyjść w pewnych określonych odcinkach czasu 

zwanych 

zwanych 

czasem czynnym

czasem czynnym

, natomiast w 

, natomiast w 

pozostałych odcinkach czasu zwanych 

pozostałych odcinkach czasu zwanych 

czasem 

czasem 

martwym

martwym

 stan wejść nie wpływa na stan wyjść.

 stan wejść nie wpływa na stan wyjść.

 

 

PODZIAŁ UKŁADÓW LOGICZNYCH

PODZIAŁ UKŁADÓW LOGICZNYCH

układy kombinacyjne:

układy kombinacyjne:

–

sumatory

sumatory

–

komparatory

komparatory

–

dekodery, kodery, transkodery

dekodery, kodery, transkodery

–

multipleksery, demultipleksery

multipleksery, demultipleksery

–

.....

.....

•

układy matrycowe

układy matrycowe

•

........

........

•

układy zbudowane z bramek

układy zbudowane z bramek

•

bloki kombinacyjne

bloki kombinacyjne

układy sekwencyjne:

układy sekwencyjne:

•

przerzutniki

przerzutniki

•

rejestry

rejestry

•

liczniki

liczniki

•

.....

.....

A={X,Y,

A={X,Y,





: X

: X





Y}

Y}

X- 

zbiór 

stanów 

sygnałów 

X- 

zbiór 

stanów 

sygnałów 

wejściowego

wejściowego

Y  -  zbiór  stanów  sygnałów 

Y  -  zbiór  stanów  sygnałów 

wyjściowego

wyjściowego





 

 

-  funkcja  opisująca  działanie 

-  funkcja  opisująca  działanie 

układu

układu

A={X, Y, S, 

A={X, Y, S, 





: X

: Xx

S

S





S, 

S, 





: 

: 

X

Xx

S

S





Y}

Y}

X- 

zbiór 

stanów 

sygnałów 

X- 

zbiór 

stanów 

sygnałów 

wejściowego

wejściowego

Y 

- 

zbiór 

stanów 

sygnałów 

Y 

- 

zbiór 

stanów 

sygnałów 

wyjściowego

wyjściowego

S - zbiór stanów wewnętrznych

S - zbiór stanów wewnętrznych





 

 

-  funkcja  przejść  (określa  zmiany 

-  funkcja  przejść  (określa  zmiany 

stanów 

układu 

wszystkich 

stanów 

układu 

wszystkich 

wzbudzeń)

wzbudzeń)





 

 

- 

funkcja 

wyjść 

 

- 

funkcja 

wyjść 

 

(przyporządkowuje 

sygnały 

(przyporządkowuje 

sygnały 

wyjściowe 

stanom 

układu 

i 

wyjściowe 

stanom 

układu 

i 

wzbudzeniom)

wzbudzeniom)