Systemy liczbowe
Systemy liczbowe
UTK
mgr inż. Robert Szczepaniak
Systemy liczbowe
Systemy liczbowe
UTK
mgr inż. Robert Szczepaniak
Pod pojęciem systemu liczbowego
systemu liczbowego
rozumiemy ogół zasad umożliwiających
przedstawienie liczb za pomocą
umownych znaków, a znaki, za pomocą
których zapisuje się liczby - cyframi
cyframi
.
Wśród systemów liczbowych rozróżnia
się:
systemy pozycyjne
systemy pozycyjne,
systemy niepozycyjne
systemy niepozycyjne.
W pozycyjnych systemach
pozycyjnych systemach
liczbowych
liczbowych
znaczenie cyfry jest
zależne od miejsca (pozycji), które ona
zajmuje w liczbie. Przykładem
pozycyjnego systemu liczbowego jest
system dziesiątkowy (dziesiętny).
Przykład:
liczba 777
.
W przypadku niepozycyjnych systemów liczbowych
niepozycyjnych systemów liczbowych
znaczenie cyfry jest niezależne od miejsca położenia w
zapisie liczby. Przykładem takiego systemu liczbowego
jest system rzymski, którego zasadniczymi znakami są:
I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.
Zasada zapisywania liczb w systemie rzymskim polega
na umieszczaniu cyfr mniejszych po większych z
wyjątkiem tych przypadków, gdy ilość jednostek pewnego
rzędu wynosi 4 lub 9. Wtedy mniejsza cyfra poprzedza
większą.
Przykład: MCMXCVIII = 1998 (dziesiętnie)
MCMXCVIII = 1998 (dziesiętnie)
W pozycyjnym systemie liczbowym
, (n+m) -
pozycyjną nieujemną liczbę
zapisuje się w postaci:
przy czym:
p - podstawa systemu liczbowego,
;
- cyfra i -tej pozycji,
;
n - liczba cyfr części całkowitej liczby,
m - liczba cyfr części ułamkowej liczby .
1
1
0
1
-1
1
0
1
A a
a
a
a
a
n
m
n
m
p
...
p
p
p
...
p
-1
1 0
1
A
A
A
A
(A)
(a
a a a
a ) =(C U )
(C ) (U )
p
n
m
p
p
p
...
, ...
,
,
a
i
{2, 3, 4, }
p
K
a {0,1, , -1}]
i
p
K
Najbardziej powszechne
systemy liczbowe
System dziesiętny (dziesiątkowy,
decymalny )
Do zapisu dowolnej liczby bez znaku system dziesiętny
wykorzystuje dziesięć symboli graficznych, zwanych
cyframi:
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
. Przy ich użyciu
jesteśmy w stanie przedstawić dowolną liczbę. System
dziesiętny, podobnie jak i system dwójkowy jest
systemem pozycyjnym. Liczbę
425
D
(
D
oznacza zapis
liczby w systemie dziesiętnym) możemy przedstawić jako
następującą sumę:
425
D
= 4 * 100 + 2 * 10 + 5 *1
10 a {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9}
i
p
,
, , , , , , , , ,
czyli:
4 2 5
D
= 4 * 10
2
+ 2 * 10
1
+ 5 * 10
0
^ 0 - pozycja jedynek
^ 1 - pozycja dziesiątek
^ 2 - pozycja setek
Widzimy więc, że cyfra na danej pozycji mnożona jest
przez odpowiednią potęgę liczby 10, przy czym wykładnik
tej potęgi zależy od położenia (pozycji) danej cyfry w
liczbie.
Uwaga!
Pozycje cyfr w liczbie numerujemy zawsze od
0
(najmłodsza cyfra).
Poszczególne mnożniki, zwane inaczej wagami, w
systemie dziesiętnym noszą nazwę odpowiednio:
jedynek (10
0
=1), dziesiątek (10
1
=10), setek (10
2
=100) i
tak dalej. Poszczególne wagi w systemie dziesiętnym są
potęgami liczby 10, dlatego jest ona
zwana podstawą
systemu
(p=10). Podsumowując, formalny zapis
a
n-1
...... a
0
w systemie dziesiętnym oznacza:
gdzie
i
jest numerem pozycji w liczbie, natomiast
a
i
oznacza dowolną z cyfr od 0 do 9, a
n
jest ilością cyfr
(pozycji) w liczbie.
1
0
0
0
2
2
1
1
0
1
10
*
10
*
.....
10
*
10
*
.....
n
i
i
i
n
n
n
n
D
n
a
a
a
a
a
a
System dwójkowy (binarny)
Dla systemu dwójkowego podstawą jest liczba
2
(p=2) i
wagami są odpowiednie potęgi tej liczby. Kolejne pozycje
liczby zwane są więc pozycjami jedynek, dwójek, czwórek,
ósemek i tak dalej.
Zapis w systemie dwójkowym, zwanym inaczej systemem
binarnym, liczby
10100
B
(
B
- oznacza zapis w systemie
dwójkowym) oznacza:
10100
B
= 1 * 2
4
+ 0 * 2
3
+ 1 * 2
2
+ 0 * 2
1
+ 0 * 2
0
=
1 * 16 + 0 * 8 + 1 * 4 + 0 * 2 + 0 * 1 = 16 + 4 = 20
D
2 a {0 1}
i
p
,
,
Uogólniając, zapis a
n-1
...... a
0B
w systemie dwójkowym
będzie oznaczał:
Wzór ten, określający sposób zapisu liczby w systemie
dwójkowym, pozwala jednocześnie na dokonanie
konwersji (przeliczenia) liczby zapisanej w systemie
dwójkowym na liczbę zapisaną w systemie dziesiętnym.
1
0
0
0
2
2
1
1
0
1
2
*
2
*
.....
2
*
2
*
.....
n
i
i
i
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
B
Zamiana liczby dziesiętnej na liczbę
binarną
Metoda konwersji polega na wykonywaniu kolejnych
dzieleń całkowitych, z zapisem reszty, przez liczbę 2.
Rozpoczynamy od podzielenia liczby przeliczanej przez
2. Kolejne dzielenia wykonujemy na liczbie będącej
ilorazem poprzedniego dzielenia. Postępowanie
kontynuujemy aż do momentu otrzymania jako wyniku 0.
Reszty dzieleń ustawione w odpowiedniej kolejności dają
poszukiwaną liczbę binarną.
Przykład
Dokonać konwersji liczby 23
D
na liczbę binarną.
Rozwiązanie
23 : 2 = 11 r = 1
11 : 2 = 5 r = 1
5 : 2 = 2 r = 1
2 : 2 = 1 r = 0
1 : 2 = 0 r = 1
A zatem 23
D
= 10111
B
.
System szesnastkowy -
heksadecymalny
Jest on dość szeroko stosowany w dzisiejszej
informatyce. Podstawą tego systemu jest liczba
16
.
Musi istnieć więc szesnaście cyfr. Pierwsze dziesięć to
odpowiednio:
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
oraz
9
. W
systemie dziesiętnym kolejną liczbą jest 10, natomiast w
systemie szesnastkowym jest ono reprezentowane przez
A
. Kolejne liczby to: 11 -
B
, 12 -
C
, 13 -
D
, 14 -
E
, 15 -
F
.
Zatem, np. liczby w systemie dziesiętnym: 2, 6, 9, 11,
14 - w systemie szesnastkowym wyglądają
odpowiednio: 2, 6, 9, B, E. Widać od razu, że duże liczby
zajmują w systemie szesnastkowym mało miejsca.
16 a {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
}
i
p
,
, , , , , , , , , , A,B,C,D,E,F
Formalny zapis systemu to:
Przykład:
Odszukać liczbę dziesiętną odpowiadającą liczbie 4C2
H
4C2
H
= 4 * 16
2
+ C * 16
1
+ 2 * 16
0
=
4 * 256 + 12 * 16 + 2 * 1 = 1218
D
1
0
0
0
2
2
1
1
0
1
16
*
16
*
.....
16
*
16
*
.....
n
i
i
i
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
H
Zapis dwójkowy:
Zapis szesnastkowy:
0000
0
0001
1
0010
2
0011
3
0100
4
0101
5
0110
6
0111
7
1000
8
1001
9
1010
A
1011
B
1100
C
1101
D
1110
E
1111
F