1
1
klienci pojawiają się w systemie rzadziej niż
są obsługiwani.
Stan równowagi – kiedy sprawność obsługi klientów
w systemie jest nie mniejsza niż częstość napływania
nowych klientów
Analiza funkcjonowania urządzeń
obsługujących
1
1
klienci pojawiają się w systemie rzadziej niż
są obsługiwani.
Stan równowagi – kiedy sprawność obsługi klientów
w systemie jest nie mniejsza niż częstość napływania
nowych klientów
Analiza funkcjonowania urządzeń
obsługujących
2
Z punktu widzenia ekonomicznego
dążymy do minimalizacji kosztów lub
maksymalizacji przychodów
Koszt oczekiwania
Koszt obsługi
Koszty razem
Liczba stanowisk
K
o
s
z
t
na
j
e
d
n.
cz
as
u
Analiza funkcjonowania urządzeń
obsługujących
3
Zapis Kendalla
Zapis Kendalla
x/y/z/p/n
x/y/z/p/n
x
x
–
charakterystyka przybywania nowych
klientów do systemu
y
y
–
charakterystyka obsługi w
stanowiskach obsługi
z
z
–
liczba stanowisk
p
p
–
dopuszczalna wielkość kolejki
n
n
–
wielkość populacji, z której pochodzą
klienci
Analiza funkcjonowania urządzeń
obsługujących
4
SYMBOLE ZAPISU KENDALLA
SYMBOLE ZAPISU KENDALLA
W KLASYFIKACJI MODELI
W KLASYFIKACJI MODELI
SYSTEMÓW KOLEJKOWYCH
SYSTEMÓW KOLEJKOWYCH
SYMBO
SYMBO
L
L
ZNACZENIE
ZNACZENIE
M
M
Wykładniczy rozkład
prawdopodobieństwa długości odstępu
czasu między kolejnymi zgłoszeniami do
systemu/czasu obsługi
D
D
Wielkość deterministyczna lub o stałym
rozkładzie zgłoszeń klientów/czasu
obsługi
G
G
Dowolny rozkład prawdopodobieństwa o
znanej wartości oczekiwanej i
wariancji zgłoszeń do systemu/czasu
obsługi klientów
E
E
k
k
Rozkład Erlanga rzędu
k
opisujący
rozkład prawdopodobieństwa długości
odstępu czasu między kolejnymi
zgłoszeniami do systemu/czasu obsługi
5
SYSTEM
SYSTEM
M/M/1
M/M/1
(
(
x/y/z)
x/y/z)
Z
Z
NIESKOŃCZONĄ POPULACJĄ
NIESKOŃCZONĄ POPULACJĄ
mamy z nim do czynienia wtedy gdy:
1. czas obsługi klientów w systemie,
2. długość odstępu czasu między
zgłoszeniami napływającymi do
systemu
mają
wykładniczy rozkład
prawdopodobieństwa
, a w systemie
występuje
jedno stanowisko obsługi
6
SYSTEM M/M/S
SYSTEM M/M/S
(
(
x/y/z)
x/y/z)
Z
Z
NIESKOŃCZONĄ POPULACJĄ
NIESKOŃCZONĄ POPULACJĄ
1. czas obsługi klientów w systemie, oraz
czas między zgłoszeniami do systemu
mają
wykładniczy rozkład
wykładniczy rozkład
prawdopodobieństwa
prawdopodobieństwa
,
2. w systemie jest
S
S
równoległych
równoległych
stanowisk obsługi
stanowisk obsługi
ze wspólną kolejką.
7
SYSTEM
M/M/S
M/M/S
ZE SKOŃCZONĄ POPULACJĄ
1. czas między zgłoszeniami do systemu oraz
czas obsługi mają wykładniczy rozkład
wykładniczy rozkład
p
p
rawdopodobieństwa
rawdopodobieństwa,
2. istnieje
S
S
kanałów obsługi,
3. populacja klientów jest skończona, o
liczebności
Nu.
Nu.
4. ogólna budowa formuły
(lambda;mi;n;S;Nu
(lambda;mi;n;S;Nu
)
)
W systemie ze skończoną liczbą klientów
wielkość populacji nie będącej w systemie
zależy w istotny sposób od liczby klientów
obsługiwanych i oczekujących na obsługę w
systemie.
8
Problem 1.
(system
jednokanałowy)*
W ciągu jednej godziny do sali
egzaminacyjnej gdzie odbywa się
egzamin z MAP, przychodzi
średnio 4 studentów. Czas, jaki
egzaminator przeznacza na
pytanie jednego studenta wynosi
około 12 minut.
•Wybrane metody badań operacyjnych w zarządzaniu.
Problemy i zadania., pr. zb. pod red. D.Kopańskiej-Bródki,
AE Katowice 2006
9
Wyznacz stopę przybyć, stopę obsługi i
parametr intensywności ruchu.
Stopa przybyć
W ciągu godziny można przeegzaminować
(stopa obsługi)
studentów.
Parametr intensywności ruchu
Ponieważ
układ jest stabilny (zmierza do stanu
równowagi), tzn. prawdopodobieństwo tego, że
kolejka ma określoną długość jest stałe w każdej
jednostce czasu.
4
5
12
/
60
8
,
0
5
4
1
czyli
5
4
10
Podaj przeciętną liczbę studentów
czekających w kolejce na egzamin
oraz przeciętną liczbę studentów
znajdujących się w sali egzaminacyjnej.
osoby
2
,
3
)
4
5
(
5
4
)
(
1
2
2
2
q
L
11
Średnia liczba zgłoszeń
przebywających w systemie (łączna
liczba zgłoszeń czekających w kolejce i
obsługiwanych)
osoby
4
4
5
4
q
L
Średnia liczba studentów przebywających
na sali wynosi 4 studentów (łączna liczba
studentów czekających na egzamin i
egzaminowanych)
12
Podaj przeciętny czas oczekiwania
przez studenta w kolejce na egzamin
oraz średni czas, jaki spędza student w
sali egzaminacyjnej.
Przeciętny czas oczekiwania
Średni czas egzaminu (średni czas
spędzany w systemie)
godziny
8
,
0
)
4
5
(
5
4
)
(
q
W
godzina
1
4
5
1
1
W
13
Wyznacz prawdopodobieństwo braku
studentów oczekujących na egzamin.
2
,
0
8
,
0
1
1
0
P
14
Wyznacz prawdopodobieństwo, że w
kolejce czeka więcej niż dwóch
studentów.
1
0
0
k
k
k
P
512
,
0
125
64
5
4
1
2
2
k
P
15
Jeśli liczba studentów przybywających do Sali
egzaminacyjnej zwiększy się do 6 osób,
wówczas podstawowe parametry układu
wynoszą:
Układ jest niestabilny, co spowoduje, że z
upływem czasu kolejka studentów
oczekujących na egzamin będzie coraz dłuższa.
1,2
osób/godz.
5
60/12
osób/godz.
6
16
Pracownicy nowoczesnego biurowca
wpuszczani są na teren budynku przez
specjalne bramki. Przejście przez bramkę
jednego pracownika trwa ok.. 10 sek., w
czasie których komputer zainstalowany
przy bramce odczytuje kartę wejścia
pracownika, zapisuje czas jego przybycia i
zezwala na wejście do budynku. W ciągu
jednej minuty przychodzi 16
pracowników, którzy mogą skorzystać z
jednej z trzech bramek wejściowych.
Problem 2. (system
wielokanałowy)
17
a)
Określ podstawowe parametry
systemu kolejkowego
b)
Wyznacz prawdopodobieństwo tego,
że pracownicy nie będą czekali w
kolejce
c)
Oblicz średnią liczbę pracowników
oczekujących w kolejce
d)
Ile wynosi średni czas oczekiwania w
kolejce oraz przebywania w systemie?
e)
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w
kolejce czeka dokładnie dwóch
pracowników?
n
stabilny
układ
n
:
ruchu
sci
intensywno
parametr
3
n
obsługi
kanały
6prac./min
10
:
60
obsługi
stopa
przybyć
stopa
89
0
6
3
16
16
,
min
/
.
prac
a)
19
35
0
85
2
1
3
89
0
2
89
0
1
89
0
0
89
0
1
1
1
3
2
1
0
1
0
0
,
,
!
,
!
,
!
,
!
,
)!
(
)
(
!
n
i
n
i
n
n
i
P
b)
Prawdopodobieństwo, że przebywający nie będą
oczekiwać w kolejce wynosi 0,35
20
025
0
35
0
1
3
89
0
3
89
0
1
2
1
3
0
2
1
,
,
)!
(
)
,
(
,
)!
(
)
(
P
n
n
L
n
q
c)
Liczba pracowników oczekujących w kolejce
0016
0
16
025
0
,
,
q
q
L
W
n
k
dla
n
n
k
dla
k
-
n
0
0
P
n
P
k
P
k
k
k
!
!
d)
Średni czas oczekiwania w kolejce.
e)
14
0
35
0
2
89
0
2
,
,
!
,
2
P
Prawdopodobieństwo, że w kolejce będzie
oczekiwało 2 klientów
wynosi 0,14.
22
Miłego dnia
Miłego dnia