























n

1

i

i

n

1

i

i

n

1

i

n

1

i

i

x

n

1

x

x

n

x

x

x

na

arytmetycz

n

n

1

i

i

n

n

1

i

i

n

1

i

n

1

i

i

x

x

x

x

x

x

na

geometrycz























~

~

~

Rozstęp 
R = x

max

 - x

min

Środek rozstępu 
x

R

 = (x

max

 + x

min

)/2

Dominanta d (wartość występująca 

najczęściej – o ile jest taka)

Mediana

• dane uporządkowane (rosnąco lub malejąco)
• nieparzysta liczba wyników: M=x

(n+1)/2

• parzysta liczba wyników: M=(x

n/2

 +x

(n+2)/2

)/2

POMIAR – ilościowe wyrażenie obserwacji 

poprzez liczbę, niepewność i jednostkę 

Każdy pomiar może być wykonany tylko 

z ograniczoną dokładnością (precyzją)

Wynik pomiaru jest tylko przybliżeniem lub 

oszacowaniem wartości wielkości 

mierzonej

ZAWSZE

WYNIK KOŃCOWY  NIEPEWNOŚĆ 

(jednostka)

BŁĄD  NIEPEWNOŚĆ

Błąd

 

= wartość zmierzona - 

wartość rzeczywista

Niepewność

 – parametr (wartość liczbowa) 

pokazujący rozrzut wyników pomiarów wokół 
wartości średniej arytmetycznej wszystkich 
wyników

Międzynarodowa Norma przyjmuje jako niepewność 
pomiaru wielkość nazywaną NIEPEWNOŚCIĄ 
STANDARDOWĄ, a określoną jako pierwiastek 
kwadratowy z estymatora wariancji. Jako symbol 
niepewności standardowej przyjęto u lub u(x)

Błąd względny to stosunek błędu 

bezwzględnego do rzeczywistej wartości 

mierzonej wielkości

x/x



Błąd bezwzględny pomiaru, x, jest to różnica 

między rzeczywistą wartością x



 mierzonej 

wielkości a wartością x

śr.

 uzyskaną z pomiaru

x=x



-x

śr.

Błąd względny jest wielkością niemianowaną. 

Informuje jaką częścią rzeczywistej wartości jest 

błąd, który obciąża wynik pomiaru.                       

                                                                          

Posługując się błędem względnym można 

porównywać dokładność (precyzję) pomiarów 

zupełnie różnych wielkości

Błąd bezwzględny ma miano wielkości mierzonej 

i wyrażony jest w jej jednostkach. Informuje o ile 
prawdziwa wartość mierzonej wielkości może się 
różnić od wyniku pomiaru

Błędy przypadkowe

x

i

 – wyniki pomiarów 

(oznaczone symbolem       
)

x

m

 – wartość 

prawdziwa

Błąd przypadkowy spowodowany jest losowym 
odchyleniem wyniku pomiaru od wartości 
rzeczywistej. 

Źródłem błędów

 przypadkowych są 

tzw. oddziaływania przypadkowe:

-niedokładność odczytu, 

-fluktuacja warunków pomiaru

-obecność źródeł zakłócających

-nieokreśloność mierzonej wielkości

-niedoskonałość zmysłów obserwatora

Błąd przypadkowy powstaje na skutek działania 

czynników losowych

Jest miarą rozrzutu

 otrzymywanych wyników 

wokół wartości najbardziej prawdopodobnej 
(średniej)

Błędu przypadkowego 

nie da się wyeliminować

 a 

także nie da się go oszacować przed dokonaniem 
pomiaru

Należy zaplanować i przeprowadzić pomiar tak, 
by wartość błędu przypadkowego była jak 
najmniejsza

Po zakończeniu pomiaru należy dokonać oceny 
wielkości   błędu losowego przy użyciu narzędzi 
statystycznych

Błędy systematyczne

x

i

 – wyniki pomiarów 

(oznaczone symbolem       
)

x



 – wartość 

prawdziwa

Błąd systematyczny

 - przy powtarzaniu pomiaru 

występuje ta sama różnica między wartościami 
zmierzonymi a wartością rzeczywistą, natomiast 
rozrzut wyników poszczególnych pomiarów jest 
mały. Błędy te są powodowane oddziaływaniami 
systematycznymi:

-niedoskonałość przyrządów pomiarowych
-błędne wyzerowanie lub wywzorcowanie (wyskalowanie)
-nieuwzględnienie zmiany warunków pomiaru do warunków wywzorcowania

Błędy grube

x

i

 – wyniki pomiarów 

(oznaczone symbolem   
    )

x



 – wartość 

prawdziwa

błąd gruby

Błąd gruby - wynika z niedbałości lub ewidentnej 
pomyłki

, niesprawności sprzętu albo 

nieoczekiwanego zaburzenia układu 
pomiarowego. Objawia się istnieniem jednego 
wyniku znacząco odstającego od pozostałych, 
uzyskanych w danej serii pomiarów

Wynik pomiaru obarczony błędem grubym jest 
zazwyczaj łatwo zauważalny i należy go 
odrzucić.

Dokładność pomiaru

dokładność wyniku pojedynczego oznaczenia 
– jest to tzw. całkowity błąd bezwzględny x, 

stanowiący różnicę pomiędzy otrzymaną 
wartością x

i

 a wartością prawdziwą 

(wartością oczekiwaną) 

x

. 

Na wielkość x może składać się szereg 

błędów:

 błąd systematyczny metody x

syst

 

(spowodowany czynnikiem działającym w 
jednakowy sposób w czasie wielokrotnego 
pomiaru tej samej wielkości), 

 błąd przypadkowy x

j

 

 błąd gruby X

δx

Δx

Δx

μ

x

Δx

j

syst

x

j











Typy oceny niepewności 

Typ A

Wykorzystuje statystyczną analizę serii 

pomiarów:

• wymaga odpowiednio dużej liczby powtórzeń 

pomiaru

•  ma zastosowanie do błędów przypadkowych

Typ B

Opiera się na naukowym osądzie 

eksperymentatora wykorzystującym wszystkie 

informacje o pomiarze i źródłach jego 

niepewności

• stosuje się gdy statystyczna analiza nie jest 

możliwa

• dla błędu systematycznego lub dla jednego 

wyniku pomiaru

Metoda typu A szacowania niepewności opiera 
się na obliczeniach statystycznych (statystyczna 
analiza serii pomiarów – n  4)

1. Wykonać serię (skończoną) pomiarów
2. Wielkością najbardziej prawdopodobną 

jest średnia arytmetyczna

3. Niepewność standardowa pojedynczego 

pomiaru u(x) (tzw. odchylenie 
standardowe pojedynczego pomiaru S

x

)

n

x

x

n

1

i

i























n

1

i

2

i

x

x

x

1

n

1

S

u(x)

OCENA NIEPEWNOŚCI METODĄ 

TYPU A

Niepewność wyniku = niepewność wartości średniej

Niepewność standardowa średniej:

 









1

n

n

x

x

n

S

S

x

u

n

1

i

2

i

x

x















OCENA NIEPEWNOŚCI METODĄ 

TYPU B

Ocena niepewności metodą typu  B dotyczy 

Ocena niepewności metodą typu  B dotyczy 

określania niepewności pomiaru nie na 

określania niepewności pomiaru nie na 

podstawie serii wyników

podstawie serii wyników

W metodzie tej niepewność standardową 

W metodzie tej niepewność standardową 

określa się na podstawie rozkładu 

określa się na podstawie rozkładu 

prawdopodobieństwa możliwych wyników 

prawdopodobieństwa możliwych wyników 

pomiarów znanego, bądź założonego przez 

pomiarów znanego, bądź założonego przez 

eksperymentatora.

eksperymentatora.

 

 

Źródłem wiedzy o rozkładzie mogą być:

Źródłem wiedzy o rozkładzie mogą być:

-

Specyfikacja dostarczona przez producenta 

Specyfikacja dostarczona przez producenta 

przyrządu

przyrządu

-

Wcześniejsze dane pomiarowe

Wcześniejsze dane pomiarowe

-

Ogólna wiedza o zachowaniu i własnościach 

Ogólna wiedza o zachowaniu i własnościach 

określonych materiałów i instrumentów

określonych materiałów i instrumentów

-

Niepewności przypisane danym pochodzącym z 

Niepewności przypisane danym pochodzącym z 

podręczników

podręczników

Najczęstszym przykładem oceny niepewności 

Najczęstszym przykładem oceny niepewności 

metodą typu B jest wyznaczenie niepewności 

metodą typu B jest wyznaczenie niepewności 

wynikającej z dokładności przyrządu 

wynikającej z dokładności przyrządu 

(niepewności wzorcowania).

(niepewności wzorcowania).