∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

⋅

=

=

n

1

i

i

n

1

i

i

n

1

i

n

1

i

i

x

n

1

x

x

n

x

x

x

na

arytmetycz

n

n

1

i

i

n

n

1

i

i

n

1

i

n

1

i

i

x

x

x

x

x

x

na

geometrycz

∏

∏

∏

∏

=

=

=

=

=

=

=

~

~

~

Rozstęp 
R = x

max

 - x

min

Środek rozstępu 
x

R

 = (x

max

 + x

min

)/2

Dominanta d (wartość występująca najczęściej – 

o ile jest taka)

Mediana

• dane uporządkowane (rosnąco lub malejąco)
• nieparzysta liczba wyników: M=x

(n+1)/2

• parzysta liczba wyników: M=(x

n/2

 +x

(n+2)/2

)/2

POMIAR – ilościowe wyrażenie obserwacji poprzez 

liczbę, niepewność i jednostkę 

Każdy pomiar może być wykonany tylko 

z ograniczoną dokładnością (precyzją)

Wynik pomiaru jest tylko przybliżeniem lub 

oszacowaniem wartości wielkości mierzonej

ZAWSZE

WYNIK KOŃCOWY 

±

 NIEPEWNOŚĆ (jednostka)

BŁĄD 

≠

 NIEPEWNOŚĆ

Błąd

 

= wartość zmierzona - 

wartość rzeczywista

Niepewność

 – parametr (wartość liczbowa) pokazujący 

rozrzut wyników pomiarów wokół wartości średniej 
arytmetycznej wszystkich wyników

Międzynarodowa Norma przyjmuje jako niepewność pomiaru 
wielkość nazywaną NIEPEWNOŚCIĄ STANDARDOWĄ, a 
określoną jako pierwiastek kwadratowy z estymatora 
wariancji. Jako symbol niepewności standardowej przyjęto u 
lub u(x)

Błąd względny to stosunek błędu bezwzględnego do 

rzeczywistej wartości mierzonej wielkości

∆

x/x

µ

Błąd bezwzględny pomiaru, 

∆

x, jest to różnica między 

rzeczywistą wartością x

µ

 mierzonej wielkości a wartością 

x

śr.

 uzyskaną z pomiaru

∆

x=x

µ

-x

śr.

Błąd względny jest wielkością niemianowaną. Informuje 

jaką częścią rzeczywistej wartości jest błąd, który obciąża 

wynik pomiaru.                                                                          

                       

Posługując się błędem względnym można porównywać 

dokładność (precyzję) pomiarów zupełnie różnych 

wielkości

Błąd  bezwzględny  ma  miano  wielkości  mierzonej 
i  wyrażony  jest  w  jej  jednostkach.  Informuje  o  ile 
prawdziwa  wartość  mierzonej  wielkości  może  się  różnić 
od wyniku pomiaru

Błędy przypadkowe

x

i

 – wyniki pomiarów 

(oznaczone symbolem       )

x

m

 – wartość prawdziwa

Błąd przypadkowy spowodowany jest losowym odchyleniem 
wyniku pomiaru od wartości rzeczywistej. 

Źródłem błędów

 

przypadkowych są tzw. oddziaływania przypadkowe:
-niedokładność odczytu, 
-fluktuacja warunków pomiaru
-obecność źródeł zakłócających
-nieokreśloność mierzonej wielkości
-niedoskonałość zmysłów obserwatora

Błąd przypadkowy powstaje na skutek działania 

czynników losowych

Jest miarą rozrzutu

 otrzymywanych wyników wokół 

wartości najbardziej prawdopodobnej (średniej)

Błędu przypadkowego 

nie da się wyeliminować

 a także 

nie da się go oszacować przed dokonaniem pomiaru

Należy zaplanować i przeprowadzić pomiar tak, by 
wartość błędu przypadkowego była jak najmniejsza

Po zakończeniu pomiaru należy dokonać oceny wielkości  
 błędu losowego przy użyciu narzędzi statystycznych

Błędy systematyczne

x

i

 – wyniki pomiarów 

(oznaczone symbolem       )

x

µ

 – wartość prawdziwa

Błąd systematyczny

 - przy powtarzaniu pomiaru występuje ta 

sama różnica między wartościami zmierzonymi a wartością 
rzeczywistą, natomiast rozrzut wyników poszczególnych 
pomiarów jest mały. Błędy te są powodowane 
oddziaływaniami systematycznymi:

-niedoskonałość przyrządów pomiarowych
-błędne wyzerowanie lub wywzorcowanie (wyskalowanie)
-nieuwzględnienie zmiany warunków pomiaru do warunków wywzorcowania

Błędy grube

x

i

 – wyniki pomiarów 

(oznaczone symbolem       )

x

µ

 – wartość prawdziwa

błąd gruby

Błąd gruby - wynika z niedbałości lub ewidentnej pomyłki

, 

niesprawności sprzętu albo nieoczekiwanego zaburzenia 
układu pomiarowego. Objawia się istnieniem jednego 
wyniku znacząco odstającego od pozostałych, 
uzyskanych w danej serii pomiarów

Wynik pomiaru obarczony błędem grubym jest zazwyczaj 
łatwo zauważalny i należy go odrzucić.

Dokładność pomiaru

dokładność wyniku pojedynczego oznaczenia – jest to 
tzw. całkowity błąd bezwzględny 

∆

x, stanowiący 

różnicę pomiędzy otrzymaną wartością x

i

 a wartością 

prawdziwą (wartością oczekiwaną) 

µ

x

. 

Na wielkość 

∆

x może składać się szereg błędów:

 błąd systematyczny metody 

∆

x

syst

 (spowodowany 

czynnikiem działającym w jednakowy sposób w czasie 
wielokrotnego pomiaru tej samej wielkości), 

 błąd przypadkowy 

∆

x

j

 

 błąd gruby 

δ

X

δx

Δx

Δx

μ

x

Δx

j

syst

x

j

+

+

=

−

=

Typy oceny niepewności 

Typ A

Wykorzystuje statystyczną analizę serii pomiarów:

• wymaga odpowiednio dużej liczby powtórzeń pomiaru

•  ma zastosowanie do błędów przypadkowych

Typ B

Opiera się na naukowym osądzie eksperymentatora 

wykorzystującym wszystkie informacje o pomiarze i 

źródłach jego niepewności

• stosuje się gdy statystyczna analiza nie jest możliwa

• dla błędu systematycznego lub dla jednego wyniku 

pomiaru

Metoda typu A szacowania niepewności opiera się na 
obliczeniach statystycznych (statystyczna analiza serii 
pomiarów – n 

≥

 4)

1. Wykonać serię (skończoną) pomiarów
2. Wielkością najbardziej prawdopodobną jest 

średnia arytmetyczna

3. Niepewność standardowa pojedynczego 

pomiaru u(x) (tzw. odchylenie standardowe 
pojedynczego pomiaru S

x

)

n

x

x

n

1

i

i

∑

=

=

(

)

∑

=

−

−

=

=

n

1

i

2

i

x

x

x

1

n

1

S

u(x)

OCENA NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU A

Niepewność wyniku = niepewność wartości średniej

Niepewność standardowa średniej:

( )

(

)

(

)

1

n

n

x

x

n

S

S

x

u

n

1

i

2

i

x

x

−

−

=

=

=

∑

=

OCENA NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

Ocena niepewności metodą typu  B dotyczy określania 

Ocena niepewności metodą typu  B dotyczy określania 

niepewności pomiaru nie na podstawie serii wyników

niepewności pomiaru nie na podstawie serii wyników

W metodzie tej niepewność standardową określa się na 

W metodzie tej niepewność standardową określa się na 

podstawie rozkładu prawdopodobieństwa możliwych 

podstawie rozkładu prawdopodobieństwa możliwych 

wyników pomiarów znanego, bądź założonego przez 

wyników pomiarów znanego, bądź założonego przez 

eksperymentatora.

eksperymentatora.

 

 

Źródłem wiedzy o rozkładzie mogą być:

Źródłem wiedzy o rozkładzie mogą być:
-

Specyfikacja dostarczona przez producenta przyrządu

Specyfikacja dostarczona przez producenta przyrządu

-

Wcześniejsze dane pomiarowe

Wcześniejsze dane pomiarowe

-

Ogólna wiedza o zachowaniu i własnościach 

Ogólna wiedza o zachowaniu i własnościach 

określonych materiałów i instrumentów

określonych materiałów i instrumentów
-

Niepewności przypisane danym pochodzącym z 

Niepewności przypisane danym pochodzącym z 

podręczników

podręczników

Najczęstszym przykładem oceny niepewności metodą 

Najczęstszym przykładem oceny niepewności metodą 

typu B jest wyznaczenie niepewności wynikającej z 

typu B jest wyznaczenie niepewności wynikającej z 

dokładności przyrządu (niepewności wzorcowania).

dokładności przyrządu (niepewności wzorcowania).