KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Ćwiczenie 14
Zad. 14.1
Wyznaczyć graniczną wartość obciążenia P, narysować wykres „M” w stanie granicznym.
pl
M
const
=
Rys. 14.1.1
Stosujemy metodę prób kinematycznych.
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny – aby układ przekształcił się w mechanizm
muszą powstać dwa przeguby plastyczne. W rozpatrywanym schemacie momenty zginające mogą
przyjmować wartości ekstremalne tylko w dwóch punktach (1,2). Możliwy jest zatem jeden
mechanizm zniszczenia.
Rys. 14.1.2
Stan przemieszczeń wirtualnych układu w chwili zniszczenia
Rys. 14.1.3
Zasada prac wirtualnych;
w
z
L
L
=
w
L - praca sił wewnętrznych (momentów
pl
M ) na odpowiednich kątach obrotu w przegubach
plastycznych
z
L - praca obciążeń zewnętrznych na odpowiednich przemieszczeniach
3
w
pl
pl
pl
pl
L
M
M
M
M
θ
θ
θ
=
⋅ +
⋅ +
⋅ =
⋅
θ
2
z
l
L
P
θ
= ⋅ ⋅
6
3
2
pl
w
z
pl
gr
M
l
L
L
M
P
P
l
θ
θ
=
⇒
⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⇒
=
C16-2005-cw14
110
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Wykres momentów zginających w stanie granicznym:
Rys. 14.1.4
Zad. 14.2
Obliczyć graniczną wartość obciążenia P oraz narysować wykres „M” w stanie granicznym.
Rys. 14.2.1
Stosujemy metodę prób kinematycznych.
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny – przekształcenie go w mechanizm
następuje w wyniku powstania dwóch przegubów plastycznych. W rozpatrywanym schemacie
momenty zginające mogą przyjmować wartości ekstremalne tylko w trzech punktach (1,B,2).
Możliwe są zatem trzy mechanizmy zniszczenia.
(I) przeguby plastyczne w p. 1 i B
Rys. 14.2.2
2
2
5
w
pl
pl
pl
pl
L
M
M
M
M
θ
θ
θ
=
⋅ +
⋅ +
⋅ =
⋅
θ
2
2
z
l
L
P
P
l
θ
θ
=
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
5
pl
w
z
I
M
L
L
P
l
=
⇒
=
(II) przeguby plastyczne w p. 1 i 2
Rys. 14.2.3
2
2
6
w
pl
pl
pl
pl
pl
L
M
M
M
M
M
θ
θ
θ
θ
=
⋅ +
⋅ +
⋅ +
⋅ =
⋅
θ
2
2
2
z
l
l
L
P
P
P
θ
θ
θ
=
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
2
l
12
pl
w
z
II
M
L
L
P
l
=
⇒
=
C16-2005-cw14
111
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
(III) przeguby plastyczne w p. B i 2
Rys. 14.2.4
3
w
pl
pl
pl
pl
L
M
M
M
M
θ
θ
θ
=
⋅ +
⋅ +
⋅ =
⋅
θ
2
z
l
L
P
θ
= ⋅ ⋅
6
pl
w
z
III
M
L
L
P
l
=
⇒
=
Obciążeniem granicznym może być więc
5
pl
gr
I
M
P
P
l
=
=
odpowiadający mu mechanizm
zniszczenia (I).
Należy sprawdzić, czy dany mechanizm jest statycznie dopuszczalny – w żadnym przekroju nie
może być przekroczona odpowiednia wartość momentu granicznego.
Rys. 14.2.5
2
0,5
1, 25
0,75
pl
pl
pl
M
M
M
= −
+
=
M
Ponieważ
2
0,75
pl
pl
M
M
M
=
<
Zatem założony mechanizm zniszczenia jest statycznie dopuszczalny.
Wykres momentów zginających w stanie granicznym:
Rys. 14.2.6
Zad. 14.3
Obliczyć graniczną wartość obciążenia P oraz sporządzić wykres „M” w stanie granicznym.
Rys. 14.3.1
C16-2005-cw14
112
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny – przekształcenie go w mechanizm następuje w
wyniku powstania dwóch przegubów plastycznych. W rozpatrywanym schemacie momenty
zginające mogą przyjmować wartości ekstremalne w czterech punktach (A,1,2,3). Możliwych jest
więc 6 mechanizmów zniszczenia.
(I) przeguby plastyczne w p. A i 1
Rys. 14.3.2
2
w
pl
pl
pl
L
M
M
M
θ
θ
θ
=
⋅ +
⋅ =
⋅
2
2
z
P
L
a
P
a
θ
θ
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
2
pl
w
z
I
M
L
L
P
a
=
⇒
=
(II) przeguby plastyczne w p. A i 2
Rys. 14.3.3
2
2
4
2
w
pl
pl
pl
p
L
M
M
M
M
l
θ
θ
θ
θ
=
⋅ +
⋅ +
⋅ =
⋅
1
5
2
2
2
z
P
L
a
P
a
P
a
P
a
2
θ
θ
θ
= ⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅
θ
1,6
pl
w
z
II
M
L
L
P
a
=
⇒
=
(III) przeguby plastyczne w p. A i 3
Rys. 14.3.4
2
2
2
7
w
pl
pl
pl
p
L
M
M
M
M
l
θ
θ
θ
=
⋅ +
⋅ +
⋅
=
⋅
θ
2
2
4
2
z
P
L
a
P
a
P
a
P
a
θ
θ
θ
= ⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅
θ
1,75
pl
w
z
III
M
L
L
P
a
=
⇒
=
C16-2005-cw14
113
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
(IV) przeguby plastyczne w p. 1 i 2
Rys. 14.3.5
2
2
4
2
w
pl
pl
pl
p
L
M
M
M
M
l
a
θ
θ
θ
=
⋅ +
⋅ +
⋅ =
⋅
1
3
2
2
z
L
P
a
P
a
P
a
θ
θ
θ
= ⋅ ⋅ + ⋅
⋅ =
⋅ ⋅
2,667
pl
w
z
IV
M
L
L
P
a
=
⇒
=
(V) przeguby plastyczne w p. 1 i 3
Rys. 14.3.6
2
2
2
7
w
pl
pl
pl
p
L
M
M
M
M
l
θ
θ
θ
=
⋅ +
⋅ +
⋅
=
⋅
θ
2
3
z
L
P
a
P
a
P
a
θ
θ
θ
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
2,333
pl
w
z
V
M
L
L
P
a
=
⇒
=
(VI) przeguby plastyczne w p. 2 i 3 do samodzielnego wykonania,
6
pl
VI
M
P
a
=
Obciążeniem granicznym może być więc
1,6
pl
gr
II
M
P
P
a
=
=
,
odpowiadający mu mechanizm zniszczenia - (II).
C16-2005-cw14
114
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Należy sprawdzić, czy dany mechanizm jest statycznie dopuszczalny – w żadnym przekroju nie
może być przekroczona odpowiednia wartość momentu granicznego.
Rys. 14.3.7
1
3
2
0,6
2
2
1,8
4
gr
pl
pl
pl
gr
pl
P
M
a
M
M
a
M
M
P
M
=
⋅
−
=
=
+
⋅
=
Ponieważ
1
3
2
pl
pl
M
M
M
M
<
<
zatem założony mechanizm zniszczenia jest statycznie dopuszczalny.
Wykres momentów zginających w stanie granicznym:
Rys. 14.3.8
C16-2005-cw14
115
Document Outline