KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Ćwiczenie 12
Zad. 12.1
Obliczyć kąt obrotu
ϕ
Rys. 12.1.1
Korzystamy z II twierdzenia redukcyjnego
p
L
M
M
ds
EI
ϕ
⋅
=
∫
(12.1)
Rozwiązanie
p
M - stan obciążenia zewnętrznego w układzie podstawowym metody sił:
Rys. 12.1.2
Rozwiązanie M - jednostkowe obciążenie wirtualne w układzie niewyznaczalnym – stosujemy
metodę sił
Rys. 12.1.3
10
11
1
2
,
0
3
3
l
l
X
EI
EI
δ
δ
= −
=
⇒
=
−
,5 [ ]
Rys. 12.1.4
2
3
1 2
3
8 4
48
p
L
M
M
ql
l
ql
ds
l
EI
EI
EI
ϕ
⋅
=
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ =
∫
C16-2005-cw12
94
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Inny układ podstawowy (ze stanem obciążenia zewnętrznego):
Rys. 12.1.5
2
2
3
1
1
1
3 1 1
2
1
1
1
3
2
4 2 2
2
3
2
16 12
48
p
L
M
M
ql
ql
ql
ql
ds
l
l
EI
EI
EI
EI
ϕ
⋅
⎡
⎤
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
=
=
⋅
⋅ −
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ −
⋅ ⋅ ⋅ −
=
−
+
=
⎢
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦
∫
3
Zad. 12.2
Obliczyć kąt obrotu
ϕ
Rys. 12.2.1
Korzystamy z II twierdzenia redukcyjnego
p
L
M M
ds
EI
ϕ
⋅
=
∫
(12.2)
Jednostkowe obciążenie wirtualne w układzie podstawowym metody sił – wg rysunku:
Rys. 12.2.2
Obciążenie zewnętrzne w układzie niewyznaczalnym – rozwiązanie metodą przemieszczeń
(
1
g
n
)
=
Rys. 12.2.3
C16-2005-cw12
95
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Momenty wyjściowe:
2
0
1
0
1
0
1
0
1
3 4
4 [
]
12
4 [
]
3
16 3
9 [
]
16
1
8
4 [
]
2
A
A
B
C
M
k
M
kNm
Nm
M
kNm
M
kN
⋅
= −
= −
=
= −
⋅ ⋅ = −
= − ⋅ = −
m
Sumaryczne momenty przywęzłowe:
Rys. 12.2.4
1
1
1
1
4
4 2
9
4 1,5
A
A
B
C
M
EI
M
EI
M
EI
M
EI
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
= − +
= +
= − +
= − +
Równanie równowagi:
1
1
1
1
0
2
9 4,5
0
A
B
C
M
M
M
M
EI
EI
ϕ
ϕ
Σ
=
+
+
=
− +
=
⇒
=
Wartości momentów przywęzłowych
1
1
1
1
4 2
2 [
]
4 4 8 [
]
9 2
7 [
]
4 3
1[
]
A
A
B
C
M
kNm
M
kNm
M
kNm
M
kNm
= − + = −
= + =
= − + = −
= − + = −
Potrzebny jest jedynie fragment wykresu M na odcinku 1 B
−
Rys. 12.2.4
( )
1
1
1 1
1
5,5
3 12
3
7
1
0,0055 [
] 18'55"
2
2 2
3
1000
p
L
M
M
ds
rad
EI
EI
ϕ
⋅
⎡
⎤
=
=
⋅
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =
=
=
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
C16-2005-cw12
96
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 12.3 (*zadanie dodatkowe)
Obliczyć kąt obrotu
A
ϕ
wywołany równomiernym ogrzaniem elementu B-1 o wielkość
5
0
1
24
,
10
o
t
o
t
C
C
α
−
=
=
Rys. 12.3.1
Z zasady prac wirtualnych wynika wzór:
0
A
L
L
M M
ds
N
t ds
EI
ϕ
⋅
=
+
∫
∫
t
α
(12.3)
Przy zastosowaniu I twierdzenia redukcyjnego dostajemy
0
0
(
p
A
t
t
L
L
L
M
M
ds
N t ds
N
t ds
M
EI
ϕ
α
α
⋅
=
+
=
∫
∫
∫
0)
p
= (12.4)
Należy rozwiązać układ wyjściowy (niewyznaczalny) z obciążeniem wirtualnym – potrzebna jest
jedynie siła normalna
1B
N
Metoda przemieszczeń (
1)
g
n
=
Rys. 12.3.2
Momenty wyjściowe:
0
1
0,5 [ ]
A
M
=
−
Sumaryczne momenty przywęzłowe:
1
1
1
1
0,5
0,5
A
B
C
C
M
EI
M
EI
M
EI
M
EI
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
+
=
=
=
Równanie równowagi:
1
1
1
1
0
1
0,5 3
0
6
A
B
C
M
M
M
M
EI
EI
ϕ
ϕ
Σ
=
+
+
=
+
=
⇒
= −
C16-2005-cw12
97
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Wartości momentów przywęzłowych
1
1
1
1
1 1
1
[ ]
2 6
3
1
[ ]
6
1
[ ]
6
1
[ ]
12
A
B
C
C
M
M
M
M
= − =
−
= −
−
= −
−
= −
−
Rozwiązanie:
Rys. 12.3.3
1
4
1
73
1
0,5069
9 16
144
B
N
m
⎛
⎞
⎡
= −
+
= −
= −
⎜
⎟
⎤
⎢ ⎥
⎝
⎠
⎣ ⎦
5
3
0
10
24 ( 0,5069) 6
7,3 10 [
]
25'05"
t
L
N t ds
rad
ϕ
α
−
−
=
=
⋅
⋅ −
⋅ = −
⋅
= −
∫
Zad. 12.4
Obliczyć przemieszczenie
δ układu ramowego wywołane wymuszeniem kinematycznym -
przemieszczeniem podpory
5 [
]
B
cm
∆ =
Rys. 12.4.1
i
L
M M
ds
R
EI
δ
⋅
=
− ∑
∫
i
⋅ ∆
(12.5)
C16-2005-cw12
98
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Stosując II twierdzenie redukcyjne – obciążenie zewnętrzne w układzie podstawowym metody sił,
obciążenie wirtualne w układzie niewyznaczalnym
Wzór zapisujemy w postaci:
(
i
i
p
R
M
M
δ
∆
= − ∑ ⋅ ∆
=
= 0)
(12.6)
Rozwiązanie dla obciążenia wirtualnego w układzie niewyznaczalnym (należy obliczyć jedynie
reakcję
B
H ).
Rys. 12.4.2
10
11
1
1 1
2
1
1
6
3 3
1
3 4 1
2
3
2
2
1
1
2
1
4
2
3 1
1
1 4 1
2
3
2
1,5 [ ]
EI
EI
EI
EI
EI
EI
X
m
δ
δ
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
⋅ ⋅ ⋅ =
= −
Reakcja
B
H (z superpozycji)
1
0
( 1,5)
0,5 [ ]
3
B
H
= + ⋅ −
= −
−
Przemieszczenie:
5 ( 0,5) 2,5 [
]
cm
δ
= − ⋅ −
=
Zad. 12.5
Dla kratownicy jak na rys. obliczyć przemieszczenie .
.
EA
const
δ
=
Rys. 12.5.1
C16-2005-cw12
99
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Wykorzystując II twierdzenie redukcyjne można zapisać
( )
i
i
p
i
i
S
S
l
EA
δ
= ∑
(12.7)
( )
i
p
S
− siły w prętach w układzie podstawowym metody sił, obciążenie zewnętrzne
i
S
− siły w prętach w układzie niewyznaczalny, obciążenie wirtualne
Obciążenie zewnętrzne w układzie podstawowym metody sił:
Rys. 12.5.2
Niezerowe są jedynie pręty 1, 3, 4 i 5
Obciążenia wirtualne w układzie niewyznaczalnym:
Rys. 12.5.3
0
1
10
1
1
11
1
1
2
2
1
1
2 2 1
2
2 2
2
2
2
2
2
1
2
2
1 1
6 2
2
2
2 2
2 3 1 1
2
2
2
2 2
2
2 2 1
0,1181
6 2 7
i
i
i
i
i
i
i
i
S S
a
l
a
a
EA
EA
EA
S S
a
l
a
a
a
a
EA
EA
EA
X
δ
δ
⎡
⎤
−
⎛
⎞
= ∑
=
⋅
⋅
⋅
+ ⋅ ⋅ −
⋅
=
⎢
⎥
⎜
⎟
⎝
⎠
⎣
⎦
⎡
⎤
7
+
= ∑
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
=
⎢
⎥
⎣
⎦
−
= −
≈ −
+
Rozwiązanie uzyskujemy z superpozycji:
0
1
1
1
2
3
4
5
0,6236
0
0,6236
0,5591
i
i
i
S
S
S
X
S
S
S
S
S
=
+
⋅
= −
=
=
=
= −
C16-2005-cw12
100
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Szukane przemieszczenie:
( )
(
)
1
2
0,5591
0,5591
2
i
i
p
i
i
S
S
P
P
l
a
EA
EA
EA
δ
= ∑
=
⋅ ⋅ ⋅ −
⋅ = −
a
Zad. 12.6
Obliczyć przemieszczenie
δ
powstałe pod wpływem nierównomiernego ogrzania całego układu
5
1
32
0, 4 [ ]
10
deg
o
d
g
t
t
t
t
C
h
m
const
EI
const
α
−
−
∆ = − =
=
=
⎡
⎤
=
⎣
⎦
=
Rys. 12.6.1
Z zasady prac wirtualnych wynika wzór:
t
L
L
t
MM
M
ds
ds
h
EI
α
δ
∆
=
+
∫
∫
(12.8)
Stosując I twierdzenie redukcyjne mamy:
p
t
L
L
L
M M
t
t
t
M
ds
ds
M
ds
h
EI
h
α
δ
∆
=
+
=
∫
∫
∫
α
∆
)
(12.9)
gdyż
0 (wpływ temperatury w układzie podstawowym metody sił)
p
M
=
Obciążenia wirtualne w układzie niewyznaczalnym
Metoda sił (
1
s
n
=
Rys. 12.6.2
C16-2005-cw12
101
KMB, WILiŚ, PG
MECHANIKA BUDOWLI I (C16)
Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady:
P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia:
M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Rys. 12.6.3
10
11
10
1
11
1 1
2
2 2 1
2
1
1
2
8
1 1
1 2 1 1
2
3
3
3
4
EI
EI
EI
EI
X
δ
δ
δ
δ
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
⎡
⎤
=
⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
⎢
⎥
⎣
⎦
= −
= −
1
3
1
3
1
5
2
2
2
2
4
2
4
2
4
L
Mds
⎛
⎞
⎛
⎞
= ⋅ ⋅ −
+ ⋅ ⋅ −
+ ⋅ ⋅ = −
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
∫
1
4
Szukane przemieszczenie:
5
4
10
32
1
2 10 [ ]
0,02 [
]
0, 4
4
t
L
t
M
ds
m
cm
h
α
δ
−
−
∆
⋅
⎛
⎞
=
=
⋅ −
= − ⋅
= −
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
C16-2005-cw12
102
Document Outline