Dynamika
Dynamika - dział mechaniki
związek między wzajemnym
oddziaływaniem ciał
a zmianami ich ruchu.
Dynamika
Dynamika - dział mechaniki
związek między wzajemnym
oddziaływaniem ciał
a zmianami ich ruchu.
Podstawy dynamiki
Zasady dynamiki
Siły
Praca, moc, energia
Podstawy dynamiki
opis ruchu za pomocą wektorów
podejście
geometryczne
przyczyny ruchu
dynamika
mechanika klasyczna
a
r
,
v
,
poznanie rodzaju i pochodzenia siły działającej na ciało
skutki działania siły
oddziaływania występujące w przyrodzie
.
Podstawy dynamiki –
wiadomości wstępne
p - pęd
– iloczyn jego masy i prędkości (wektor!)
v
m
p
m - masa punktu materialnego
– dodatnia wielkość
skalarna, miara bezwładności ciała
nie zależy od stanu ruchu tego ciała
wielkość addytywna
zasada zachowania masy,
F - siła
- miara oddziaływania na dane ciało ze
strony innych ciał (wektor!)
Zasady dynamiki
Podstawowa teoria, która pozwala nam przewidywać
ruch ciał
zasady dynamiki Newtona (1687 r)
Newton Isaac Sir (1643-1727), fizyk,
matematyk, filozof i astronom angielski.
Profesor fizyki i matematyki uniwersytetu
w Cambridge 1669-
1701, członek Royal
Society od 1672 i jego prezes od 1703,
członek paryskiej Akademii Nauk od 1699.
W
1705 otrzymał tytuł szlachecki.
S
iła wypadkowa jest sumą wektorową wszystkich sił
działających na ciało
wyp
F
I zasada dynamiki
Wnioski
Ciało, na które nie działa żadna siła (lub gdy siła
wypadkowa jest równa zeru) pozostaje w spoczynku
lub porusza się ze stałą prędkością po linii prostej.
(Zasada bezwładności)
0
wyp
F
0
a
Jeżeli to również przyspieszenie ciała
a to oznacza, że nie zmienia się ani wartość ani kierunek prędkości,
tzn. ciało jest w stanie spoczynku lub porusza się ze stałą co do
wartości prędkością po linii prostej.
I zasada dynamiki
Jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne to istnieje taki układ
odniesienia, w którym to ciało spoczywa lub porusza się ruchem
jednostajnym prostoliniowym
układ inercjalny.
Nie ma rozróżnienia między ciałami spoczywającymi i
poruszającymi się ze stałą prędkością.
Nie ma też różnicy pomiędzy sytuacją, gdy nie
działa żadna siła i przypadkiem, gdy wypadkowa
wszystkich sił jest równa zeru.
Każdy ruch musi być opisany względem pewnego układu
odniesienia.
We wszystkich układach inercjalnych ruchami ciał
rządzą
dokładnie te sama prawa.
II zasada dynamiki
Szybkość zmiany pędu ciała równa jest wpadkowej
sile działającej na to ciało (siła działająca na ciało
jest równa pochodnej pędu względem czasu)
dt
p
d
F
wyp
a
m
t
d
d
m
t
d
m
d
t
d
p
d
F
const
m
wyp
v
)
v
(
gdy
II zasada dynamiki
R
ównania ruchu
Wnioski
dt
p
d
F
wyp
m
F
a
wyp
Przyspieszenie ciała jest proporcjonalne do działającej
na ciało siły wypadkowej (współczynnik proporcjonalności
to odwrotność masy).
Im większa jest masa, tym mniejsze przyspieszenie
wywołane przez siłę.
III zasada dynamiki
Gdy dwa ciała oddziałują wzajemnie, to siła
wywierana przez ciało drugie na ciało pierwsze jest
równa i przeciwnie skierowana do siły, jaką ciało
pierwsze działa na drugie.
A
B
B
A
F
F
III zasada dynamiki
Oddziaływania wzajemne dwóch ciał są zawsze
równe co do wartości, ale przeciwnie skierowane.
Wnioski
Każdej akcji towarzyszy zawsze równa co do wartości, lecz
przeciwnie skierowana reakcja.
Siły zawsze występują parami, ale są przyłożone do
różnych ciał.
Gdyby były przyłożone do jednego ciała, to znosiłyby się
i w naszym świecie nie byłoby ruchów zmiennych.
Siła ciężkości
Siła ciężkości (grawitacji)
-
siła, z jaką dane ciało jest
przyciągane przez inne ciało.
g
F
Ciężar ciała W
-
wartość bezwzględna siły potrzebnej do
zapobieżenia spadkowi ciała, mierzonej przez obserwatora na Ziemi.
Ciężar
W
jest równy wartości bezwzględnej siły ciężkości
F
g
działającej na
to ciało
W = mg
Ważenie ciała - wyznaczenie jego ciężaru
mg
F
g
W przypadku
Ziemi
, przy założeniach:
- Ziemia -
układ inercjalny
- brak oporu powietrza
gdzie
g
-
przyspieszenie ziemskie
g = 9,80665 m/s
2
Jednostka siły
w układzie SI
1 niuton (N)
F
Si
ła
przy
ło
ż
ona jest tylko do ciała
m
1
,
ale nadaje przyspieszenie obu klockom.
Siła kontaktowa
, z jaką klocek o masie
m
1
działa na klocek o masie
m
2
,
nadaje
przyspieszenie klockowi
m
2
.
k
F
Siły kontaktowe
Występują przy dociskaniu do siebie dwóch ciał.
Źródłem tych sił jest odpychanie pomiędzy atomami.
a
m
F
k
2
Warto
ść siły kontaktowej
Siły tarcia
t
F
n
F
si
ła
jest proporcjonalna do si
ły nacisku
oraz współczynnika tarcia poślizgu
współczynnik tarcia statycznego lub dynamicznego
(w przypadku ruchu) zależy od rodzaju powierzchni trących
t
F
ciała poruszające się napotykają na opór ze strony
ośrodka, w którym się poruszają,
jedną z sił oporu jest siła tarcia
n
t
F
F
warto
ść siły tarcia jest równa
Siły tarcia -
przykład
Napisz równanie ruchu dla ciała o masie
m
zsuwającego się z
równi pochyłej o kącie nachylenia
. Współczynnik tarcia między
ciała a równia wynosi
.
Q
n
Q
s
Q
s
n
Q
Q
Q
R
F
Q
F
T
wyp
m
F
a
wyp
T
F
R
Praca, moc, energia –
praca
cos
s
F
s
F
W
W > 0 gdy
α < 90°,
W < 0 gdy
α > 90°,
W = 0 gdy
α = 90°.
W trakcie podnoszenia ciała na wysokość
h
,
człowiek działa
siłą
F
równą ciężarowi ciała ale przeciwnie skierowaną, więc
wykonuje "dodatnią" pracę
W = mgh
• Praca wykonana przez człowieka jest równa co do
wartości "ujemnej" pracy wykonanej przez sił
ę
ciężkości.
h
F
Q
Praca W
wykonana przez stałą siłę F jest iloczynem skalarnym tej
siły
F
i wektora przesunięcia
s
Praca, moc, energia –
praca
x
F
W
n
i
i
1
Praca wykonana przez siłę zmienną -
ruch prostoliniowy
x
F
W
i
i
2
1
)
(
lim
1
0
x
x
n
i
i
x
dx
x
F
x
F
W
Jednostką pracy w układzie SI - dżul (J);
1J = 1N·m.
W fizyce atomowej powszechnie używa się jednostki
elektronowolt
(eV); 1eV = 1.6·10
-19
J.
Praca, moc, energia –
praca
–
przykład
x
x
x
kx
kx
x
kx
x
F
W
0
0
2
0
2
2
2
d
)
(
d
Siła wywierana przez sprężynę jest siłą
przywracającą równowagę:
F = -k x
Aby rozciągnąć sprężynę, musimy przyłożyć
siłę równą co do artości, lecz przeciwnie
skierowaną:
F = k x.
F(x)
x
F=kx
kx
x
Praca:
Sprężyna zamocowana jednym końcem i
rozciąganą siłą F tak, że jej koniec
przemieszcza się o x.
Praca, moc, energia –
moc
Moc
P
definiujemy jako ilość wykonanej pracy
do czasu
w jakim została ona wykonana.
Jeżeli praca W została wykonana w czasie
t
to
średnia moc
jest dana wzorem:
t
W
P
v
F
dt
s
d
F
dt
dW
P
Dla stałej siły F wzór ten przyjmuje postać:
dt
dW
t
W
P
t
lim
0
Dla przedziału czasu
t
O
mówimy o
mocy chwilowej:
Jednostką mocy w układzie SI - wat
(W)
1W = 1J/1s.
Praca, moc, energia –
energia
Energia kinetyczna
określona przez masę i prędkość ciała
Energia potencjalna
określona przez masy ciał i ich wzajemne położenie
2
v
2
m
E
k
Energią kinetyczna
- i
loczyn masy ciała i kwadratu prędkości podzielony
przez 2
Zależność między pracą i energią kinetyczną
Praca wykonana przez wypadkową siłę F działającą na punkt
materialny jest równa zmianie energii kinetycznej tego punktu.
W = E
k
– E
k0
Praca, moc, energia –
energia
Energia potencjalna
jest energią, którą dane
ciało, podlegające działaniu pewnej siły,
ma dzięki swemu położeniu w przestrzeni.
Pole jednorodne
-
działa na ciało siłą o stałej wartości, kierunku i zwrocie
niezależnie od położenia ciała.
Energia potencjalna w jednorodnym polu grawitacyjnym
Energią potencjalną ciała w punkcie P względem punktu
O nazywamy pracę, jaką wykonuje siła zachowawcza
przy przesunięciu tego ciała od punktu P do punktu O.
0
E
h
g
m
E
p
Grawitacyjną energię potencjalną
(przy powierzchni Ziemi) określamy
jako pracę siły ciężkości
mg
na pionowym
torze o wysokości
h
:
O
1
2
P
Praca, moc, energia –
energia
Siłę jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem
materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy tylko od tych
punktów, a nie od łączącej je drogi.
Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem
materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej jest równa
zeru.
Energia potencjalna jest wielkością
niekierowaną, czyli skalarem. Może
przybierać wartości ujemne.
Praca siły ciężkości
mg
na drodze
zamkniętej jest równa zeru.
Siły bezwładności
Jeżeli układ odniesienia porusza się ruchem przyspieszonym względem
otoczenia (
układ nieinercjalny), to dla obserwatora w tym układzie ciała też
poruszają się ruchem przyspieszonym, lecz w przeciwnym kierunku. Wygląda to
tak samo jakby działała na nie jakaś siła
siła bezwładności
Czy wszystkie zagadnienia możemy rozwiązać
w inercjalnych układach odniesienia?
Siły bezwładności -
przykłady
Siła bezwładności podczas ruszania pojazdu - gdy samochód
rusza do przodu siła bezwładności wciska pasażerów w fotel,
Siła bezwładności podczas hamowania pojazdu - gdy samochód
(lub inny pojazd) nagle hamuje, wtedy siła bezwładności rzuca
pasażerem do przodu,
Siła odśrodkowa - gdy siedzimy na wirującej karuzeli siła
bezwładności (nazywana w tym przypadku "siłą odśrodkową")
wypycha nas i przedmioty przez nas trzymane na zewnątrz okręgu,
faktycznie działającą siłą na ciało jest „siła dośrodkowa”.
Siły bezwładności
w ruchu prostoliniowym
nieinercjalnego układu odniesienia
)
(
)
(
)
(
0
t
x
t
x
t
x
Związek między położeniem punktu
m
w obu układach odniesienia:
2
2
)
(
v(t)
dt
t
x
d
dt
d
a
Ponieważ przyspieszenie:
stąd:
0
a
a
a
siła bezwładności
.
0
a
m
F
B
a zatem:
i ostatecznie:
B
F
F
a
m
ma
ma
a
m
0
0
`
0
)
(t
x
r
położenie punktu
m
w układzie XOY
)
(t
x
r
położenie punktu
m
w układzie X`O`Y`
)
(
0
0
t
x
r
położenie punktu O
`
w układzie XOY
0
a
przyspieszenie unoszenia
ciała
m
w układzie X`O`Y`
Układ XOY –
„nieruchomy”
inercjalny
Układ X`O`Y` -
ruchomy wzgl.XOY
nieinercjalny
0
r
r
r
)
(
)
(
)
(
0
t
r
t
r
t
r
Siły bezwładności
- przykład
0
a
m
F
B
niezrównoważona siła bezwładności
działająca na klocek w układzie X`O`Y`
0
a
B
F
m
0
a
Y
X
Układ
inercjalny
0
0
a
a
a
Gdy:
0
a
a
Y`
X`
Układ
nieinercjalny
Siły bezwładności
- przykłady
Q=mg
R`=mg
R=mg
W układzie inercjalnym Ziemi:
m
Q
R
a
`
0
WINDA
0
o
a
wskazanie wagi:
mg
ma
R
R
0
`
W układzie nieinercjalnym windy:
0
`
Q
F
R
B
0
`
0
mg
ma
R
wskazanie wagi:
mg
ma
R
R
0
`
o
a
Q=mg
R > mg
F
B
0
a
m
F
B
R` > mg
Q
N
Równowaga
0
N
Q
Siły bezwładności w ruchu obrotowym
Siła bezwładności odśrodkowa
– przykład
0
o
F
N
Q
Układ nieinercjalny
-
siła bezwładności
odśrodkowa F
O
Q
N
o
F
r
r
v
2
m
F
o
m
F
m
N
Q
a
d
Układ inercjalny -
siła przyłożona
dośrodkowa F
d
Q
N
d
F
Przy ruchu w kierunkach na północ lub
południe, kierunek odchylenia zależeć będzie
od półkuli:
-
na półkuli północnej F
C
działa „w prawo”
względem kierunku prędkości
-
na półkuli południowej – odwrotnie
Silniejsza erozja prawych brzegów rzek na
półkuli północnej i lewych na półkuli
południowej.
)
v
(
2
m
F
C
Siła bezwładności Coriolisa
Ciało spadające swobodnie (z wysokiej
wieży) z prędkością v
`
, pod wpływem
działania siły Coriolisa doznaje
odchylenia w kierunku wschodnim.
Kiedy poruszamy się wzdłuż równika
w kierunku wschodnim lub zachodnim
doznajemy siły działającej odpowiednio
„w górę” lub „w dół”.
Wpływ na ruch mas powietrza - wiatr
passaty
równik
pn.-
wschód
pd.-
wschód
v
C
F
v
C
F
Siła bezwładności Coriolisa
Siła bezwładności Coriolisa
- wahadło Foucaulta
Zmiana płaszczyzny ruchu wahadła
względem Ziemi dowodzi jej obrotu
wokół własnej osi.
Jean Bernard Léon Foucault -
demonstracja wahadła w lutym
1851 roku w Paryskim
Obserwatorium Astronomicznym.
Siła bezwładności Coriolisa
- wahadło Foucaulta
Dziedziniec Politechniki Gdańskiej
Szybkość obrotu płaszczyzny wahań zależy od szerokości geograficznej φ
i wynosi 15
°·sin(φ) na godzinę.
C
F
F
F
a
m
0
Druga zasada dynamiki w układach nieinercjalnych
Jeżeli w układzie nieinercjalnym ciało spoczywa to:
0
B
F
F
zasada d`Alamberta
C
B
F
F
F
0
Grawitacja –
prawo powszechnego ciążenia
r
r
m
m
G
F
ˆ
2
2
1
Każde dwa ciała o masach m
1
i m
2
przyciągają się
wzajemnie siłą grawitacji wprost proporcjonalną
do iloczynu mas, a odwrotnie proporcjonalną do
kwadratu odległości między nimi.
Wartość współczynnika proporcjonalności G, nazywanego stałą
grawitacji wynosi 6.67·10
-11
Nm
2
/kg
2
i jest równa liczbowo sile, z jaką
oddziaływają na siebie dwa kilogramowe ciała z odległości jednego
metra.
r
r
r
ˆ
Grawitacja –
stała grawitacji
Doświadczenie Cavendisha (1798 r.)
W swoim pomiarze Cavendish wykorzystał fakt,
że siła potrzebna do skręcenia długiego,
cienkiego włókna kwarcowego jest bardzo mała.
Na takim włóknie zawiesił pręt z dwiema małymi
kulkami ołowianymi (m) na końcach. Następnie
w pobliżu każdej z kulek umieścił większą kulę
ołowianą (M) i zmierzył precyzyjnie kąt α o jaki
obrócił się pręt.
r
F
M
F
Grawitacja –
ciężar ciała
Siła ciężkości Q
Ciężar ciała
g = 9,80665 m/s
2
siła ciężkości (ciężar)
wyrażana w niutonach (N)
masa
wyrażana w kilogramach (kg)
masa bezwładna
popychamy ciało po płaskiej powierzchni,
masa grawitacyjna
utrzymujemy klocek uniesiony w górę
w stanie spoczynku,
masa bezwładna jest równa masie grawitacyjnej
zasada
równoważności.
g
m
Q
Grawitacja
–
ciężar ciała
wpływ ruchu wirowego Ziemi na wartość ciężaru ciała
największą wartość siła
odśrodkowa ma na równiku,
na biegunach ma wartość zero,
na równiku siła ta najefektywniej
zmniejsza ciężar,
tylko składowa siły odśrodkowej
równoległa do promienia powoduje
zmniejszanie ciężaru.