Materiały pomocnicze 1.
Robert Pietrzykowski
Macierzą nazywamy prostokątną tablicę liczb. Macierz o m wierszach i n kolumnach oznaczamy
A
m×n
= [a
ij
]
i=1,...,m
j=1,...,n
=
a
11
. . .
a
1n
· · ·
· · ·
· · ·
a
m1
. . . a
mn
.
Macierz o jednej kolumnie (tzn. n = 1) nazywamy wektorem. Tam gdzie nie prowadzi to do nieporozumień
opuszcza się rozmiary macierzy pisząc po prostu macierz A.
Jeżeli m = n, to macierz nazywamy kwadratową stopnia n. Macierz kwadratową o wymiarach n × n
oznaczamy przez A
n
. Jeżeli ponadto a
ij
= a
ji
dla wszystkich i, j, to macierz nazywamy symetryczną.
Jeżeli a
ij
= 0 dla i 6= j, to taką macierz nazywamy diagonalną.
Macierz m × n złożoną z samych zer nazywamy zerową i oznaczamy przez O
m×n
. Macierz kwadratową
[a
ij
] stopnia n taką, że a
ii
= 1 dla wszystkich i oraz a
ij
= 0 dla i 6= j nazywamy jednostkową i oznaczamy
przez I
n
.
Niech A
m
a
×n
a
= [a
ij
] oraz B
m
b
×n
b
= [b
ij
] będą dwiema macierzami.
Transpozycją macierzy A
m
a
×n
a
nazywamy macierz A
0
n
a
×m
a
= [a
0
ij
] taką, że a
0
ij
= a
ji
, dla wszystkich
i, j.
Niech a będzie liczbą rzeczywistą. Iloczynem macierzy A przez liczbę a nazywamy macierz aA = [aa
ij
].
Niech m
a
= m
b
= m oraz n
a
= n
b
= n. Sumą (różnicą) macierzy A i B nazywamy taką macierz
C
m×n
= [c
ij
], że c
ij
= a
ij
± b
ij
dla wszystkich i, j. Piszemy C = A ± B.
Niech n
a
= m
b
. Iloczynem macierzy A i B nazywamy taką macierz C
m
a
×n
b
= [c
ij
], że c
ij
=
P
n
a
k=1
a
ik
b
kj
dla wszystkich i, j. Piszemy C = AB. Iloczyn macierzy ma następujące ważne własności.
1. Niech macierz A ma rozmiary m
a
× n
a
. Zachodzi AI
n
a
= I
m
a
A = A.
2. Mnożenie macierzy nie jest przemienne.
3. (AB)
0
= B
0
A
0
.
Niech A będzie macierzą kwadratową, tzn. m
a
= n
a
= n. Wyznacznikiem macierzy A nazywamy
liczbę |A| określoną w następujący rekurencyjny sposób:
|[a
11
]| = a
11
, |A| =
n
X
i=1
(−1)
i+1
a
i1
A
i1
,
gdzie A
i1
jest wyznacznikiem macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i–tego wiersza oraz pierwszej
kolumny.
Wyznacznik A
ij
macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i–tego wiersza oraz j–tej kolumny
nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a
ij
macierzy A. Wyznacznik macierzy można ob-
liczać także z następującego wzoru |A| =
P
n
i=1
(−1)
i+j
a
ij
A
ij
, dla dowolnego 1 ≤ j ≤ n lub |A| =
P
n
j=1
(−1)
i+j
a
ij
A
ij
, dla dowolnego 1 ≤ i ≤ n. W szczególności
a
11
a
12
a
21
a
22
= a
11
a
22
− a
12
a
21
,
Niech A będzie taką macierzą kwadratową, że |A| 6= 0 lub równoważnie, macierz A jest pełnego rzędu.
Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy taką macierz A
−1
, że AA
−1
= A
−1
A = I.
Jeżeli |A| 6= 0, to A
−1
= [(−1)
i+j
A
0
ij
/|A|]
i,j=1,...,n
. W szczególności
a
11
a
12
a
21
a
22
−1
=
a
22
−a
12
−a
21
a
11
/|A| .